Trabalho Cálculo 4

1ª Questão 20 pontos Resolver a equação diferencial ordinária y⁸ y⁴ 16y 0 2ª Questão 20 pontos Resolver a equação diferencial ordinária y 4y 12y 8e²ˣ cos x sen x 3ª Questão 20 pontos Resolver a equação diferencial x 1³ y 3x 1² y x 1y 6 lnx 1 4ª Questão 20 pontos Resolver a equação diferencial y 2y 2y 3x eˣ tan x 5ª Questão 20 pontos Resolver o seguinte sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação x y 3x y 2x 2y 0 2x 3y 9x 2y 4x 6y 0 Observação Justifique sua resposta em todas as questões acima 1ª Questão A equação y⁸ y⁴ 16y 0 é homogênea de ordem 8 Vamos calcular as raízes da equação característica associada r⁸ r⁴ 16 0 Considere u r² então temos u⁴ u² 16 0 Assim Δ 1² 4116 63 Δ 63 3i7 Logo u² 1 3i72 u₁² 1 3i72 u₂² 1 3i72 Observe que se u₁ a bi então u₁² abi² a² b² 2iab Assim 12 3i72 a² b² 2iab 2ab 372 a² b² 1 Resolvendo o sistema obtemos as raízes 72 3i2 e 72 3i2 Raízes quartas apenas mudam Repetindo o processo para u₂ obtemos os sinais das 72 3i2 e 72 3i2 partes imaginária e real Agora precisamos repetir o processo visto que u r² No entanto como o conjugado de uma raiz também é uma raiz podemos repetir o processo mais duas vezes As raízes de 72 3i2 são 742 3i274 e 742 3i274 As raízes de 72 3i2 são 742 3i274 e 742 3i274 Portanto a solução geral da EDO é yx e742 C₁ cos32 74 C₂ sen32 74 C₃ cos32 74 C₄ sen32 74 e742 C₅ cos32 74 C₆ sen32 74 C₇ cos32 74 C₈ sen32 74 2ª Questão Primeiro observe que sen2x 2 cosx senx 8 e²ˣ cosx senx 4 e²ˣ sen2x Assim a EDO pode ser escrita como y 4y 12y 4e²ˣ sen2x Para resolver esta equação vamos encontrar a solução homogênea e a solução particular A equação homogênea associada é y 4y 12y 0 e sua equação característica é r³ 4r² 12r 0 rr² 4r 12 0 Soma e produto r₁ r₂ 4 r₁r₂ 12 r₁ 2 e r₂ 6 rr 2r 6 0 Logo a solução homogênea é yh C₀ C₁ e²ˣ C₂ e⁶ˣ Para encontrar a solução particular vamos usar o método dos coeficientes indeterminados Afirmamos que a solução é da forma yp e²ˣ A cos2x B sen2x Assim i yp 2 e²ˣ A cos2x B sen2x e²ˣ 2A sen2x 2B cos2x e²ˣ 2A 2B cos2x 2B 2A sen2x yp 2 e2x 2A 2B cos2x 2B 2A sen2x e2x 2 2A 2B sen2x 2 2B 2A cos2x e2x 8B cos2x 8A sen2x yp 2 e2x 8B cos2x 8A sen2x e2x 16B sen2x 16A cos2x e2x 16B 16A cos2x 16B 16A sen2x Substituindo na equação obtemos e2x 16B 16A cos2x 16B 16A sen2x 4 e2x 8B cos2x 8A sen2x 12 e2x 2A 2B cos2x 2B 2A sen2x 4 e2x sen2x e2x 16B 16A 32B 24B cos2x 16B 16A 24B 24A sen2x 4 e2x sen2x e2x 24B 40A cos2x 40B 24A sen2x e2x 4 sen2x Logo 40A 24B 0 24A 40B 4 40A 24B B 40A24 5A3 24A 40 5A3 4 18A 50A3 1 A 368 B 53 368 568 Assim yh e2x 368 cos2x 568 sen2x Portanto a solução geral é y C0 C1 e2x C2 e2x e2x 68 3 cos2x 5 sen2x 3a Questão Para resolver esta questão vamos fazer uma substituição de variáveis t x1 dtdx 1 dt dx Assim temos t3 y 3t2 y ty 6 lnt Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada t3 y 3t2 y ty 0 Para isso assumimos a forma y tm Com isso temos y m tm1 e y m m1 tm2 Logo t3 m m1 tm2 3t2 m tm1 t tm 0 tm1 m2 m tm1 3m tm1 0 tm1 m2 2m1 0 Assumindo t 0 temos m2 2m 1 0 m 12 0 m 1 Produto notável Como a raiz tem multiplicidade 2 a solução homogênea é yh C1 t1 C2 t1 lnt Já a solução particular será da forma yp A lnt B Logo yp At yp At2 Substituindo obtemos t3 At2 3t2 At t A lnt B 6 lnt At 3At At lnt Bt 6 lnt 2A B t At lnt 6 lnt Como o lado direito não possui o fator t esta não foi uma boa substituição Em vista disso vamos fazer outra substituição Primeiro vamos dividir toda a equação por t t2 y 3t y y 6 lnt t Agora assumiremos ypt A ln3tt Assim yp A 3 ln2t 1t t ln3t 1 t2 A 3 ln2t ln3t t2 yp A 6 lnt 1t 3 ln2t 1t t2 3 ln2t ln3t 2 t t4 A 6 lnt 9 ln2t 2 ln3t t3 Substituindo t2 A 6 lnt 9 ln2t 2 ln3t 3t A 3 ln2t ln3t t2 A ln3tt 6 lnt t A 6 lnt 9 ln2t 9 ln2t 2 ln3t 3 ln3t ln3t 6 lnt t 6A lntt 6 lntt A 1 Logo yp ln3tt A solução geral é y C1 t1 C2 t1 lnt ln3tt Fazendo t1 1t e substituindo t x 1 obtemos y C1x1 C2 lnx1x1 ln3x1x1 4a Questão Vamos encontrar a solução homogênea e duas soluções particulares Para a solução homogênea considere y 2 y 2 y 0 r2 2r 2 0 Temos Δ 22 412 4 Δ 4 2i γ 2 2i 2 1 i Assim a solução homogênea será yh ex C1 cos x C2 sen x Agora vamos encontrar a solução particular para o termo 3x que será da forma ypp Ax B Logo ypp A e ypp 0 Com isso temos 0 2A 2Ax B 3x 2A 2B 2Ax 3x 2A 3 e B A A B 32 Logo ypp 32 x 1 Por sim supomos uma solução particular ypp ex ux cosx vx senx para o termo ex tanx Vamos usar o método de variação de parâmetros u cosx v senx 0 u senx v cosx tanx Da primeira equação obtemos u cosx v senx u v tanx Logo v tanx senx v cosx tanx v sen2x cos2x cosx tanx v 1 cosx tanx v tanx cosx senx Assim u v tanx senx tanx Vamos encontrar u e v u senx dx cosx C3 v senx tanx dx sen2x cosx dx 1 cos2x cosx dx 1 cosx dx cosx dx secx dx cosx dx lntanx secx senx C4 Portanto a solução geral será yg ex C1 cosx C2 senx 32 x 1 ex cosx C3 cosx sen2x lntanx secx senx C4 senx Simplificando yg 32 x 1 ex D1 cosx D2 senx cos2x lntanx secx senx 5ª Questão Considere o sistema abaixo x y 3x y 2x 2y 0 2x 3y 9x 2y 4x 6y 0 x 3 3x 3y 9x 3y 6x 6y 0 2x 3y 9x 2y 4x 6y 0 Subtraindo as equações obtemos x y 2x 0 y x 2x Substituindo y na primeira equação obtemos x y 3x x 2x 2x 2y 0 y 3x 2y 0 Com isso obtemos um novo sistema y x 2x y 3x 2y 0 Integrando a primeira equação obtemos y dt x 2x dt y x 2 x dt Por outro lado derivando obtemos ddt y ddt x 2x y x 2x Substituindo y e y na segunda equação obtemos x 2x 3x 2 x 2 x dt 0 x 5x 2x 4 x dt 0 x 3x 4 x dt 0 Derivando os dois lados obtemos x 3x 4x 0 r4 3r2 4 0 Eq característica Assim r2 3 32 414 21 3 25 2 3 5 2 r2 4 ou r2 1 Logo r 2 ou r 2 ou r i ou r i Com isso xt C1 e2t C2 e2t e0 C3 cost C4 sent Além disso x 2C1 e2t 2C2 e2t C3 sent C4 cost x 4C1 e2t 4C2 e2t C3 cost C4 sent e y x 2x 4C1 e2t 4C2 e2t C3 cost C4 sent 2C1 e2t 2C2 e2t 2C1 e2t 2C2 e2t 3C3 cost 3C4 sent Integrando os dois lados obtemos yg 2C1 e2t 2C2 e2t 3C3 cost 3C4 sent dt 2C1 e2t2 2C2 e2t2 3C3 sent 3C4 cost C5 C1 e2t C2 e2t 3C3 sent 3C4 cost C5 Portanto a solução final é xt C1 e2t C2 e2t C3 cost C4 sent ygt C1 e2t C2 e2t 3C3 sent 3C4 cost C5