Lista de Exercícios Resolvendo EDOs Metodo Variação Parametros e Series Taylor

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral IV Curso Engenharia Civil 255102 Prof Miguel Jorge Bernabe Ferreira Exercício 1 Uma estratégia para resolver EDOs lineares de segunda ordem não homogêneas da forma y py qy fx é o chamado método da variação dos parâmetros Esse método consiste em encontrar a solução geral da EDO a partir de duas soluções LI da equação homogênea Considere portanto y1x e y2x duas soluções LI da EDO homogênea O método consiste em encontrar a solução geral que será da forma yx uxy1x vxy2x sendo ux e vx funções a serem determinadas Assumimos por simplicidade e sem perda de generalidade que uxy1x vxy2x 0 Com base nessa discussão mostre que as funções ux e vx são dadas por ux 0 y2x fx y2x Wy1x y2x dx e vx y1x 0 y1x fx Wy1x y2x dx sendo Wy1x y2x o Wronskiano Exercício 2 Considere a EDO a seguir y y secx a encontre a solução geral da EDO a seguir usando o método da variação dos parâmetros b considerando as condições iniciais y0 2 e y0 3 determine a solução da EDO Exercício 3 Considere a EDO a seguir y y 2y 4x 4 a encontre a solução geral da EDO a seguir usando o método da variação dos parâmetros b considerando as condições iniciais y0 3 e y0 3 determine a solução da EDO Exercício 4 Considere a EDO a seguir x2y 2xy 2y 0 Note que essa não é uma EDO com coeficientes constantes Uma maneira de resolver uma EDO como essa é supor uma solução escrita como uma série de Taylor yx a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 n0 anxn Porém note que a expansão acima possui infinitas constantes a serem determinadas e por se tratar de uma EDO de segunda ordem somente duas constantes arbitrárias são suficientes para parametrizar a solução geral a mostre que a solução geral desse problema pode ser resumida a yx Ax Bx2 b considerando as condições iniciais y1 0 e y0 1 determine as constantes A e B