Atividade

Questão 1 25 pontos a Enuncie precisamente o conceito de Anel b Seja A um anel comutativo Definimos A x A a ba b A Considere duas operacoes em A x A definidas abaixo a b c d a c b d a b d ac 0 Mostre que o termo A x é um Anel Comutativo Questão 2 25 pontos a Enuncie precisamente o conceito de Subanel Classifique as asserções abaixo como verdadeiras ou falsas justificando sua resposta Prove a verdadeiras e justifique as falsas L1 a b a b R é um subanel de M2R Anel das matrizes quadradas de ordem 2 L2 0 a a b R é um subanel de M2R Anel das matrizes quadradas de ordem 2 Questão 3 25 pontos a Enuncie precisamente o conceito de Ideal de um Anel Seja A um anel comutativo com unidade I A um ideal e x A qualquer Defina o conjunto Jx a Aax I Mostre que Jx é um ideal de A Mostre que se x I então Jx A Questão 1 b Vamos mostrar que AxA satisfaz as 6 condições de anel comutativo A1 a b c d e f a c b d e f Associatividade de a c e b d f a b c e d f a b c d e f A2 Existe 00 tal que 00 a b a b a b 00 Elemento Neutro de a b AxA onde 0 é o elemento neutro de A A3 Todo a b AxA possui um inverso a b a b ab a a b b 00 A4 a b c d a c b d c a d a c d a b Comutatividade de Comutatividade de A M1 a b c d e f ac 0 e f Associatividade de ace 0 a b ce 0 a b c d e f M2 Existe 1 1 AxA tal que elemento neutro de 11 ab a b ab 11 para todo a b AxA onde 1 é o elemento neutro multiplicativo de A M3 a b c d ac 0 ca 0 c d a b Comutatividade de AM a b c d ef a b c e e f ac ae 0 ac 0 ae 0 a b c d a c ef Distributividade Portanto AxA é anel comutativo Questão 2 b 1 Verdadeiro Podemos verificar usando o teste do subanel Sejam A a b 0 c e B x y 0 z temos que mostrar que A B L1 e AB L1 A B a b 0 c x y 0z a b 0 c x y 0 z a x b y 0 c z L1 AB a b 0 cx y 0 z ax ay bz 0 cz L1 Portanto L1 é subanel de M2R 2 Falso L2 não é fechado para o produto 0 a b c 0 a b c ab ac bc abc L2 Questão 3 b 1 Definimos o conjunto Jx a A ax I Vamos mostrar que Jx é um ideal Sejam ab Jx então ax bx I ax bx a bx I a b Jx Seja a Jx e r A então ax I Como I é ideal temos que rax I logo ra Jx Portanto Jx é ideal 2 Seja x I então Jx a A ax I mas pela definição de ideal ax I para todo x I e para todo a A Portanto se x I então Jx A Outra forma Jx A por definição Vamos mostrar que A Jx Se a A então ax I logo a Jx e portanto A Jx