Resolver uma Questão

Álgebra 2 Questão 3 Dado um domínio de integridade D anel comutativo com identidade e sem divisores de zero existe um corpo K com D K tal que todo elemento de K pode ser escrito como ab a b D e b 0 Em outras palavras o corpo de frações K de um domínio de integridade D é o menor corpo que contém D Ele permite completar D de modo que todo elemento não nulo tenha um inverso multiplicativo transformando D em um corpo Z2 Temos que Z2 é um domínio de integridade cujos elementos são da forma a b2 com a b Z Seja K o corpo de frações de Z2 então os elementos de K são da forma x a b2c d2 com a b c d Z e c d2 0 Observe que a b2c d2 c d2c d2 ac ad2 bc2 2bd c2 d22 ac 2bd bc ad2 c2 2d2 Logo tomando p ac 2bd q c2 2d2 e r bc ad obtemos x p r2 q com p q r Z e q 0 Ou seja x Q2 isto é K Q2 Por outro lado dado y p1q1 p2q22 com p1 p2 Z e q1 q2 Z temos y p1q2 p2q12 q1q2 p1q2 p2q12 q1q2 K Ou seja Q2 K Portanto o corpo de frações é o K Q2 Z6 Z6 não é um domínio de integridade pois possui divisores de zero 2 3 6 0 mas 2 0 e 3 0 Logo Z6 não possui corpo de frações Z7 Z7 é um corpo pois 7 é primo e Zp com p primo é corpo O corpo de frações é no menor corpo K que contem Z7 logo é o próprio Z7 Pode ser que o professor não tenha demonstrado isso ainda Vamos mostrar que K Z7 Seja x K então x āb com ā b Z7 b 0 Observe que āb āb1 I āj āb1ā ā ā Ou seja podemos escrever x āb1 Z7 logo K Z7 Por outro lado dado y Z7 temos que y ā para algum ā 0 6 Assim y ā ā I K Z7 K Portanto K Z7 ab é o representante da classe de equivalência onde é a relação de equivalência definida em Z7 como a b c d ad bc 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 01 Seja f Rx R dada por fpx p1 a Mostre que f é um homomorfismo de anéis b Mostre que o núcleo desse homomorfismo é gerado pelo polinômio gx x 1 c Mostre ainda que tal núcleo é um Ideal Maximal de Rx Questão 02 Sejam D Zi a bi a b Z e D D 0 Considere o corpo das frações de D dado por K DxD mn m D n D Mostre que K Qi Questão 03 Determine o corpo de frações de Z2 Z6 e Z7 Questão 04 Seja fx 2x10 3x7 5x4 1 Z7x Encontre um polinômio gx Z7x com gx 6 tal que fa ga a Z7