Lista de Exercicios Resolvidos - Equacoes Diferenciais Lineares e Sistemas

Lista de Equações Diferenciais Parte V 1 Nos problemas abaixo encontre a solução geral do sistema dado a x x 2y y 4x 3y b x 2x 2y y x 3y c x 52x 2y y 34x 2y d X 10 5 8 12 X e X 12 0 1 13 X X0 3 5 f X 6 2 3 1 X X0 1 1 g x 3x y y 9x 3y h x 6x 5y y 5x 4y h X 1 3 3 5 X i X 3 1 9 3 X X0 2 1 j X 2 4 1 6 X X0 1 6 k x 6x y y 5x 2y h x 5x y y 2x 3y l X 1 8 1 3 X 1 Nos questões que seguem vamos resolver os sis temas de EDO Para tanto em cada caso faremos a seguinte sequência de passos Acharomos a matriz A associada ao sistema e essa é tal que x y Ax y Determinaremos os autovalores λi da matriz A que são os números λi tais que detA λiI 0 onde I é a matriz identidade de ordem 2x2 Depois determinaremos os autovetores vi que são os vetores tais que A λivi 0 0 Por fim obteremos a solução do sistema de EDOs através da combinação linear dos autovetores vi do seguinte modo x y c1vieλ1t v2eλ2tc2 Com c1 c2 R Aluno Lucas Doniani Kempner RA 118955 a x x 2y y 4x 3y x y 1 2 4 3x y Logo A 1 2 4 3 Os autovalores são 0 detA λI 1 λ 2 4 3 λ 1 λ3 λ 8 3 λ 3λ λ2 8 λ2 9λ 5 λ 5λ 2 Logo λ1 5 e λ2 1 Agora para os autovetores temos que Para λ1 5 temos v tal que v v1 v2 Então A λ1Iv 0 0 4 2 4 2v1 v2 0 0 4v1 2 v2 0 v2 2v1 Então v é o autovetor v v1 v2 v1 2v1 v11 2 v 1 2 Para λ2 1 temos u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 2 2 4 4u1 u2 0 0 2u1 2u2 0 Logo u1 u2 Então u u1 u2 u21 1 u 1 1 Com isso temos que a solução da EDO é x y c11 2e5t c21 1e1t c1 c2 R b x 2x 2y y x 3y x y 2 2 1 3 x y A 2 2 1 3 Logo os autovalores de A são λ tais que 0 detA λI 2 λ 2 1 3 λ 2 λ3 λ 2 6 2λ 3λ λ2 2 λ2 5λ 4 λ 4λ 1 Portanto os autovalores são λ1 4 e λ2 1 Para λ1 4 temos os autovetor v v1 v2 tal que A λ1Iv 0 0 2 2 1 1v1 v2 0 0 v1 v2 0 v1 v2 Logo v v1 v2 1 1v1 v 1 1 Para λ2 1 temos o autovetor u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 1 2 1 2u1 u2 0 0 u1 2u2 0 u1 2 u2 Logo de u1 u2 u22 1 u 2 1 Então a solução do sistema é x y c1 1 1 e4t c2 2 1 et Com c1 c2 R c x 52 x 2y y 34 x 2y x y 52 2 34 2x y Logo A 52 2 34 2 E os autovalores λ são 0 detA λI 52 λ 2 34 2 λ 2λ52 λ 32 5 2λ 52 λ λ2 32 2λ2 9λ 5λ 10 3 2λ2 9λ 7 λ 1λ 72 E os autovalores são λ1 1 e λ2 72 Para λ1 1 temos v v1 v2 tal que A λ1Iv 0 0 32 2 34 1v1 v2 0 0 34 v1 v2 0 v2 34 v1 Logo v v1 v2 v1 1 34 v 1 34 Para λ2 72 temos u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 1 2 34 32u1 u2 0 0 u1 2u2 0 u1 2 u2 Portanto u u1 u2 u2 2 1 u 2 1 Então a solução do sistema é x y c1 1 34 et c2 2 1 e72 t Com c1 e c2 R d X 10 5 8 12 X Logo A 10 5 8 12 e os autovalores λ são 0 detA λI 10 λ 5 8 12 λ 12 λ10 λ 40 λ2 10λ 12λ 120 40 λ2 2λ 80 λ 10λ 8 Logo os autovalores são λ1 8 e λ2 10 Para λ1 8 temos o autovetor v v1 v2 tal que A λ1Iv 0 0 2 5 8 20v1 v2 0 0 2v1 5v2 0 v1 52 v2 Então v v1 v2 v2 52 1 v 52 1 Para λ2 10 temos o autovetor u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 20 5 8 2u1 u2 0 0 8u1 2u2 0 u2 4u1 E com isso segue que u u1 u2 u1 1 4 u 1 4 Então a solução do sistema é X c1 52 1 e8t c2 1 4 e10t Com c1 c2 R e X 12 0 1 12 X X0 3 5 aqui temos A 12 0 1 12 Logo os autovalores λ são 0 detA λI 12 λ 0 1 12 λ 12 λ12 λ Portanto os autovalores são λ1 12 e λ2 12 Para o autovalor λ1 12 temos o autovetor v v1 v2 tal que A λ1Iv 0 0 0 0 1 1v1 v2 0 0 v1 v2 0 v1 v2 Então segue que v v1 v2 v2 1 1 v 1 1 Para o autovalor λ2 12 temos o autovetor u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 1 0 1 0u1 u2 0 0 u1 0 u 0 1 Daí a solução do sistema é X x y c1 1 1 e12 t c2 0 1 e12 t Da condição inicial X0 3 5 temos X0 3 5 3 5 c1 1 1 c2 0 1 c1 c1 c2 3 5 c1 3 e c2 2 Logo a solução do PVI é X 3 1 1 e12 t 2 0 1 e12 t f X 6 2 3 1 X X0 1 1 Aqui temos A 6 2 3 1 Logo os autovalores λ de A são 0 detA λI 6 λ 2 3 1 λ 6 λ1 λ 6 6 6λ λ λ2 6 λ2 5λ λλ 5 Logo os autovalores são λ1 0 e λ2 5 Então segue que Para λ1 0 temos o autovetor v v1 v2 tal que A λ1Iv 0 0 6 2 3 1v1 v2 0 0 3 v1 v2 0 v2 3 v1 v v1 v2 v2 13 1 e v 13 1 Para λ2 5 temos o autovetor u u1 u2 tal que A λ2Iu 0 0 1 2 3 6u1 u2 0 0 u1 2 u2 0 u1 2 u2 Logo u u1 u2 u2 2 1 e então u 2 1 Disso obtemos a seguinte solução X x y c1 13 1 e0t c2 2 1 e5t c1 13 1 c2 2 1 e5t Para a condição inicial X0 1 1 temos X0 1 1 1 1 c1 13 1 c2 2 1 c1 2 c2 1 3 c1 c2 1 Portanto c1 1 2 c2 e logo 3 c1 c2 1 31 2 c2 c2 1 3 6 c2 c2 1 3 5 c2 1 5 c2 4 c2 45 E c1 1 245 55 85 35 Ou seja a solução do PVI fica posta por X 35 13 1 45 2 1 e5t x 3x y y 9x 3y x y 3 1 9 3x y Aqui a matriz A 3 1 9 3 Então seus autovalores são os λ tais que 0 detA λI 3 λ 1 9 3 λ 3 λ3 λ 9 9 λ2 9 λ2 Logo o único autovalor é λ 0 Então veja que Para λ0 temos vv1 v2 tal que A λIv 0 0 3 1 9 3v1 v2 0 0 3v1 v2 0 Portanto v2 3v1 Portanto temos que v v1 v2 v1 1 3 Então v 1 3 Nesse caso λ0 nos dá uma raiz dupla e logo é necessário achar uma segunda solução Nessas situações buscamos um segundo autovetor p P1 P2 tal que Ap v 3 1 9 3P1 P2 13 1 3P1 P2 1 9P1 3P2 3 3P1 P2 1 3P1 P2 1 P2 3P2 1 P1 P2 13 h x 1 3 3 5X Aqui segue A 1 3 3 5 Logo temos que os autovalores de A são os λ tais que 0 detA λI 1 λ 3 3 5 λ 1 λ5 λ 9 5 λ 5λ λ2 9 λ2 4λ 4 λ 22 Logo λ 2 é único Então temos que v v1 v2 tal que A λIv 0 0 3 3 3 3v1 v2 0 0 v1 v2 Então v v1 v2 v1 v1 ou seja v 1 1 Daí o segundo autovalor p P1 P2 é dado por 3 3 3 3P1 P2 v 1 1 Logo 3P1 3P2 1 P1 3P2 13 P2 13 Por fim temos p P1 P2 P2 13 P2 P2 1 1 13 0 Logo p é p P1 P2 tal que 5 5 5 5P1 P2 1 1 5P1 5P2 1 P1 5P25 15 P2 P2 15 Então temos que p P1 P2 P2 15 P2 P2 1 1 15 0 Logo a solução do sistema é x y c1 1 1 e2t c21 1t 15 0e2t x 6x 5y y 5x 9y x y 6 5 5 9xy Logo A 6 5 5 9 e os autovalores λ são 0 detA λI 6λ 5 5 9λ 6λ4λ 25 24 6λ 4λ λ2 25 λ2 2λ 1 λ 12 λ 1 E o autovalor é λ 1 Para λ 1 temos v v1 v2 tal que A λIv 0 0 5 5 5 5v1 v20 0 5v1 5v2 0 v1 v2 Logo o autovetor é v 1 1 O segundo autovetor p p1 p2 tf Com isso obtemos que a solução do sistema é x y x 1 1 c1 e2t c2 t12 13 0 e2t i x 3 1 9 3 x com x0 2 7 Aqui A 3 1 9 3 e os autovalores são os λ tais que 0 detA λI 3 λ 1 9 3 λ 3 λ3 λ 9 9 λ2 9 λ2 λ 0 Note que esse sistema é o mesmo do item g Logo a solução geral é x y c1 1 3 c2 13 3 t 13 0 Então de x0 2 7 segue que x0 2 7 1 1 c1 1 3 c2 13 0 3 c1 1 c1 13 c1 c23 2 É logo 13 c23 2 c2 5 E a solução fica dada por x y 13 1 3 5 13 3 t 13 0 Logo temos p p1 p2 p2 13 p2 p213 1 13 0 Pondo p2 t temos que p 1 3 t 13 0 Logo a solução do sistema é dada por x y c1 1 3 c2 1 3 t 13 0 2 X 2 4 1 6 X X0 1 6 Com A 2 4 1 6 temos que os autovalores λ são tais que 0 detA λI 2 λ 4 1 6 λ 2 λ6 λ 4 12 2λ 6λ λ2 4 16 8λ λ2 λ 42 E λ 4 é o autovalor único E o autovetor associado é A 4Iv 0 0 2 4 1 2v1 v2 0 0 v1 2v2 0 v1 2v2 Logo v v1 v2 v2 2 1 Então 2 1 é o autovetor associado O segundo é p p1 p2 que é obtido por 2 4 1 2p1 p2 2 1 p1 2p2 1 p1 2p2 1 Ou seja p p1 p2 p2 2 1 1 0 Portanto a solução geral é dada por x y c1 2 1 e4t c2 2 1 t 1 0 e4t Como X0 1 6 temos 1 6 c1 2 1 c2 1 0 2c1 c2 1 c1 6 Então c2 6 e 12 c2 1 c2 13 Portanto a solução é x y 2 1 e4t 13 2 1 t 1 0 e4t k x 6x y y 5x 2y x y 6 1 5 2x y Logo A 6 1 5 2 seus autovalores λ são 0 det A λI 6 λ 1 5 2 λ 6 λ2 λ 5 12 6λ 2λ λ² 5 17 8λ λ² Então λ² 8λ 17 0 λ₁₂ 8 64 68 2 8 2i 2 4 i E temos λ₁₂ 4 i Para λ₁ 4 i segue que temos o autovetor v v₁ v₂ tal que A λ₁Iv 0 0 2 i 1 5 2 iv₁ v₂ 0 0 5v₁ 2 iv₂ 0 v₁ 2 i5 v₂ ou seja temos que o autovetor v pode ser posto como v 2 i 5 Logo o autovetor associado a λ₂ 4 i é o autovetor u 2 i 5 Portanto sua solução pode ser posta como x y c₁2 i 5e4 it c₂2 i 5e4 it com c₁ c₂ ℝ l x 1 8 1 3x Logo A 1 8 1 3 e seus autovalores λ são obtidos 0 det A λI 1 λ 8 1 3 λ 1 λ3 λ 8 3 λ 3λ λ² 8 λ² 2λ 5 λ₁₂ 2 4 20 2 1 2i Logo os autovalores são λ₁₂ 1 2i Para λ₁ 1 2i temos o autovetor v v₁ v₂ tal que A λ₁Iv 0 0 2 2i 8 1 2 2iv₁ v₂ 0 0 2 2iv₁ 8v₂ 0 v₁ 2 2iv₂ 0 v₁ 2 2iv₂ Logo o autovetor v é v 2 2i 1 E o autovetor u associado λ₂ 1 2i é seu conjugado isto é u 2 2i 1 Daí podemos escrever a solução como x y x 2 2i 1c₁e1 2it c₂2 2i 1e1 2it com c₁ e c₂ ℝ h x 5x y y 2x 3y x y 5 1 2 3x y Logo a matriz é A 5 1 2 3 e seus autovalores são 0 detA λI 5 λ 1 2 3 λ 15 5λ 3λ λ² 2 λ² 8λ 17 Logo λ12 8 69 68 2 8 2i 2 4 i Então para λ1 4 i temos o autovetor v v1 v2 tq A λ1Iv1 0 0 1 i 1 2 1 iv1 v2 0 0 1 iv1 v2 0 v2 1 iv1 Logo o autovetor é v 1 1 i e o autovetor associado a λ2 4 i é u 1 1 i Daí segue que a solução do sistema é x y c1 1 1 i e4 it c2 1 1 i e4 it com c1 c2 ℝ