Lista de Exercícios de Álgebra 2 - Classes Laterais e Subgrupos

Algebra 2 2023 Lista de exercıcios 3 Classes Laterais 1 Verifique que se H e um subgrupo de um grupo G e a e b sao elementos de G tais que b a H entao b H a H 2 Mostre que se H e K sao subgrupos de um grupo finito G tais que mdcH K 1 entao H K e 3 Um grupo de ordem 280 pode ter elemento de ordem 11 4 Considere o produto direto Z4 Z3 i Descreva o subgrupo H 2 1 ii Determine todas as classes laterais a esquerda de H iii Calcule Z4 Z3 H 5 Idem exercıcio anterior considerando o produto direto Z2 Z 5 dos grupos Z2 e Z 5 e H 1 4 6 Determine todos os subgrupos de Z6 e de D6 7 Determine todos os subgrupos de Z8 Sugestao Para simplificar os calculos use o fato que subgrupo de grupo cıclico e tambem cıclico 8 Determine todos os subgrupos de Z43 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes 1 Verifique que SLnR e um subgrupo normal de GLnR 2 Encontre em D8 subgrupos H e K tais que H e normal em K K e normal em D8 mas H nao e normal em D8 3 Seja G um grupo multiplicativo Verifique que o centro de G ZG x G xg gx g G e normal em G 4 Mostre que se H e um subgrupo de G tal que G H 2 entao H e normal em G e a2 H para todo a G 5 Sejam H e K subgrupos de um grupo multiplicativo G com K normal em G Prove que HK hk h H e k K e um subgrupo de G 6 Mostre que se H e K sao subgrupos normais de um grupo multiplicativo G entao i H K e tambem um subgrupo normal de G ii HK e um subgrupo normal de G 7 Seja f G J um homomorfismo de grupos sobrejetor Mostre que se N e um subgrupo normal de G entao fN e um subgrupo normal de J 1 8 Construa a tabua do grupo quociente GN onde i G Z8 e N 2 ii G D8 e N α iii G D8 e N α2 iv G Z4 Z3 e N 2 1 v G Z2 Z 5 e N 1 4 9 Determine a ordem de cada elemento dos grupos quocientes dados pelos ıtens iii e v do exercıcio acima 10 Mostre que se G e um grupo abeliano e N e um subgrupo normal de G entao o grupo quociente GN e tambem abeliano 11 Encontre um grupo G de ordem 6 e um subgrupo normal N de G tal que GN e abeliano mas G nao 12 Sejam G um grupo multiplicativo e N um subgrupo normal de G Mostre que i a aplicacao π G GN πg gN para todo g G e um homomorfismo sobrejetor de grupos i se a G entao akN aNk para todo k Z ii se G e cıclico entao GN e tambem cıclico 13 Dˆe exemplo de um grupo G e um subgrupo normal N de G tal que o grupo quociente GN seja cıclico mas G nao 14 Seja N um subgrupo normal de um grupo G e seja f G J um homomorfismo de grupos cujo nucleo contem N Mostre que f GN J tal que fgN fg esta bem definida e e um homomorfismo 2