Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem Homogêneas

Lista Equações Diferenciais 1 Solução a Dado o sistema x x 2y y 4x 3y onde x x t e y y t vamos isolar y na primeira equação x x 2y y x x 2 Daí y x x 2 Substituindo na segunda equação temos x x 2 4x 3 x x 2 4x 3x 3x 2 x x 8x 3x 3x x 4x 5x 0 EDO linear 2ª ordem homogênea A equação característica associada a EDO é λ2 4λ 5 0 cujas raízes são λ1 5 λ2 1 Logo x xt c1 e5t c2 et Derivando x obtemos x 5c1 e5t c2 et Substituindo em y yt 5c1 e5t c2 et c1 e5t c2 et 2 4 c1 e5t 2 c2 et 2 2 c1 e5t c2 et Logo a solução do sistema é x c1 e5t c2 et y 2 c1 e5t c2 et b Dado o sistema x 2x 2y y x 3y onde x xt y yt vamos isolar x na segunda equação y x 3y x y 3y k Derivando obtemos x y 3y Substituindo na primeira equação temse que y 3y 2 y 3y 2y 2y 6y 2y 2y 4y y 5 y 4 y 0 EDO linear de 2ª ordem homogênea Lista de Equações Diferenciais Parte V 1 Nos problemas abaixo encontre a solução geral do sistema dado a x x 2y y 4x 3y b x 2x 2y y x 3y c x 52x 2y y 34x 2y d X 10 5 8 12 X e X 12 0 1 12 X X 0 3 5 f X 6 2 3 1 X X 0 1 1 g x 3x y y 9x 3y h x 6x 5y y 5x 4y h X 1 3 3 5 X i X 3 1 9 3 X X 0 2 1 j X 2 4 1 6 X X 0 1 6 k x 6x y y 5x 2y h x 5x y y 2x 3y l X 1 8 1 3 X c Dado o sistema x 52 x 2y y 34 x 2y onde x xt y yt vamos isolar y na primeira equação x 52 x 2y y x2 54 x Derivando temos y x2 54 x Substituindo na segunda equação vem que x2 54 x 34 x 2 x2 54 x 34 x x 52 x x 52 x 2x 32 x 5x 0 x 92 x 72 x 0 EDO linear de 2ª ordem homogênea A equação característica associada à EDO é λ² 92 λ 72 0 isto é 2λ² 9λ 7 0 Daí λ 9 9² 4274 9 254 9 54 λ1 1 e λ2 72 A equação característica associada a EDO é λ² 5λ 4 0 cujas raízes são λ1 4 e λ2 1 Logo y yt c1 e4t c2 et Derivando obtemos y 4 c1 e4t c2 et Substituindo em x xt 4 c1 e4t c2 et 3 c1 e4t c2 et 4 c1 e4t c2 et 3 c1 e4t 3 c2 et c1 e4t 2 c2 et Logo a solução do sistema é x c1 e4t 2 c2 et y c1 e4t c2 et Portanto x xt c1 et c2 e72 t Derivando obtemos x c1 et 72 c2 e72t Substituindo em y yt 12 c1 et 74 c2 e72 t 54 c1 et 54 c2 e72t 34 c1 et 12 e72t Logo a solução do sistema é x c1 et c2 e72 t y 34 c1 et 12 c2 e72 t d Dado o sistema x 10 5 8 12 x ou x 10x 5y y 8x 12y onde x xt y yt vamos isolar x na segunda equação y 8x 12y x y8 32 y Derivando temos x y8 32 y Substituindo na primeira equação temos y8 32 y 10 y8 32 y 5y 54 y 15y 5y y8 32 y 54 y 10 y 0 y 12 y 10 y 80 y 0 y 2 y 80 y 0 EDO linear de 2ª ordem homogênea A equação característica associada é λ² 2λ 80 0 Assim λ 2 2² 41802 2 41 802 2 182 λ₁ 8 e λ₂ 10 Logo y yt c₁ e8t c₂ e10t Derivando temos y 8 c₁ e8t 10 c₂ e10t Substituindo em x xt c₁ e8t 54 c₂ e10t 32 c₁ e8t 32 c₂ e10t 52 c₁ e8t 14 c₂ e10t Logo a solução do sistema é x c₁ e8t c₂ e10t y 52 c₁ e8t 14 c₂ e10t e Queremos resolver X 12 0 1 12 X X0 3 5 isto é x 12 x y x 12 y x0 3 y0 5 Na primeira equação temos x 12 x x 12 x 0 e12 t x 12 e12 t x 0 ddt e12 t x 0 e12 t x c₁ x xt c₁ e12 t Substituindo na segunda equação temos y c₁ e12 t 12 y y 12 y c₁ e12 t e12 t y 12 e12 t y c₁ et ddt e12 t y c₁ et e12 t y c₁ et c₂ y yt c₁ e12 t c₂ e12 t Logo a solução geral do sistema é x c₁ e12 t y c₁ e12 t c₂ e12 t Fazendo x0 3 e y0 5 obtemos 3 x0 c₁e0 c₁ c₁ 3 5 y0 3e0 c₂e0 3 c₂ c₂ 2 Portanto a solução do PVI é x 3 e12 t y 3 e12 t 2 e12 t f Queremos resolver X 6 2 3 1 X X0 1 1 isto é x 6x 2y y 3x y x0 1 y0 1 Isolando y na primeira equação x 6x 2y y x2 3x Derivando temos y x2 3x Substituindo na segunda equação obtemos x2 3x 3x x2 3x x2 3x x2 0 x 6x x 0 x 5x 0 EDO linear de 2a ordem homogênea A equação característica associada é λ² 5λ 0 onde λλ 5 0 isto é λ 0 ou λ 5 Logo x C1 C2 e5t Derivando temos x 5 C2 e5t Substituindo em y 52 C2 e5t 3C1 3C2 e5t 3C1 12 C2 e5t Para x0 1 e y0 1 temos 1 x0 C1 C2e0 C1 C2 1 y0 3C1 12 C2e0 3C1 12 C2 Como C1 1 C2 segue que 1 31 C2 12 C2 2 61 C2 C2 2 6 6C2 C2 5C2 8 C2 85 Daí C1 1 85 35 Portanto a solução do PVI é x 35 85 e5t y 95 45 e5t g Dado o sistema x 3x y y 9x 3y vamos isolar y na primeira equação x 3x y y 3x x Derivando temos y 3x x Substituindo na segunda equação vem que 3x x 9x 3y 3x x 0 x C2 x C1 C2 t Substituindo em y 3C1 3C2 t C2 3C1 C2 3C2 t Logo a solução do sistema é x C1 C2 t y 3C1 C2 3C2 t h Dado o sistema x 6x 5y y 5x 4y vamos isolar y na primeira equação x 6x 5y y x5 65 x Derivando temos y x5 65 x Substituindo na segunda equação temos x5 65 x 5x 45 x 245 x x 6x 25x 4x 24x x 2x x 0 EDO linear de 2º ordem homogênea A equação característica associada é λ2 2λ 1 0 donde λ1 λ2 1 Logo x C1 et C2 t et x C1 et C2 et C2 t et C2 C1 et C2 t et Substituindo em y C2 C15 et C2 t et5 65 C1 et 65 C2 t et C2 5C15 et C2 t et Logo a solução do sistema é x C1 et C2 t et y C2 5C15 et C2 t et i Queremos resolver X 1 3 3 5 X a x x 3y y 3x 5y Isolando y na primeira equação x x 3y y x3 x3 Derivando temos y x3 x3 Substituindo na segunda equação x3 x3 3x 53 x 53 x x x 9x 5x 5x x 4x 4x 0 A equação característica associada é λ2 4λ 4 0 donde λ1 λ2 2 e segue que x C1 e2t C2 t e2t x 2C1 e2t C2 e2t 2C2 t e2t 2C1 C2 e2t 2C2 t e2t Substituindo em y 2C1 C23 e2t 2C23 t e2t C13 e2t C23 t e2t 3C1 C23 e2t C2 t e2t Logo a solução do sistema é x C1 e2t C2 t e2t y 3C1 C23 e2t C2 t e2t j Dado o PVI X 3 1 9 3 X X0 2 1 isto é x 3x y y 9x 3y x0 2 y0 1 Vamos isolar y na primeira equação x 3x y y 3x x Derivando temos y 3x x Substituindo na segunda equação 3x x 9x 9x 3x x 0 x c2 x c1 c2 t Substituindo em y 3c1 3c2 t c2 3c1 c2 3c2 t Para x0 2 e y0 1 temos 2 x0 c1 c20 c1 c1 2 1 y0 6 c2 3c20 6 c2 c2 5 Logo a solução do PVI é x 2 5t y 1 15t k Dado o PVI x 2 4 1 6 x x0 1 6 isto é x 2x 4y y x 6y x0 1 y0 6 isohemos x na segunda equação y x 6y x 6y y Derivando temos x 6y y Substituindo na primeira equação segue que 6y y 12y 2y 4y y 8y 16y 0 A equação característica associada é λ2 8λ 16 0 donde λ1 λ2 4 Logo y c1 e4t c2 t e4t y 4c1 e4t c2 e4t 4c2 t e4t 4c1 c2 e4t 4c2 t e4t Substituindo em x 6c1 e4t 6c2 t e4t 4c1 c2 e4t 4c2 t e4t 2c1 c2 e4t 2c2 t e4t Para x0 1 e y0 6 1 x0 2c1 c2 c2 2c1 1 6 y0 c1 c1 6 Daí c2 12 1 13 Logo a solução do PVI é x e4t 26 t e4t y 6 e4t 13 t e4t e Dado o sistema x 6x y y 5x 2y vamos isolar y na primeira equação x 6x y y 6x x Derivando temos y 6x x Substituindo na segunda equação 6x x 5x 12x 2x x 8x 17x 0 A equação característica associada é λ² 8λ 17 0 donde λ 8 64 68 2 8 4 2 8 2i 2 4 i λ₁ 4 i e λ₂ 4 i Assim x e4t c₁ cos t c₂ sen t x 4e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t Substituindo em y 6e4t c₁ cos t c₂ sen t 4e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t 2e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t Logo a solução do sistema é x e4t c₁ cos t c₂ sen t y e4t 2c₁ c₂ cos t 2c₂ c₁ sen t m Dado o sistema x 5x y y 2x 3y vamos isolar y na primeira equação x 5x y y x 5x Derivando temos y x 5x Substituindo na segunda equação x 5x 2x 3x 15x x 8x 17x 0 Do item anterior temos x e4t c₁ cos t c₂ sen t x 4e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t Substituindo em y 4e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t 5e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ cos t c₂ sen t e4t c₁ sen t c₂ cos t Logo a solução do sistema é x e4t c₁ cos t c₂ sen t y e4t c₂ c₁ cos t c₁ c₂ sen t h Dado o sistema X 1 8 1 3 X ou x x 8y y x 3y vamos isolar x na segunda equação y x 3y x y 3y Derivando temos x y 3y Substituindo na primeira equação y 3y y 3y 8y y 2y 5y 0 A equação característica é λ² 2λ 5 0 donde λ 2 4 20 2 2 16 2 2 4i 2 1 2i λ₁ 1 2i e λ₂ 1 2i Logo y et c1 cos2t c2 sen2t y et c1 cos2t c2 sen2t et2c1 sen2t 2c2 cos2t Substituindo em x x et c1 cos2t c2 sen2t et 2c1 sen2t 2c2 cos2t 3 et c1 cos2t c2 sen2t 2 et c1 cos2t c2 sen2t et 2c1 sen2t 2 c2 cos2t Logo a solução do sistema é x et 2c1 2c2 cos2t 2c2 2 c1 sen2t y et c1 cos2t c2 sen2t