Equações Diferenciais Parciais Metodos de Fourier e Variáveis Complexas - Zill e Cullen

3 3 Equações diferenciais parciais métodos de Fourier e variáveis complexas Z69m Zill Dennis G Matemática avançada para engenharia 3 recurso eletrônico Dennis G Zill Michael R Cullen tradução Fernando Henrique Silveira 3 ed Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2009 Editado também como livro impresso em 2009 Contém gráfi cos desenhos e tabelas ISBN 9788577805990 1 Matemática 2 Equações diferenciais 3 Variáveis complexas I Cullen Michael R II Título CDU 5179 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB101922 2009 Loyola Marymount University ExProfessor da Loyola Marymount University Tradução Fernando Henrique Silveira Doutor em Engenharia Elétrica pela UFMG Consultoria supervisão e revisão técnica desta edição Antonio Pertence Júnior Professor Titular de Matemática da Faculdade de SabaráMG Membro efetivo da SBM Versão impressa desta obra 2009 Reservados todos os direitos de publicação em língua portuguesa à ARTMED EDITORA SA BOOKMAN COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED EDITORA SA Av Jerônimo de Ornelas 670 Santana 90040340 Porto Alegre RS Fone 51 30277000 Fax 51 30277070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web e outros sem permissão expressa da Editora SÃO PAULO Av Angélica 1091 Higienópolis 01227100 São Paulo SP Fone 11 36651100 Fax 11 36671333 SAC 0800 7033444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL Obra originalmente publicada sob o título Advanced Engineering Mathematics ISBN 9780763745912 Jones and Bartlett Publishers Inc 40 Tall Pine Drive Sudbury MA 01776 USA Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers All Rights Reserved Capa Rogério Grilho arte sobre capa original Leitura fi nal Théo Amon Supervisão editorial Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica Techbooks Prefácio da Terceira Edição Ao contrário de um curso de cálculo ou equações diferenciais para os quais o con teúdo do curso é bastante padronizado o conteúdo de um curso intitulado mate mática para engenharia pode variar consideravelmente entre instituições acadêmi cas diferentes Um livro de Matemática Avançada para Engenharia é portanto um compêndio de muitos tópicos matemáticos todos relacionados pelo fato de serem necessários ou úteis em cursos e carreiras subsequentes em ciência e engenharia Li teralmente não existem limites para a quantidade de tópicos a serem incluídos em um texto como esse Consequentemente este livro representa a opinião do autor neste momento com relação ao conteúdo da matemática para engenharia Conteúdo do livro Para a flexibilidade na seleção dos tópicos a obra está dividida em três volumes Será possível observar que acreditamos que a espinha dorsal da matemática relacio nada à ciênciaengenharia se refere a teoria e aplicações de equações diferenciais parciais e ordinárias Volume 1 Equações Diferenciais Elementares Os seis capítulos desse volume constituem um breve curso completo de equações diferenciais elementares Volume 2 Vetores Matrizes e Cálculo Vetorial O Capítulo 1 Vetores e o Capítulo 3 Cálculo Vetorial incluem muitos dos tópicos usualmente abordados no terceiro semestre de um curso de cálculo vetores geométri cos funções vetoriais derivadas direcionais integrais de linha integrais dupla e tripla integrais de superfície teorema de Green teorema de Stokes e o teorema da divergên cia O Capítulo 2 Matrizes é uma introdução aos sistemas de equações algébricas de terminantes e álgebra matricial com ênfase especial naqueles tipos de matrizes que são úteis para a solução de sistemas de equações diferenciais lineares Seções a respeito de criptografia códigos de correção de erro o método dos mínimos quadrados e modelos comportamentais discretos são apresentados como aplicações de álgebra matricial vi Prefácio Volume 3 Parte 1 Sistemas de Equações Diferenciais Os dois capítulos dessa parte são Sistema de Equações Diferenciais Lineares e Sis temas de Equações Diferenciais Não Lineares No Capítulo 1 sistemas de equações de primeira ordem lineares são resolvidos utilizando os conceitos de autovalores e autovetores diagonalização e por meio de uma função matricial exponencial No Capítulo 2 conceitos de estabilidade são apresentados utilizando duas aplicações fluxo de fluido em um plano e o movimento de um glóbulo em um fio Parte 2 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais No Capítulo 3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier são destacados os tópicos fundamentais sobre conjuntos de funções ortogonais e expansões de funções em ter mos de uma série infinita de funções ortogonais Esses tópicos são então utilizados nos Capítulos 4 e 5 nos quais problemas de valor de contorno em coordenadas re tangular polar cilíndrica e esférica são resolvidos usando o método da separação de variáveis No Capítulo 6 Método da Transformada Integral problemas de valor de contorno são resolvidos por meio das transformadas integrais de Laplace e Fourier Parte 3 Análise Complexa Os capítulos dessa parte abrangem os conceitos básicos de números complexos por meio de aplicações de mapeamentos conformes na solução do problema de Dirichlet Esse material por si só poderia facilmente servir como um curso introdutório de três meses em variáveis complexas Principais características do livro O texto foi totalmente modernizado de modo a dotar engenheiros e cientistas com as habilidades matemáticas necessárias para os desafios tecnológicos atuais Novos projetos de engenharia e ciência contribuições dos melhores matemáti cos foram adicionados Esses projetos estão amarrados a tópicos matemáticos no texto Diversos novos problemas foram adicionados Além disso muitos conjuntos de exercícios foram reorganizados e em alguns casos completamente rees critos de modo a seguir o fluxo de desenvolvimento na seção e para melhor facilitar a atribuição da tarefa a ser feita em casa Os conjuntos de exercícios também refletem uma maior ênfase em conceitos Como na segunda edição existe uma ênfase extensiva em equações diferen ciais como modelos matemáticos A idéia de um modelo matemático está in dicada ao longo do texto e as construções e armadilhas de diversos modelos são discutidas Projeto do texto Como pode ser facilmente observado o livro tem um formato grande e é colorido tornandoo mais prazeroso de ler e aprender Todas as figuras possuem textos expli cativos Mais Observações e anotações nas margens foram adicionadas ao longo do texto Cada capítulo tem uma página de abertura que inclui uma lista de conteúdo e uma introdução ao material abordado naquele capítulo Exercícios de revisão são apresentados ao final de cada capítulo As respostas dos problemas ímpares selecio nados estão na parte final do livro Prefácio vii Suplementos Os professores que adotarem a obra terão acesso ao material suplementar Esses professores devem acessar o site wwwbookmancombr e entrar na Área do Pro fessor Lá encontrarão o Manual de Soluções em inglês e lâminas de Power Point em português Agradecimentos Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas que generosamente cederam o tempo das suas agendas ocupadas para fornecer os projetos que aparecem antes do texto principal Anton M Jopko Departamento de Física e Astronomia McMaster University Warren S Wright Departamento de Matemática Loyola Marymount University Eu gostaria de agradecer às seguintes pessoas por suas informações e sugestões para o aprimoramento em relação às edições anteriores e das versões preliminares da nova edição Sonia Henckel Texas Tech University Donald Hartig California Polytechnic State University San Luis Obispo Jeff Dodd Jacksonville State University Victor Elias University of Western Ontario Cecilia Knoll Florida Institute of Technology William Criminale University of Washington Stan Freidlander Bronx Community College Herman Gollwitzer Drexel University Robert Hunt Humboldt State University Ronald Guenther Oregon State University Noel Harbertson California State University Gary Stoudt Indiana University of Pennsylvania A tarefa de compilar um texto desse tamanho foi para dizer o mínimo demo rada e difícil Durante o processo no qual centenas de páginas manuscritas foram passadas por muitas mãos indubitavelmente alguns erros ocorreram Peço descul pas antecipadas por isso e certamente gostaria de saber de algum erro que possa ser corrigido Enviem todas as correções via email para o meu editor Tim Anderson em tandersonjbpubcom Dennis G Zill Los Angeles Sobre a Capa Quando o viaduto de Millau foi aberto para o tráfego em 16 de dezembro de 2004 ele foi saudado como o mais alto do mundo Ele se localiza no Vale Rhone na Fran ça e atravessa o largo vale do rio Tarn próximo da conhecida vila de Millau A ponte de aço e concreto estaiada por múltiplos cabos é constituída por oito vãos Mais de 43 mil toneladas de aço foram utilizadas na construção dos deques de contenção das torres e dos pilares temporários utilizados durante a construção O pilar mais alto mede 342 m o que a torna 2134 m mais alta do que a torre Eiffel com a sua antena O viaduto de Millau é celebrado como um trabalho de arte assim como uma rea lização de engenharia fora de série Seu aspecto aberto e arejado 2716 m acima do rio Tarn oferece vistas espetaculares para os passageiros que cruzam os seus 25744 m de comprimento Durante os meses do verão mais de 28 mil veículos cruzam por dia essa ligação nortesul entre Paris e o Mediterrâneo Quando o arquiteto britânico Norman Foster projetou a ponte ele queria dar a ela um aspecto arejado e flexível A delicadeza de uma borboleta dizia Foster Ela tem que se fundir com a natureza Os pilares teriam que se parecer quase orgânicos como se tivessem crescido a partir da terra O presidente da França Jacques Chirac proclamou Essa inauguração excep cional entrará para a história industrial e tecnológica Ele elogiou os projetistas e construtores da ponte por criar uma maravilha de arte e arquitetura um novo emblema da engenharia civil da França Sumário Projeto para a Seção 53 O átomo de hidrogênio 13 Projeto para a Seção 64 A desigualdade da incerteza em processamento de sinais 16 Projeto para a Seção 64 Difração de Fraunhofer por uma abertura circular 18 Projeto para a Seção 72 Instabilidades de métodos numéricos 20 Capítulo 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 23 11 Teoria preliminar 24 12 Sistemas lineares homogêneos 31 121 Autovalores reais distintos 32 122 Autovalores repetidos 35 123 Autovalores complexos 39 13 Solução por diagonalização 44 14 Sistemas lineares não homogêneos 47 141 Coeficientes indeterminados 47 142 Variação de parâmetros 50 143 Diagonalização 52 15 Exponencial de matriz 55 Capítulo 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares 61 21 Sistemas autônomos 62 22 Estabilidade de sistemas lineares 68 23 Linearização e estabilidade local 77 24 Sistemas autônomos como modelos matemáticos 86 25 Soluções periódicas ciclos limites e estabilidade global 94 10 Sumário Capítulo 3 Funções Ortogonais e Séries de Fourier 105 31 Funções ortogonais 106 32 Séries de Fourier 111 33 Séries de Fourier do coseno e do seno 116 34 Série complexa de Fourier 123 35 Problema de SturmLiouville 127 36 Séries de Bessel e Legendre 134 361 Série de FourierBessel 135 362 Série de FourierLegendre 138 Capítulo 4 Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares 142 41 Equações diferenciais parciais separáveis 143 42 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 147 43 Equação do calor 152 44 Equação de onda 155 45 Equação de Laplace 160 46 PVCs não homogêneos 165 47 Expansões em séries ortogonais 172 48 Série de Fourier em duas variáveis 176 Capítulo 5 Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas 181 51 Problemas em coordenadas polares 182 52 Problemas em coordenadas polares e coordenadas cilíndricas Funções de Bessel 187 53 Problemas em coordenadas esféricas Polinômios de Legendre 193 Capítulo 6 Método da Transformada Integral 198 61 Função erro 199 62 Aplicações da transformada de Laplace 200 63 Integral de Fourier 208 64 Transformadas de Fourier 213 65 Transformada rápida de Fourier 219 Capítulo 7 Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais 230 71 Equação de Laplace 231 72 A equação do calor 236 73 A equação de onda 242 Capítulo 8 Funções de Variáveis Complexas 247 81 Números complexos 248 82 Potências e raízes 252 83 Conjuntos no plano complexo 256 84 Funções de uma variável complexa 259 85 Equações de CauchyRiemann 265 86 Funções exponenciais e logarítmicas 270 87 Funções trigonométricas e hiperbólicas 276 88 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas 280 Capítulo 9 Integração no Plano Complexo 284 91 Integrais de contorno 285 92 Teorema de CauchyGoursat 290 93 Independência do caminho 295 94 Fórmulas integrais de Cauchy 301 Capítulo 10 Séries e Resíduos 308 101 Sequências e séries 309 102 Série de Taylor 314 103 Série de Laurent 320 104 Zeros e pólos 328 105 Resíduos e teorema do resíduo 331 106 Cálculo de integrais reais 337 Capítulo 11 Mapeamentos Conformes 345 111 Funções complexas como mapeamentos 346 112 Mapeamentos conformes 350 113 Transformações fracionais lineares 357 114 Transformações de SchwarzChristoffel 363 115 Fórmulas integrais de Poisson 368 116 Aplicações 372 Apêndice 381 Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 387 Índice 411 Sumário 11 PROJETO PARA A SEÇÃO 53 O átomo de hidrogênio Matheus Grasselli PhD Departamento de Matemática e Estatística McMaster University No início do século XX um dos problemas não resolvidos mais importantes da física estava relacionado ao átomo de hidrogênio Com apenas um próton e um elétron o átomo de hidrogênio era o exemplo mais simples a ser explicado por qualquer modelo atômico A figura clássica era a de um elétron orbitando em torno do próton em decorrência da atração elétrica Essa hipótese no entanto era inconsistente pois o elétron precisava acelerar para se mover ao redor do próton Qualquer partícula carregada acelerada irradia ondas eletromagnéticas Assim com o passar do tempo o elétron deveria perder energia cinética e acabar se deslocando em direção ao núcleo do átomo Outro ponto que tornava esse assunto ainda mais incompreensível se referia ao fato de se saber a partir de dados espectroscópicos que o gás hidrogênio emitia luz com comprimentos de onda muito específicos as chamadas linhas espectrais Além disso as linhas espectrais que podiam ser observadas na escala visível satisfaziam uma fórmula empírica primeiro descrita por J J Balmer em 1885 Considerando que o comprimento de onda fosse representado por λ as linhas espectrais passaram a ser denominadas como série de Balmer sendo definidas por 1λ RH 14 1k² k 3 4 5 onde RH é uma constante para a qual o melhor valor empírico é 109677576 12m¹ Qualquer modelo atômico razoável não apenas tem que explicar a estabilidade do átomo do hidrogênio como também tem que produzir uma explicação para as linhas espectrais com frequências que satisfazem a fórmula O primeiro modelo desse tipo foi proposto por Niels Bohr em 1913 utilizando uma combinação engenhosa de argumentos clássicos e dois postulados quânticos Bohr considerou que o elétron estivesse restringido a se mover em órbitas com momentos angulares quantizados isto é múltiplos inteiros de uma dada constante Veja a Figura 1 Além disso o átomo emitiria energia na forma de ondas eletromagnéticas somente quando o elétron saltasse de uma órbita fixa para outra As frequências dessas ondas seriam então indicadas pela fórmula de Planck ΔE ħν onde ΔE é a diferença de energia entre as órbitas e ħ é a constante de Planck Tente reproduzir os passos de Bohr solucionando os Problemas 13 Figura 1 Modelo planetário de Bohr para o átomo de hidrogênio nesse modelo um elétron pode ocupar somente determinadas órbitas ao redor de um núcleo constituído por um próton Problemas relacionados 1 Suponha conforme indicado na Figura 1 que o elétron tenha massa m e carga e e se mova em uma órbita circular de raio r em torno do próton que tem carga e e uma massa muito maior Utilize as fórmulas clássicas da força elétrica de cargas pontuais para deduzir que a energia mecânica total cinética mais potencial para o elétron nessa órbita é E e² 8πε₀r onde ε₀ é a permissividade do espaço Ademais deduza que o momento angular clássico para essa órbita é L me²r 4πε₀ 2 Agora vamos aplicar o primeiro postulado de Bohr considere que o momento angular tenha a forma L nħ onde n 1 2 Substitua essa expressão na equação 3 e obtenha uma expressão para os níveis quantizados de energia do átomo de hidrogênio 3 Estamos agora prontos para aplicar o segundo postulado de Bohr Suponha que um elétron faça uma transição do nível de energia Ek para o nível de energia En para inteiros k n Use a fórmula ΔE ħν e a relação λν c onde c é a velocidade da luz para deduzir que o comprimento de onda emitido por essa transição é 1λ me⁴ 8h³ε₀²c 1n² 1k² Coloque n 2 na equação 4 e conclua que temos como resultado a série de Balmer com RH me⁴ h³ 2² ε₀ c Faça agora uma pesquisa na literatura a respeito dos valores das constantes físicas que aparecem nessa fórmula e calcule RH Esse valor é comparável ao valor empírico Finalmente substitua m pela massa reduzida mM m M onde M é a massa do próton e se impressione com a exatidão formidável do resultado obtido Além do seu sucesso óbvio o modelo de Bohr esticava a teoria clássica até onde dava com postulados quânticos ad hoc onde necessário Essas características foram justamente consideradas insatisfatórias o que inspirou os físicos a desenvolver uma teoria do fenômeno atômico muito mais abrangente dando surgimento à mecânica quântica Em seu núcleo está uma equação diferencial parcial proposta por Erwin Schrödinger em 1926 em um artigo sugestivamente intitulado Quantização como um Problema de Autovalores A equação de Schrödinger independente do tempo para um sistema físico de massa m sujeito a um potencial Vx é ħ² 2m ²Ψx VxΨx EΨx onde ² é o operador Laplaciano e E é o valor escalar para a energia total do sistema no estado estacionário Ψx Aqui x xyz representa um ponto no espaço tridimensional A interpretação correta da função Ψx envolve argumentos probabilísticos sutis Para o nosso problema é suficiente dizer que Ψx contém toda a informação que pode ser fisicamente obtida a respeito do sistema em consideração Nosso propósito agora no espírito do trabalho original de Schrödinger é tentar obter os níveis de energia En para o átomo de hidrogênio como os valores possíveis de energia para os quais a equação 5 admite uma solução Tente agora resolver o próximo problema 4 Como a energia potencial Vr e² 4πε₀r depende apenas do raio r é natural para esse problema considerar coordenadas esféricas r θ φ definidas pelas equações x r sen θ cos φ y r sen θ sen φ z r cos θ Comece por reescrever a equação 5 nessas coordenadas recorde a expressão para o operador Laplaciano em coordenadas esféricas indicado em 2 da Seção 153 Aplique agora separação de variáveis com Ψx RrΘθΦφ para mostrar que a componente radial Rr satisfaz Rʺ 2r R 2mħ²e² 4πε₀r E R k² 2m ħ² r² onde k é uma constante Na solução do Problema 4 você deve ter notado que a técnica de separação de variáveis dividiu a equação de Schrödinger em duas partes uma que depende somente de r e a outra dependendo apenas de θ e φ Cada uma dessas partes tem que ser igual a uma constante que denominamos k Se fôssemos determinar a solução da parte angular aquela envolvendo θ e φ obteríamos k como sendo um número quântico relacionado ao momento angular do átomo Para o restante desse projeto consideraremos o caso k 0 que corresponde a estados com momento angular nulo Nesse ponto resolva os Problemas 57 5 Coloque k 0 na equação 6 e considere seu limite como sendo r Mostre que eᶜʳ onde C 2mE ħ² é uma solução para essa equação limite 6 Com base no exercício anterior considere uma solução geral da forma Rr freᶜʳ para uma função analítica fr Por analiticidade a função fr possui uma expansão em série fr a₀ a₁r a₂r² Substitua essa série na equação 6 com k 0 e deduza que os coeficientes aᵢ satisfazem a relação recursiva aj 2 jC B jj 1 aj1 j 1 2 onde B me² 4πε₀ħ² 7 Mostre que o limite da equação 8 para valores grandes de j é aj 2C j 1 aj1 que é a série de potência para a função e²Cr Conclua que a única forma da função Rr decair para zero com o aumento de r ocorre quando a série de potência para fr termina após um número finito de termos Finalmente observe que esse será o caso se e somente se nC B para algum inteiro n Nosso problema final nesse projeto resultará nos níveis de energia do átomo de hidrogênio como consequência do trabalho realizado Você deve observar que até o momento a existência de níveis de energia quantizados não teve que ser postulada mas sim de duzida a partir da análise matemática da equação de Schrödinger Como os passos de obtenção são mais difíceis do que aqueles seguidos por Bohr deve estar claro para você que a eliminação dos axiomas diretos de quan tização de Bohr foi uma realização significativa de Schrödinger pela qual ele foi premiado com o prêmio Nobel de física em 1933 8 Utilize a condição expressada no exercício anterior e as fórmulas obtidas para C e B para concluir que as ener gias permitidas para o átomo de hidrogênio em um esta do com momento angular nulo são 9 que devem coincidir com os níveis de energia que você obteve para o átomo de Bohr no Problema 2 PROJETO PARA A SEÇÃO 64 A desigualdade da incerteza em processamento de sinais Jeff Dodd PhD Departamento de Matemática Computação e Ciência da Informação Jacksonville State University Engenheiros de comunicação interpretam a transformada de Fourier como decompondo um sinal fx que transporta informação onde x representa o tempo em uma superposição de tons senoidais puros tendo frequências representadas por uma variável real De fato engenheiros usualmente pensam a respeito da representação resultante no domínio da frequência tanto quanto ou mais do que a respeito da representação no domínio do tempo isto é o próprio sinal Um fato fundamental do processamento de sinais é que quanto mais estreito for um sinal no domínio do tempo mais largo ele será no domínio da frequência De modo oposto quanto mais estreito um sinal no domínio da frequência mais largo ele será no domínio do tempo Esse efeito é importante porque na prática um sinal tem que ser enviado em um intervalo de tempo limitado e usando um intervalo limitado ou faixa de frequências Nesse projeto descreveremos e investigaremos esse compromisso entre duração e largura de faixa de modo qualitativo e quantitativo Os resultados da nossa investigação darão suporte a uma regra prática comum o número de sinais diferentes que podem ser enviados em uma certa duração de tempo utilizando uma determinada faixa de frequências é proporcional ao produto da duração do tempo e largura da faixa de frequências Problemas relacionados Aplicaremos a forma complexa da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier indicadas em 5 e 6 da Seção 64 Utilizaremos a notação 𝑓α para representar a transformada de Fourier de uma função fx de uma maneira compacta que torna explícita sua dependência em relação a f isto é 𝑓α ℱfx Consideramos f como sendo uma função de valores reais A seguir você desenvolverá duas propriedades simples que se aplicam a 𝑓 1 Mostre que se α 0 então 𝑓α overline𝑓α Logo para qualquer α 𝑓α 𝑓α Aqui as notações overlinez e z representam o conjugado e o módulo de um número complexo z respectivamente 2 Se k for um número real considere fkx fx k Mostre que 𝑓kα eiak 𝑓α Assim deslocar um sinal no tempo não afeta os valores de 𝑓α no domínio da frequência Mantendo esses fatos em mente consideramos agora o efeito de estreitar ou alargar um sinal no domínio do tempo simplesmente escalonando a variável temporal 3 Se c for um número positivo considere fcx fcx Mostre que 𝑓cα 1c 𝑓αc Portanto estreitar a função do sinal f no domínio do tempo c 1 alarga a sua transformada no domínio da frequência e alargar a função do sinal f no domínio do tempo c 1 estreita a sua transformada no domínio da frequência Para quantificar o efeito que observamos no Problema 3 precisamos definir uma medida de largura do gráfico de uma função A medida utilizada mais comum é a largura da raiz da média dos quadrados ou raiz quadrática média que quando aplicada a um sinal f nos domínios do tempo e da frequência resulta em uma raiz quadrática média da duração Df e uma raiz quadrática média da largura de faixa Bf indicadas por Df² x²fx² dx fx² dx e Bf² α²𝑓α² dα 𝑓α² dα Assim a largura de faixa e a duração são calculadas com relação aos centros de α 0 e x 0 pois pelos Problemas 1 e 2 o gráfico de 𝑓α² é simétrico em torno de α 0 no domínio da frequência e o sinal pode ser deslocado horizontalmente no domínio do tempo sem afetar o gráfico de 𝑓α² no domínio da frequência 4 Mostre que para uma família de funções fcx definidas no Problema 3 Dfc Bfc é independente de c 5 Mostre que para a família de funções fcx ecx Dfc Bfc 2 2 Sugestão Pelo Problema 4 podemos adotar fx f1x A integral de Fourier neces sária pode ser retirada do Exemplo 3 da Seção 63 Para calcular as integrais em Df e Bf pense a respeito de integração por partes e frações parciais respectivamente A duração e a largura de faixa de um sinal são inversamente proporcionais uma em relação a outra sob o escalonamento da variável de tempo E em relação à constante de proporcionalidade Quão pequeno Df Bf pode ser Notavelmente existe um limite inferior para esse produto 6 Obtenha a desigualdade da incerteza Se fx² dx fα² dα e lim x xfx² 0 então Df Bf ½ Siga esses passos a Estabeleça a fórmula de Parseval fx² dx 12π fα² dα Sugestão Aplique o teorema da convolução indicado no Problema 20 Exercícios 64 com gx fx Especificamente aplique a fórmula para a transformada inversa de Fourier apresentada em 6 da Seção 64 mostre que gα fα e então adote x 0 b Estabeleça a desigualdade de Schwartz Para funções reais h1 e h2 ab h1sh2s ds² ab h1s² ds ab h2s² ds com igualdade ocorrendo somente quando h2 ch1 onde c é uma constante Sugestão Escreva ab λh1s h2s² ds como uma expressão quadrática Aλ² Bλ C na variável real λ Note que a expressão quadrática é não negativa para todo λ e considere o discriminante B² 4AC c Estabeleça a desigualdade da incerteza Sugestão Primeiro aplique a desigualdade de Schwartz como segue xfxfx dx² xfx²dx fx² dx Aplique integração por partes para mostrar que xfx fx dx ½ fx² dx Reescreva a segunda integral que aparece no lado direito da desigualdade utilizando a propriedade operacional 11 da Seção 64 e a fórmula de Parseval 7 a Mostre que se f indicar o mínimo valor possível de Df Bf então fx cxfx onde c é alguma constante Resolva essa equação diferencial para mostrar que fx decx²2 para c 0 e d uma constante Tal função é chamada função gaussiana Funções gaussianas desempenham papel importante na teoria da probabilidade b Tome a transformada de Fourier de ambos os lados da equação diferencial do item a para obter uma equação diferencial para fα e mostre que fα f0eα²2c onde c é a mesma do item a Você precisará da seguinte consideração ddα fα ddα fx e iαx dx α fx e iαx dx ix fx e iαx dx i x fα No Problema 35 dos Exercícios 311 do Volume 2 vimos que ex² dx π A partir desse fato podemos deduzir que f0 2πc d Logo o mínimo valor possível de Df Bf é alcançado para uma função gaussiana cuja transformada de Fourier é outra função gaussiana A palavra incerteza está associada com a desigualdade apresentada no Problema 6 pois a partir de um ponto de vista mais abstrato ela é matematicamente análoga ao famoso princípio da incerteza de Heisenberg da mecânica quântica A interpretação desse princípio de mecânica quântica é uma tarefa sutil mas ele é comumente compreendido como quanto mais exata for determinada a posição de uma partícula com menos exatidão se conhecerá seu momento e viceversa PROJETO PARA A SEÇÃO 64 Difração de Fraunhofer por uma abertura circular Anton M Jopko PhD Departamento de Física e Astronomia MacMaster University Como as estrelas no céu estão a uma enorme distância de nós podemos considerálas fontes pontuais de luz Se você olhar para uma estrela por meio de um telescópio você esperaria ver apenas outro ponto de luz embora muito mais brilhante certo Entretanto esse não é o caso Como a luz é uma onda ela se difrata ao passar pela abertura circular do telescópio e se espalha sobre uma pequena região nebulosa que chamaremos de diagrama de difração Esse projeto investigará o formato do diagrama de difração para a luz que passa por uma abertura circular de raio R Para simplificar consideramos que a luz tenha um comprimento de onda ou cor λ Próxima à estrela essa onda tem uma frente de onda esférica porém quando ela nos atinge sua frente de onda tem a forma de uma onda plana Todos os pontos na frente de onda têm a mesma fase Vamos agora apontar o telescópio com a sua abertura circular e suas lentes diretamente para a estrela de modo que as frentes das ondas planas incidam pela esquerda como na Figura 1 A partir do princípio de Huygen cada ponto na abertura circular emite uma onda em todas as direções A difração de Fraunhofer requer que as ondas deixem a abertura em um agrupamento paralelo se propagando em direção a um ponto P muito distante O único propósito das lentes é formar uma imagem pontual desse agrupamento paralelo a uma distância muito mais próxima da abertura A difração aconteceria mesmo sem as lentes A linha tracejada unindo as duas origens é também o eixo da abertura e das lentes O sistema LM de coordenadas está no plano focal da lente e a sua origem está onde toda a luz a partir da estrela apareceria na ausência da difração Em decorrência da difração no entanto alguma luz aparecerá também em P O ponto P é um ponto genérico mas muito próximo de O estando a apenas poucos arcosegundos de distância Figura 2 Na Figura 2 ligamos a abertura e as lentes pois na prática as extremidades da lente também definem a abertura Por causa da simetria circular das lentes e do diagrama de difração é desejável que trabalhemos em coordenadas polares Considere uma onda sendo emitida a partir de um ponto S na lente com coordenadas XY ou ρ θ e que chegue em P com coordenadas L M ou coordenadas angulares w ψ Então X ρ cosθ Y ρ senθ L w cosψ e M w sen ψ Aqui ρ é a distância radial a partir do centro das lentes para a fonte S da onda emitida e θ é o seu ângulo polar w é o raio angular de P e ψ é o seu ângulo polar As ondas emitidas na abertura estão em fase e têm a mesma amplitude porém todas elas viajam distâncias diferentes até o ponto P se tornando fora de fase lá A intensidade da luz em P será proporcional ao quadrado da amplitude resultante de todas as ondas que chegam em P Precisamos agora calcular essa amplitude resultante considerando as diferenças de fase entre as ondas Definimos o número de onda das ondas incidente e emitida como sendo k 2πλ Então de acordo com o livro Principles of Optics sétima edição de Born e Wolf a amplitude resultante em P a partir de todas as ondas emitidas na abertura é apenas a transformada de Fourier da abertura onde C é uma constante proporcional em parte ao brilho da estrela A intensidade em P será então dada por UP² Esse é o diagrama de difração para a estrela em função do raio angular w Problemas relacionados 1 Mostre que a amplitude resultante em P utilizando os dois sistemas de coordenadas polares pode ser escrita como 2 Utilizando a identidade in2π 0²π ei x cos α einα dα Jnx onde Jn é a função de Bessel de primeiro tipo mostre que a amplitude resultante se reduz para UP 2πC 0R J0kρwρ dρ para qualquer ψ Escolhemos ψ 0 Essa expressão é também conhecida como transformada de Hankel de uma abertura circular 3 Utilizando a relação de recorrência ddu un1Jn1u un1Jnu mostre que 0x uJ0u du xJ1x 4 Mostre que UP CπR² 2J1kRwkRw Portanto a intensidade é dada por UP² 2J1kRwkRw² I0 5 O que é lim w0 2J1kRwkRw 6 Qual é o significado físico de I0 7 Qual é o valor da menor raiz não nula de J1 Utilizando λ 550 nm R 10 cm e a menor raiz anteriormente obtida calcule o raio angular w em arcosegundos do disco de difração central 8 Trace um gráfico de 2J1kRwkRw como uma função de kRw bem como da intensidade seu quadrado O diagrama de difração da estrela consiste de um disco central brilhante envolto por diversos anéis concêntricos finos e de pouca luminosidade O disco é denominado disco de Airy em homenagem a GB Airy que foi o primeiro a calcular o diagrama de difração de uma abertura circular em 1826 9 O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o raio R da abertura for duplicado 10 O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento de onda λ da luz for duplicado 11 O que ocorre com a largura angular do diagrama de difração se o comprimento focal das lentes for duplicado 12 Suponha que uma abertura circular tenha o formato de um anel com raio interno a e raio externo b Determine UP Esse resultado tem importância prática pois telescópios refletores quase sempre têm uma obstrução na parte central da abertura 13 Suponha que o anel no Problema 12 seja muito estreito de modo que b a Δa com Δa sendo pequeno mas não infinitesimal Mostre então que a amplitude resultante aproximada é dada por UP C2πaΔaJ0kwa Sugestão Interprete o resultado Up do Problema 12 como uma aproximação para d uJ1udu uJ0u com u kwa PROJETO PARA A SEÇÃO 72 Instabilidades de métodos numéricos Dmitry Pelinovsky PhD Departamento de Matemática e Estatística MacMaster University Métodos de diferenças finitas para soluções numéricas de equações diferenciais parciais podem ser surpreendentemente inapropriados para aproximações numéricas O problema principal dos métodos de diferenças finitas especialmente com esquemas de interação explícita é que eles podem aumentar os ruídos de arredondamento numérico em decorrência de instabilidades intrínsecas Tais instabilidades ocorrem muito frequentemente em trabalhos de pesquisa Um engenheiro deve estar preparado para essa situação Após gastar diversas horas no desenvolvimento de um novo método numérico para modelagem de um problema aplicado e na programação cuidadosa do método em uma linguagem computacional o programa pode se tornar inútil por causa das suas instabilidades dinâmicas A Figura 1 ilustra uma solução numérica da equação de onda por um método de diferenças finitas explícito onde o passo de tempo k excede metade do tamanho de passo quadrado k veja o Exemplo 1 na Seção 72 Esperase que uma solução de uma equação do calor para uma haste de comprimento infinito com temperaturas nulas nas extremidades exiba um decaimento suave a partir de uma distribuição de calor inicial para o nível constante de temperatura zero No entanto a superfície na Figura 1 mostra que o decaimento suave esperado é destruído pelo ruído que cresce rapidamente devido às instabilidades dinâmicas do método explícito As instabilidades de métodos numéricos de diferenças finitas podem ser compreendidas por uma aplicação elementar da transformada discreta de Fourier que foi estudada na Seção 65 O princípio da superposição linear e a transformada discreta de Fourier nos permitem separar as variáveis em um método de diferenças finitas numérico e estudar a evolução temporal individual interações de cada modo de Fourier da solução numérica Para simplificar consideraremos o método de diferenças finitas explícito para a equação do calor ut uxx no intervalo 0 x a sujeita às condições de contorno nulas em x 0 e x a e a uma condição inicial não nula no instante de tempo t 0 A discretização numérica resulta no esquema de iteração explícita uij1 λui1j 1 2λuij λui1j 1 onde uij é uma aproximação numérica da solução uxt no ponto da malha x xi e o instante de tempo t tj enquanto que λ kh2 é o parâmetro de discretização Vamos congelar o instante de tempo t tj j 0 e expandir o vetor numérico u0j u1j ui j definido na malha igualmente espaçada xi ih i 0 1 n onde nh a na transformada discreta de Fourier do seno uij Σ from l1 to n al j senπlin i 0 1 n 2 As condições de contorno u0 j un j 0 são satisfeitas para qualquer j 0 Em decorrência do princípio da superposição linear consideraremos cada termo da soma na equação 2 separadamente Assim substituímos ui j ul j senκli κl πln no método explícito 1 e obtemos al j1 sen κli 1 2λal j sen κli λal j sen κli 1 sen κli 1 3 Utilizando a identidade trigonométrica sen κli 1 sen κli 1 2 cos κl sen κli o fator senκli é cancelado na equação 3 e obtemos uma fórmula de iteração simples para al j alj1 Qlalj onde Ql 1 2λ 2λcos κl 4 Sabendo que o fator Ql é independente de j podese observar que a amplitude al j do modo de Fourier senκli se modifica em j 0 de acordo com a potência do fator Ql al j Qlij al0 j 0 A amplitude al j crescerá em j se Ql 1 e será limitada ou decairá se Ql 1 Portanto a instabilidade do método de interação explícita é definida a partir da condição Ql 1 para todo l 1 2 n 5 Como Ql 1 para λ 0 a condição de estabilidade 5 pode ser reescrita como 1 4λ sen2 πl2n 1 l 1 2 n 6 que resulta na estabilidade condicional do método explícito para 0 λ 05 Quando λ 05 o primeiro modo instável de Fourier corresponde a l n sendo responsável por um padrão alternante de tempo e espaço crescentes para a sequência de uij Esse padrão é claramente visto na Figura 1 Assim as instabilidades de métodos de diferenças finitas podem ser estudadas utilizandose a transformada discreta de Fourier o princípio da superposição linear e fatores explícitos de interação temporal O mesmo método pode ser aplicado a outros métodos de diferenças finitas para equações do calor e de onda e em geral para uma discretização de qualquer equação diferencial parcial linear com coeficientes constantes Problemas relacionados 1 Considere o método de CrankNicholson implícito para a equação do calor ut uxx veja o Exemplo 2 na Seção 72 ui1 j1 αuij1 ui1 j1 ui1 j βuij ui1 j 7 onde α 21 1λ β 21 1λ e λ kh² Determine a fórmula explícita para Ql na equação 4 e prove que o método de CrankNicholson implícito 7 é incondicionalmente estável para qualquer λ 0 2 Considere o método de diferença central explícito para a equação do calor ut uxx uij1 2λui1 j 2uij ui1 j uij1 8 Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 1 reduza a equação 8 para um esquema de iteração de dois passos alj1 4λcos κl 1alj alj1 9 Utilizando o esquema de interação explícito 4 determine uma equação quadrática para Ql e resolvaa com a fórmula quadrática veja o Exemplo 1 na Seção 112 Prove que o método de diferença central explícito 8 é incondicionalmente instável para qualquer λ 0 3 Considere o método de diferença central explícito para a equação de onda utt c2uxx veja o Exemplo 1 na Seção 73 uij1 λ2ui1 j 21 λ2uij λ2ui1 j uij1 10 onde λ ckh é o número de Courant Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 2 determine e resolva a equação quadrática para Ql Prove que Ql 1 quando ambas as raízes da equação quadrática são complexas Prove que a condição de estabilidade 5 é violada quando ambas as raízes da equação quadrática forem distintas e reais Prove que o método de diferença central explícito 10 é estável para 0 λ2 1 e instável para λ2 1 4 Considere o método para frente no tempo e para trás no espaço para a equação do transporte ut cux 0 uij1 1 λuij λui1j 11 onde λ ckh Considere a transformada discreta complexa de Fourier com o modo de Fourier uij al jeκli onde κ πln i 1 e determine o fator de valor complexo Ql no esquema de iteração de um passo 4 Prove que o método para frente no tempo e para trás no espaço 11 é estável para 0 λ 1 e instável para λ 1 5 Considere o método para trás no tempo e central no espaço para a equação do transporte ut cux 0 λui1j1 2uij1 λui1j1 2uij 12 Utilizando o mesmo algoritmo do Problema 4 prove que o método para trás no tempo e central no espaço 12 é incondicionalmente estável para qualquer λ 0 1 C A P Í T U L O Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Vimos pela primeira vez sistemas de EDs no Volume 1 na Seção 29 e fomos capazes de resolver alguns desses sistemas nas Seções 311 e 46 do mesmo volume Neste capítulo nos concentraremos somente em sistemas de EDs de primeira ordem lineares Enquanto a maioria dos sistemas considerados pode ser resolvida utilizando eliminação Volume 1 Seção 311 ou transformada de Laplace Volume 1 Seção 46 desenvolveremos uma teoria geral para esses tipos de sistemas e no caso de sistemas com coeficientes constantes um método de solução que utiliza alguns conceitos básicos da álgebra matricial Veremos que essa teoria geral e procedimento de solução são similares àqueles de EDs de ordem elevada lineares considerados na Seção 3335 do Volume 1 O material é fundamental também para a análise de sistemas de equações de primeira ordem não lineares Capítulo 2 Descrição do capítulo 11 Teoria preliminar 12 Sistemas lineares homogêneos 121 Autovalores reais distintos 122 Autovalores repetidos 123 Autovalores complexos 13 Solução por diagonalização 14 Sistemas lineares não homogêneos 141 Coeficientes indeterminados 142 Variação de parâmetros 143 Diagonalização 15 Exponencial de matriz Exercícios de revisão 24 CAPÍTULO 1 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 11 Teoria preliminar Observação para o estudante Notação e propriedades matriciais são utilizadas extensivamente ao longo desse capítulo Você deve rever o Capítulo 2 do Volume 2 caso não esteja familiarizado com esses conceitos Introdução Relembre que na Seção 31 do Volume 1 ilustramos como resolver sistemas de n equações diferenciais lineares com n incógnitas da forma P11Dx1 P12Dx2 P1nDxn b1t P21Dx1 P22Dx2 P2nDxn b2t 1 Pn1Dx1 Pn2Dx2 PnnDxn bnt onde Pij são polinômios de vários graus no operador diferencial D Nesse capítulo restringiremos nosso estudo a sistemas de EDs de primeira ordem que sejam casos especiais de sistemas que tenham a forma normal dx1dt g1t x1 x2 xn dx2dt g2t x1 x2 xn 2 dxndt gnt x1 x2 xn Um sistema tal como 2 de n equações de primeira ordem é denominado sistema de primeira ordem Sistemas lineares Quando cada uma das funções g1 g2 gn em 2 for linear nas variáveis dependentes x1 x2 xn obtemos a forma normal de um sistema de primeira ordem de equações lineares dx1dt a11tx1 a12tx2 a1ntxn f1t dx2dt a21tx1 a22tx2 a2ntxn f2t 3 dxndt an1tx1 an2tx2 anntxn fnt Fazemos referência a um sistema da forma indicada em 3 simplesmente como um sistema linear Consideramos que os coeficientes aijt bem como as funções fjt sejam contínuos em um intervalo comum I Quando fjt 0 i 1 2 n o sistema linear é dito ser homogêneo caso contrário ele é não homogêneo Forma matricial de um sistema linear Se X At e Ft representarem as respectivas matrizes X x1t x2t xntT At a11t a12t a1nt a21t a22t a2nt an1t an2t annt Ft f1t f2t fntT então o sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares 3 pode ser escrito como ddt x1 x2 xnT a11t a12t a1nt a21t a22t a2nt an1t an2t annt x1x2xnT f1t f2t fntT ou simplesmente X AX F Se o sistema for homogêneo sua forma matricial é então X AX Exemplo 1 Sistemas escritos em notação matricial a Se X xyT então a forma matricial do sistema homogêneo dxdt 3x 4y dydt 5x 7y é X 3 4 5 7 X b Se X xyzT então a forma matricial do sistema não homogêneo dxdt 6x y z t dydt 8x 7y z 10t dzdt 2x 9y z 6t é X 6 1 1 8 7 1 2 9 1 X t 10t 6t Definição 11 Vetor solução Um vetor solução em um intervalo é qualquer matriz coluna X x1t x2t xntT cujas entradas são funções diferenciáveis que satisfazem o sistema 4 no intervalo Exemplo 2 Verificação de soluções Verifique que no intervalo X1 1 1 e2t e2t e2t e X2 3 5 e6t 3e6t 5e6t são soluções de X 1 3 5 3 X Solução A partir de X1 2e2t 2e2t e X2 18e6t 30e6t temos que AX1 1 3 5 31 5e2t e2t 2e2t 2e2t X1 e AX2 1 3 5 33e6t 5e6t 3e6t 15e6t 15e6t 15e6t 18e6t 30e6t X2 Grande parte da teoria de sistemas de n equações diferenciais de primeira ordem lineares é similar àquela para equações diferenciais lineares de ordem n Problema de valor inicial Seja t0 um ponto em um intervalo I e Xt0 x1t0 x2t0 xnt0T e X0 γ1 γ2 γnT onde γi i12n são constantes dadas Assim o problema Resolver X AtX Ft Sujeita a Xt0 X0 é um problema de valor inicial no intervalo Teorema 11 Existência de uma solução única Considere as entradas das matrizes At e Ft como sendo funções contínuas em um intervalo comum I que contenha o ponto t0 Logo existe uma única solução do problema de valor inicial 7 no intervalo Sistemas homogêneos Nas próximas definições e teoremas estaremos interessados somente em sistemas homogêneos Sem definir consideraremos sempre que aij e fi sejam funções contínuas de t em algum intervalo comum I Princípio da superposição O resultado apresentado a seguir é um princípio da superposição para a solução de sistemas lineares Teorema 12 Princípio da superposição Considere X1 X2 Xk um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo 5 em um intervalo I Assim a combinação linear X c1X1 c2X2 ckXk onde os ci i12k são constantes arbitrárias é também uma solução no intervalo Decorre do Teorema 12 que um múltiplo constante de qualquer vetor solução de um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares é também uma solução Exemplo 3 Utilizando o princípio da superposição Você deve praticar verificando que os dois vetores X1 cos t 12 cos t 12 sen t cos t sen t e X2 0 et 0 são soluções do sistema X 1 0 1 1 1 0 2 0 1 X Pelo princípio da superposição a combinação linear X c1X1 c2X2 c1cos t 12 cos t 12 sen t cos t sen t c20 et 0 é outra solução do sistema Definição 12 Dependênciaindependência linear Considere X1 X2 Xk como sendo um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo 5 em um intervalo I Dizemos que o conjunto é linearmente dependente no intervalo se existirem constantes c1 c2 ck nem todas nulas de modo que c1X1 c2X2 ckXk 0 para todo t no intervalo Se o conjunto de vetores não for linearmente dependente no intervalo ele será linearmente independente O caso no qual k2 deve estar claro dois vetores solução X1 e X2 são linearmente dependentes se um for múltiplo constante do outro e viceversa Para k2 um conjunto de vetores solução é linearmente dependente se pudermos expressar ao menos um vetor solução como uma combinação linear dos vetores restantes Wronskiano Como na nossa consideração inicial da teoria de uma única equação diferencial ordinária podemos introduzir o conceito do determinante Wronskiano como um teste para a independência linear Enunciamos o seguinte teorema sem demonstração Teorema 23 Critério para soluções linearmente independentes Considere X1 x11 x21 xn1T X2 x12 x22 xn2T Xn x1n x2n xnnT sendo n vetores solução do sistema homogêneo 5 em um intervalo I Logo o conjunto de vetores solução será linearmente independente em I se e somente se o Wronskiano continua continuação WX1 X2 Xn x11 x12 x1n x21 x22 x2n xn1 xn2 xnn 0 para todo t no intervalo Pode ser mostrado que se X1 X2 Xn forem vetores solução de 5 então para todo t em I WX1 X2 Xn 0 ou WX1 X2 Xn 0 Assim se pudermos demonstrar que W 0 para algum t0 em I então W 0 para todo t e consequentemente o conjunto de soluções é linearmente independente no intervalo Observe que ao contrário da nossa definição de Wronskian na Seção 31 do Volume 1 aqui a definição do determinante 9 não envolve diferenciação Exemplo 4 Soluções linearmente independentes No Exemplo 2 vimos que X1 1 1e2t e X2 3 5e6t são soluções do sistema 6 Claramente X1 e X2 são soluções linearmente independentes no intervalo pois nenhum vetor é um múltiplo constante do outro Além disso temos WX1 X2 e2t 3e6t e2t 5e6t 8e4t 0 para todos os valores reais de t Definição 13 Conjunto fundamental de soluções Qualquer conjunto X1 X2 Xn de n vetores solução linearmente independentes do sistema homogêneo 5 em um intervalo I é dito ser um conjunto fundamental de soluções no intervalo Teorema 14 Existência de um conjunto fundamental Existe um conjunto fundamental de soluções para o sistema homogêneo 5 em um intervalo I Os próximos dois teoremas são os equivalentes em sistema linear dos Teoremas 35 e 36 do Volume 1 Teorema 15 Solução geral Sistemas homogêneos Considere X1 X2 Xn como sendo um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo 5 em um intervalo I Assim a solução geral do sistema no intervalo é X c1 X1 c2 X2 cn Xn onde os ci i 1 2 n são constantes arbitrárias Exemplo 5 Solução geral do sistema 6 A partir do Exemplo 2 sabemos que X1 1 1e2t e X2 3 5e6t são soluções linearmente independentes de 6 em Portanto X1 e X2 formam um con junto fundamental de soluções no intervalo A solução geral do sistema no intervalo é então X c1 X1 c2 X2 c1 1 1 e2t c2 3 5 e6t Exemplo 6 Solução geral do sistema 8 Os vetores X1 cos t 12 cos t 12 sen t cos t sen t X2 0 1 0 e X3 sen t 12 sen t 12 cos t sen t cos t são soluções do sistema 8 no Exemplo 3 veja o Problema 16 nos Exercícios 11 Agora WX1 X2 X3 cos t 0 sen t 12 cos t 12 sen t et 12 sen t 12 cos t et 0 cos t sen t 0 sen t cos t para todos os valores reais de t Concluímos que X1 X2 e X3 formam um conjunto fundamental de soluções em Assim a solução geral do sistema no intervalo é a combinação linear X c1 12 cos t 12 sen t cos t sen t c2 0 1 0 et c3 12 sen t 12 cos t sen t cos t Sistemas não homogêneos Para sistemas não homogêneos uma solução particular Xp em um intervalo I é qualquer vetor livre de parâmetros arbitrários cujas entradas são funções que satisfazem o sistema 4 Teorema 16 Solução geral Sistemas não homogêneos Considere Xp uma solução dada do sistema não homogêneo 4 em um intervalo I e seja Xc c1 X1 c2 X2 cn Xn a solução geral no mesmo intervalo do sistema homogêneo associado 5 Logo a solução geral do sistema não homogêneo no intervalo é X Xc Xp A solução geral X do sistema homogêneo 5 é chamada de função complementar do sistema não homogêneo 4 Exemplo 7 Solução geral sistema não homogêneo O vetor Xp 3t 4 5t 6 é uma solução particular do sistema não homogêneo X 1 3 5 3 X 12t 11 3 no intervalo Verifique isso A função complementar de 11 no mesmo intervalo ou a solução geral de X 1 3 5 3 X foi vista em 10 do Exemplo 5 como sendo Xc c1 1 1e2t c2 3 5 e6t Portanto pelo Teorema 16 X Xc Xp c1 1 1e2t c2 3 5 e6t 3t 4 5t 6 é a solução geral de 11 em Exercícios 11 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387 Nos Problemas 16 escreva o sistema linear na forma matricial 1 dxdt 3x 5y dydt 4x 8y 2 dxdt 4x 7y dydt 5x 3 dxdt 3x 4y 9z dydt 6x y dzdt 10x 4y 3z 4 dxdt x y dydt x 2z dzdt x z 5 dxdt x y z t 1 dydt 2x y z 3t2 dzdt x y z t2 t 2 6 dxdt 3x 4y et sen 2t dydt 5x 9z 4et cos 2t dzdt y 6z et Nos Problemas 710 escreva o sistema indicado sem utilizar matrizes 7 X 4 2 1 3 X 1 1 et 8 X 7 5 9 4 1 1 0 2 3 X 0 2 e5t 8 0 3 e2t 9 ddt x y z 1 1 2 3 4 1 2 5 6 x y z 1 2 et 3 1 t 10 ddt x y 3 7 1 1 x y 4 8 sen t t 4 2t 1 e4t Nos Problemas 1116 verifique que o vetor X é uma solução do sistema indicado 11 dxdt 3x 4y dydt 4x 7y X 1 2 e5t 12 dxdt 2x 5y dydt 2x 4y X 5 cos t 3 cos t sen t et 13 X 1 14 1 1 X X 1 2 e3t2 14 X 2 1 1 0 X X 1 3 et 4 0 t et 15 X 1 2 1 6 1 0 1 2 1 X X 1 6 13 16 X 1 0 1 1 1 0 2 0 1 X X sen t 12 sen t 12 cos t sen t cos t Nos Problemas 1720 os vetores dados são soluções de um sistema X AX Determine se os vetores formam um conjunto fundamental em 17 X1 1 1 e2t X2 1 1 e6t 18 X1 1 1 et X2 2 6 et 8 8 t et 19 X1 1 2 4 t 1 2 2 X2 1 2 4 X3 3 6 12 t 2 4 4 20 X₁ 1 6 13 X₂ 1 2 1e4t X₃ 2 3 2e3t Nos Problemas 2124 verifique que o vetor Xₚ é uma solução particular do sistema dado 21 dxdt x 4y 2t 7 dydt 3x 2y 4t 18 Xₚ 2 1t 5 1 22 X 2 1 1 1X 5 2 Xₚ 1 3 23 X 2 1 3 4X 1 7et Xₚ 1 1et 1 1tet 24 X 1 2 3 4 2 0 6 1 0X 1 4 3sen 3t Xₚ sen 3t 0 cos 3t 25 Prove que a solução geral de X 0 6 0 1 0 1 1 1 0X no intervalo é X c₁6 1 5et c₂3 1 1e2t c₃2 1 1e3t 26 Prove que a solução geral de X 1 1 1 1X 1 1t² 4 6t 1 5 no intervalo é X c₁1 1 2e2t c₂1 1 2e2t 1 0t² 2 4t 1 0 12 Sistemas lineares homogêneos Introdução No Exemplo 5 da Seção 11 vimos que a solução geral do sistema homogêneo X 1 3 5 3X é X c₁X₁ c₂X₂ c₁1 1e2t c₂3 5e6t Como ambos os vetores solução têm a forma Xᵢ k₁ k₂eλᵢt i 12 onde k₁ k₂ λ₁ e λ₂ são constantes somos solicitados a dizer se podemos sempre obter uma solução da forma X k₁ k₂ kₙeλt Keλt para o sistema de primeira ordem linear homogêneo X AX onde a matriz de coeficientes A é uma matriz de constantes n n Autovalores e autovetores Se 1 for um vetor solução do sistema então X Kλeλt de modo que 2 se escreve Kλeλt AKeλt Após cancelar λeλt e rearranjando obtemos AK λK ou AK λK 0 Como K IK a última equação é o mesmo que A λIK 0 Trabalharremos somente com sistemas lineares de coeficientes constantes A equação matricial 3 é equivalente às equações algébricas simultâneas a₁₁ λk₁ a₁₂k₂ a₁nkₙ 0 a₂₁k₁ a₂₂ λk₂ a₂nkₙ 0 aₙ₁k₁ aₙ₂k₂ aₙₙ λkₙ 0 Assim para obter uma solução não trivial X de 2 temos primeiro que obter uma solução não trivial do sistema anterior em outras palavras precisamos calcular um vetor não trivial K que satisfaça 3 Porém para que 3 tenha outras soluções que não apenas a solução óbvia k₁ k₂ kₙ 0 temos que ter detA λI 0 Essa equação polinomial em λ é chamada de equação característica da matriz A as soluções dessa equação são os autovalores de A Uma solução K 0 de 3 que corresponde a um autovalor λ é denominada um autovetor de A Uma solução do sistema homogêneo 2 é então X Keλt Na discussão que se segue examinaremos três casos todos os autovalores sendo reais e distintos isto é não existem autovalores iguais autovalores repetidos e finalmente autovalores complexos 121 Autovalores reais distintos Quando a matriz A n n tem autovalores reais e distintos λ₁ λ₂ λₙ então um conjunto de n autovetores linearmente independentes K₁ K₂ Kₙ pode sempre ser obtido e X₁ K₁eλ₁t X₂ K₂eλ₂t Xₙ Kₙeλₙt é um conjunto fundamental de soluções de 2 em TEOREMA 17 Solução geral Sistemas homogêneos Considere λ₁ λ₂ λₙ como sendo n autovalores reais e distintos da matriz de coeficientes A do sistema homogêneo 2 e K₁ K₂ Kₙ os autovetores correspondentes Logo a solução geral de 2 no intervalo é definida como X c₁K₁eλ₁t c₂K₂eλ₂t cₙKₙeλₙt Exemplo 1 Autovalores distintos Resolva dxdt 2x 3y dydt 2x y Solução Primeiro obtemos os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes A partir da equação característica detA λI 2 λ 3 2 1 λ λ² 3λ 4 λ 1λ 4 0 vemos que os autovalores são λ₁ 1 e λ₂ 4 Agora para λ₁ 1 3 é equivalente a 3k₁ 3k₂ 0 2k₁ 2k₂ 0 Logo k₁ k₂ Quando k₂ 1 o autovetor correspondente é K₁ 1 1 Para λ₂ 4 temos 2k₁ 3k₂ 0 2k₁ 3k₂ 0 de modo que k₁ 3k₂2 e portanto com k₂ 2 o autovetor correspondente é K₂ 3 2 Como a matriz de coeficientes A é uma matriz 2 2 e por termos obtido duas soluções de 4 que são linearmente independentes X₁ 1 1et e X₂ 3 2e4t concluímos que a solução geral do sistema é X c₁X₁ c₂X₂ c₁1 1et c₂3 2e4t Devemos ter em mente que uma solução de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares quando escrito em termos de matrizes é simplesmente uma alternativa ao método empregado na Seção 311 do Volume 1 ou seja listar as funções individuais e a relação entre as constantes Se somarmos os vetores do lado direito de 5 a seguir as igualarmos às entradas correspondentes no vetor da esquerda obteremos a definição mais familiar x c₁et c₂e4t y c₁et 2c₂e4t Conforme destacado na Seção 11 podemos interpretar essas equações como equações paramétricas de uma curva ou trajetória no plano xy ou plano de fase Os três gráficos ilustrados na Figura 11 xt no plano tx yt no plano ty e a trajetória no plano de fase correspondem à escolha das constantes c₁ c₂ 1 na solução Um conjunto de trajetórias no plano de fase como mostrado na Figura 12 é dito ser um perfil de fase do sistema linear dado O que parece ser duas retas pretas na Figura 12 são na verdade quatro retasmetade definidas parametricamente no primeiro segundo terceiro e quarto quadrantes pelas soluções X₂ X₁ X₂ e X₁ respectivamente Por exemplo as equações cartesianas y 23 x x 0 e y x x 0 das retasmetade no primeiro e quarto quadrantes foram obtidas pela eliminação do parâmetro t nas soluções x 3e4t y 2e4t e x et y et respectivamente Além disso cada autovetor pode ser visto como um vetor de duas dimensões se estendendo ao longo de uma das retasmetade O autovetor K₂ 3 2 se localiza ao longo de y 23 x no primeiro quadrante e K₁ 1 1 se estende ao longo de y x no quarto quadrante cada vetor se inicia na origem com K₂ terminando no ponto 23 e K₁ terminando em 11 A origem não é somente uma solução constante x 0 y 0 para todo sistema linear homogêneo 22 X AX mas é também um ponto importante no estudo qualitativo de tais sistemas Se pensarmos em termos físicos as pontas das setas em uma trajetória na Figura 12 indicam a direção na qual uma partícula com coordenadas xt yt numa trajetória no tempo T se moveria com o aumento do tempo Observe que as pontas das setas sendo exceção apenas àquelas das retasmetade no segundo e quarto quadrantes indicam que uma partícula se moveria para longe da origem com o aumento do tempo t Se imaginarmos a escala de tempo de a então a inspeção a Gráfico de x et 3e4t b Gráfico de y et 2e4t c Trajetória definida por x et 3e4t y et 2e4t Figura 11 Uma solução particular de 5 resulta em três planos coordenados diferentes Figura 12 Um perfil de fase do sistema 4 da solução x c1et 3c2e4t y c1et 2c2e4t c1 0 c2 0 mostra que uma trajetória ou partícula em movimento começa assintótica às retasmetade definidas por X1 ou X1 pois e4t é insignificante para t e termina assintótica a uma das retasmetade definidas por X2 e X2 pois et é desprezível para t Observamos que a Figura 12 representa um perfil de fase típico de todos os sistemas lineares homogêneo 22 X AX com autovalores reais de sinais opostos Veja o Problema 17 nos Exercícios 12 Além disso perfis de fase nos dois casos para os quais autovalores reais distintos têm o mesmo sinal algébrico seriam perfis típicos de todos os sistemas lineares 22 a única diferença é que as pontas das setas indicariam que uma partícula se afastaria da origem em qualquer trajetória com t quando ambos λ1 e λ2 fossem positivos e se moveria em direção à origem em qualquer trajetória quando ambos λ1 e λ2 fossem negativos Consequentemente é comum denominar a origem como um repulsor no caso λ1 0 λ2 0 e um atrator no caso λ1 0 λ2 0 Veja o Problema 18 nos Exercícios 12 A origem na Figura 12 não é um repulsor nem um atrator A investigação do caso restante quando λ 0 é um autovalor de um sistema linear homogêneo 22 é deixado como um exercício Veja o Problema 48 nos Exercícios 12 Exemplo 2 Autovalores distintos Resolva dxdt 4x y z 6 dydt x 5y z dzdt y 3z Solução Utilizando os cofatores da terceira linha obtemos det A λI 4 λ 1 1 1 5 λ 1 0 1 3 λ λ 3λ 4λ 5 0 e assim os autovalores são λ1 3 λ2 4 λ3 5 Para λ1 3 a eliminação de GaussJordan resulta em A 3I0 1 1 1 0 1 8 1 0 0 1 0 0 operações de linha 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Então k1 k3 e k2 0 A escolha k3 1 resulta em um autovetor e o vetor solução correspondente K1 1 0 1 X1 1 0 1 e3t 7 De modo similar para λ2 4 A 4I0 0 1 1 0 1 9 1 0 0 1 1 0 operações de linha 1 0 10 0 0 1 1 0 0 0 0 0 implica k1 10k3 e k2 k3 Escolhendo k3 1 obtemos um segundo autovetor e vetor solução K2 10 1 1 X2 10 1 1 e4t 8 implica k1 k3 e k2 k3 Adotando k3 1 temos k1 1 k2 1 e portanto um terceiro autovetor é K3 1 1 1 Concluímos que a solução geral do sistema é X c1 1 1 0 et c 0 1 1 et c3 1 1 1 e5t A matriz de coeficientes A no Exemplo 3 é um tipo especial de matriz conhecido como matriz simétrica Uma matriz A n x n é dita ser simétrica se sua transposta AT onde as linhas são trocadas pelas colunas e viceversa for igual a A ou seja se AT A Podese provar que se a matriz A no sistema X AX for simétrica e tiver entradas reais então sempre podemos determinar n autovetores linearmente independentes K1 K2 Kn e a solução geral de tal sistema é dada no Teorema 17 Conforme ilustrado no Exemplo 3 o resultado se aplica mesmo quando alguns dos autovalores forem repetidos Segunda solução Suponha agora que λ1 seja um autovalor de multiplicidade dois e que exista somente um autovetor associado a esse valor Uma segunda solução pode ser obtida na forma X2 Kteλ1 t Peλ1 t 12 onde K k1 k2 kn e P p1 p2 pn Para termos isso substituímos 12 no sistema X AX e simplificamos AK λ1 Kteλ1 t AP λ1 P Keλ1 t 0 Como essa equação se aplica a todos os valores de t temos que ter A λ1 IK 0 13 e A λ1 IP K 14 A equação 13 simplesmente declara que K tem ser um autovetor de A associado com λ1 Pela solução de 13 determinamos uma solução X1 Keλ1 t Para obter a segunda solução X2 precisamos somente resolver o sistema adicional 14 para o vetor P Exemplo 4 Autovalores repetidos Determine a solução geral do sistema indicado em 10 Solução A partir de 11 sabemos que λ1 3 e que uma solução é X1 3 1 e3t Identificando K 3 1 e P p1 p2 temos a partir de 14 que agora precisamos resolver A 3IP K ou 6p1 18p2 3 2p1 6p2 1 Finalmente quando λ3 5 as matrizes aumentadas A 5I0 9 1 1 0 1 0 1 0 0 1 8 0 operações de linha 1 0 1 0 0 1 8 0 0 0 0 0 resultam em K3 1 8 1 X3 1 8 1 e5t 9 A solução geral de 6 é uma combinação linear dos vetores solução em 7 8 e 9 X c1 1 0 1 e3t c2 10 1 1 e4t c3 1 8 1 e5t Uso de computadores Pacotes matemáticos como MATLAB Mathematica Maple e DERIVE podem poupar tempo na obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz Por exemplo para calcular os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes em 6 aplicando o Mathematica utilizamos primeiro a definição da matriz por linhas m 4 1 1 1 5 1 0 1 3 Os comandos Eigenvaluesm e Eigenvectorsm digitados em sequência resultam em 4 3 5 e 10 1 1 1 0 1 1 8 1 respectivamente No Mathematica autovalores e autovetores podem também ser obtidos ao mesmo tempo por meio do comando Eigensystemm 122 Autovalores repetidos É claro que nem todos os n autovalores λ1 λ2 λn de uma matriz A n n precisam ser distintos isto é alguns dos autovalores podem ser repetidos Por exemplo a equação característica da matriz de coeficientes no sistema X 3 18 X 10 2 9 é diretamente mostrada como sendo λ 32 0 e portanto λ1 λ2 3 é uma raiz de multiplicidade dois Para esse valor obtemos o autovetor único K1 3 1 assim X1 3 1 e3t 11 é uma solução de 10 Porém como estamos obviamente interessados em determinar a solução geral do sistema precisamos obter uma segunda solução Em geral se m for um inteiro positivo e λ λ1m for um fator da equação característica enquanto que λ λ1m1 não for então λ1 é dito ser um autovalor de multiplicidade m Os próximos três exemplos ilustram os seguintes casos i Para algumas matrizes A nn pode ser possível obter m autovetores linearmente independentes K1 K2 Km que correspondem a um autovalor λ1 de multiplicidade m n Nesse caso a solução geral do sistema contém a combinação linear c1K1eλ1t c2K2eλ1t cmKmeλ1t Como esse sistema é claramente equivalente a uma equação temos um número infinito de escolhas para p1 e p2 Por exemplo escolhendo p1 1 temos p2 16 Entretanto para simplificar adotaremos p1 12 de modo que p2 0 Portanto P 12 0 Assim a partir de 12 obtemos X2 3 1 te3t 12 0 e3t A solução geral de 10 é então X c1 3 1 e3t c2 3 1 te3t 12 0 e3t Pela adoção de diversos valores para c1 e c2 na solução do Exemplo 4 podemos traçar trajetórias do sistema em 10 A Figura 13 apresenta um perfil de fase de 10 As soluções X1 e X1 determinam duas retasmetade y 13x x 0 e y 13x x 0 respectivamente que estão indicadas em preto na Figura 13 Como o único autovalor é negativo e e3t 0 quando t em todas as trajetórias temos xt yt 00 quando t É por isso que as pontas das setas na Figura 13 indicam que uma partícula em qualquer trajetória se moveria em direção à origem com o aumento do tempo e pelo fato da origem ser um atrator nesse caso Além disso uma partícula em movimento em uma trajetória x 3c1 e3t c2 te3t 12 e3t y c1 e3t c2 te3t c2 0 se aproxima de 00 tangencialmente a uma das retasmetade quando t Por outro lado quando o autovalor repetido for positivo a situação se reverte e a origem se torna um repulsor Veja o Problema 21 nos Exercícios 12 Análoga à Figura 12 a Figura 13 é típica de todos os sistemas lineares homogêneos 2x2 X AX que tenham dois autovalores negativos repetidos Veja o Problema 32 nos Exercícios 12 Autovalor de multiplicidade três Quando a matriz de coeficientes A tem somente um autovetor associado com um autovalor λ1 de multiplicidade três podemos determinar uma solução da forma 12 e uma terceira solução da forma X3 K t22 eλ1 t Pteλ1 t Qeλ1 t 15 onde K k1 k2 kn P p1 p2 pn e Q q1 q2 qn Substituindo 15 no sistema X AX temos que os vetores coluna K P e Q precisam satisfazer A λ1 IK 0 16 A λ1 IP K 17 e A λ1 IQ P 18 Obviamente as soluções de 16 e 17 podem ser utilizadas para formar as soluções X1 e X2 Exemplo 5 Autovalores repetidos Resolva X 2 1 6 0 2 5 0 0 2X ii Caso exista somente um autovetor correspondente ao autovalor λ1 de multiplicidade m então m soluções linearmente independentes da forma X1 K11eλ1t X2 K21eλ1t K22eλ1t Xm Km1 tm1m1 eλ1t Km2 tm2m2 eλ1t Kmmeλ1t onde Kij são vetores coluna podem sempre ser determinadas Autovalor de multiplicidade dois Iniciamos considerando autovalores de multiplicidade dois No primeiro exemplo ilustramos uma matriz para a qual podemos determinar dois autovalores distintos que correspondem a um autovalor duplo Exemplo 3 Autovalores repetidos Resolva X 1 2 2 X 2 1 2 2 2 1 Solução Expandir o determinante na equação característica det A λI 1 λ 2 2 2 1 λ 2 2 2 1 λ 0 resulta em λ 12λ 5 0 Vemos que λ1 λ2 1 e λ3 5 Para λ1 1 a eliminação de GaussJordan imediatamente nos dá A I0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 operações de linha 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A primeira linha da última matriz significa k1 k2 k3 0 ou k1 k2 k3 As escolhas k2 1 k3 0 e k2 1 k3 1 resultam respectivamente em k1 1 e k1 0 Portanto os dois autovetores correspondentes a λ1 1 são K1 1 1 0 e K2 0 1 1 Como nenhum autovetor é um múltiplo constante do outro obtivemos duas soluções linearmente independentes correspondentes ao mesmo autovalor X1 1 1 0 et e X2 0 1 1 et Por último para λ3 5 a redução A 5I0 4 2 2 0 2 4 2 0 2 2 4 0 operações de linha 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Solução A equação característica λ 23 0 mostra que λ1 2 é um autovalor de multiplicidade três Resolvendo A 2IK 0 obtemos o único autovetor K 1 0 0 A seguir resolvemos os sistemas A 2IP K e A 2IQ P obtendo P 0 1 0 e Q 0 65 15 Utilizando 12 e 15 vemos que a solução geral do sistema é X c1 1 0 0 e2t c2 1 0 0 te2t 0 1 0 e2t c3 1 0 0 t22 e2t 0 1 0 te2t 0 65 15 e2t Observações Quando um autovalor λ1 tem multiplicidade m podemos obter m autovetores linearmente independentes ou o número de autovetores correspondentes é menor que m Logo os dois casos listados na página 35 não se referem a todas as possibilidades sob as quais um autovalor repetido pode ocorrer Podemos ter por exemplo uma matriz 5x5 com um autovalor de multiplicidade 5 e existirem três autovetores linearmente independentes correspondentes Veja os Problemas 31 e 49 nos Exercícios 12 123 Autovalores complexos Se λ1 α βi e λ2 α βi β 0 i2 1 forem autovalores complexos da matriz de coeficientes A podemos então certamente esperar que os seus autovetores correspondentes tenham também entradas complexas Por exemplo a equação característica do sistema dxdt 6x y dydt 5x 4y 19 é det A λI 6 λ 1 5 4 λ λ2 10λ 29 0 A partir da fórmula quadrática obtemos λ1 5 2i λ2 5 2i Agora para λ1 5 2i temos que resolver 1 2ik1 k2 0 5k1 1 2ik2 0 Quando a equação característica tem coeficientes reais autovalores complexos sempre aparecem em pares conjugados Como k2 1 2ik1 a escolha k1 1 resulta no seguinte autovetor e um vetor solução K1 1 12i X1 1 1 2ie52it De modo similar para λ2 5 2i obtemos K2 1 12i X2 1 12ie52it Podemos verificar por meio do Wronskiano que esses vetores solução são linearmente independentes e assim a solução geral de 19 é X c11 1 2ie52it c21 12ie52it 20 Observe que as entradas em K2 correspondentes a λ2 são os conjugados das entradas em K1 correspondentes a λ1 O conjugado de λ1 é claramente λ2 Escrevemos essa informação como λ2 λ1 e K2 K1 Apresentamos o resultado geral a seguir TEOREMA 18 Soluções correspondentes a um autovalor complexo Seja A uma matriz de coeficientes com entradas reais do sistema homogêneo 2 e K1 um autovetor que corresponde ao autovalor complexo λ1 α iβ α e β reais Assim K1 eλ1t e K1 eλ1t são soluções de 2 É desejável e relativamente fácil reescrever uma solução tal como 20 em termos de funções reais Com esse objetivo aplicamos primeiro a fórmula de Euler para escrever e52it e5te2ti e5tcos 2t i sen 2t e52it e5te2ti e5tcos 2t i sen 2t Então após multiplicar números complexos organizar os termos e substituir c1 c2 por C1 e c1 c2i por C2 20 se escreve X C1X1 C2X2 21 onde X1 1 1 cos 2t 0 2 sen 2t e5t e X2 2 0 cos 2t 1 1 sen 2t e5t Agora é importante percebermos que os dois vetores X1 e X2 em 21 são eles próprios soluções reais linearmente independentes do sistema original Consequentemente se justifica ignorar a relação entre C1 C2 e c1 c2 e podemos considerar C1 e C2 como completamente arbitrárias e reais Em outras palavras a combinação linear 21 é uma solução geral alternativa de 19 Note que a segunda equação é simplesmente 1 2i vezes a primeira O processo anterior pode ser generalizado Seja K1 um autovetor da matriz de coeficientes A com entradas reais que corresponde ao autovalor complexo λ1 α iβ Logo os dois vetores solução no Teorema 18 podem ser escritos como K1 eλ1t K1 eαteiβt K1 eαtcos βt i sen βt K1 eλ1t K1 eαteiβt K1 eαtcos βt i sen βt Pelo princípio da superposição Teorema 12 os seguintes vetores também são soluções X1 12 K1 eλ1t K1 eλ1t 12 K1 K1 eαt cos βt i2 K1 K1 eαt sen βt X2 i2 K1 eλ1t K1 eλ1t i2 K1 K1 eαt cos βt 12 K1 K1 eαt sen βt Para qualquer número complexo z a ib ambos 12z z a e i2z z b são números reais Portanto as entradas dos vetores coluna 12 K1 K1 e i2 K1 K1 são números reais Definindo B1 12 K1 K1 e B2 i2 K1 K1 22 somos levados ao teorema a seguir TEOREMA 19 Soluções reais correspondentes a um autovalor complexo Seja λ1 α iβ um autovalor complexo da matriz de coeficientes A no sistema homogêneo 2 e B1 e B2 os vetores coluna definidos em 22 Assim X1 B1 cos βt B2 sen βt eαt X2 B2 cos βt B1 sen βt eαt 23 são soluções linearmente independentes de 2 em As matrizes B1 e B2 em 22 são muitas vezes descritas como B1 ReK1 e B2 ImK1 24 pois esses vetores são respectivamente as partes real e imaginária do autovetor K1 Por exemplo 21 decorre de 23 com K1 1 1 2i 1 1 i0 2 B1 ReK1 1 1 e B2 ImK1 0 2 Exemplo 6 Autovalores complexos Resolva o problema de valor inicial X 2 8 1 2 X X0 2 1 25 Solução Primeiro obtemos os autovalores a partir de detA λI 2 λ 8 1 2 λ λ2 4 0 Os autovalores são λ1 2i e λ2 λ1 2i Para λ1 o sistema 2 2ik1 8k2 0 k1 2 2ik2 0 resulta em k1 2 2ik2 Escolhendo k2 1 obtemos K1 2 2i 1 2 1 i2 0 Agora a partir de 24 formamos B1 ReK1 2 1 e B2 ImK1 2 0 Como α 0 decorre de 23 que a solução geral do sistema é X c12 1cos 2t 2 0sen 2t c22 0cos 2t 2 1sen 2t c12cos 2t 2sen 2t cos 2t c22cos 2t 2sen 2t sen 2t 26 O perfil de fase da Figura 14 apresenta alguns gráficos de curvas ou trajetórias definidas pela solução 26 do sistema Agora a condição inicial X0 2 1 ou de modo equivalente x0 2 e y0 1 resulta no sistema algébrico 2c1 2c2 2 c1 1 cuja solução é c1 1 c2 0 Portanto a solução do problema é X 2cos 2t 2sen 2t cos 2t A trajetória específica definida parametricamente pela solução particular x 2 cos 2t 2 sen 2t y cos 2t se refere à curva preta na Figura 14 Note que essa curva passa por 2 1 EXERCÍCIOS 12 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 387 121 Autovalores reais distintos Nos Problemas 112 determine a solução geral do sistema indicado 1 dxdt x 2y dydt 4x 3y 2 dxdt 2x 2y dydt x 3y 3 dxdt 4x 2y dydt 52 x 2y 4 dxdt 52 x 2y dydt 34 x 2y 5 X 10 5 8 12 X 6 X 6 2 3 1 X 7 dxdt x y z dydt 2y dzdt y z 8 dxdt 2x 7y dydt 5x 10y 4z dzdt 5y 2z 9 X 1 1 0 1 2 1 0 3 1 X 10 X 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 11 X 1 1 0 34 32 3 18 14 12 X 12 X 1 5 2 4 1 2 0 0 6 X Nos Problemas 13 e 14 resolva o problema de valor inicial indicado 13 X 12 0 1 12X X0 3 5 14 X 1 1 4 0 2 0 1 1 1 X X0 1 3 0 Tarefas computacionais Nos Problemas 15 e 16 utilize um SAC ou um programa de álgebra linear como auxílio para determinar a solução geral do sistema dado 15 X 09 21 32 07 65 42 11 17 34 X 16 X 1 0 2 18 0 0 51 0 1 3 1 2 3 0 0 0 1 31 4 0 28 0 0 15 1 X 17 a Utilize um programa computacional para obter o perfil de fase do sistema no Problema 5 Se possível inclua as pontas das setas como na Figura 12 Além disso inclua quatro linhasmetade nesse perfil de fase b Obtenha equações cartesianas para cada uma das quatro linhas metade no item a c Trace os autovetores no seu perfil de fase do sistema 18 Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 2 e 4 Para cada sistema obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase 122 Autovalores repetidos Nos Problemas 1928 determine a solução geral do sistema indicado 19 dxdt 3x y dydt 9x 3y 20 dxdt 6x 5y dydt 5x 4y 21 X 1 3 3 5 X 22 X 12 9 4 0 X 23 dxdt 3x y z dydt x y z dzdt x y z 24 dxdt 3x 2y 4z dydt 2x 2z dzdt 4x 2y 3z 25 X 5 4 0 1 0 2 0 2 5 X 26 X 1 0 0 0 3 1 0 1 1 X 27 X 1 0 0 2 2 1 0 1 0 X 28 X 4 1 0 0 4 1 0 0 4 X Nos Problemas 29 e 30 resolva o problema de valor inicial indicado 29 X 2 4 1 6 X X0 1 6 30 X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 X X0 1 2 5 31 Mostre que a matriz 5 5 A 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 tem um autovalor λ1 de multiplicidade 5 Mostre que três autovetores linearmente independentes correspondendo a λ1 podem ser obtidos Tarefas computacionais 32 Determine perfis de fase para o sistema nos Problemas 20 e 21 Para cada sistema obtenha quaisquer trajetória de linhametade que haja e inclua essas linhas em seu perfil de fase 123 Autovalores complexos Nos Problemas 3344 determine a solução geral do sistema indicado 33 dxdt 6x y dydt 5x 2y 34 dxdt x y dydt 2x y 35 dxdt 5x y dydt 2x 3y 36 dxdt 4x 5y dydt 2x 6y 37 X 4 5 5 4 X 38 X 1 8 1 3 X 39 dxdt z dydt z dzdt y 40 dxdt 2x y 2z dydt 3x 6z dzdt 4x 3z 41 X 1 1 2 1 1 0 1 0 1 X 42 X 4 0 1 0 6 0 4 0 4 X 43 X 2 5 1 5 6 4 0 0 2 X 44 X 2 4 4 1 2 0 1 0 2 X Nos Problemas 45 e 46 resolva o problema de valor inicial dado 45 X 1 12 14 1 2 3 1 1 2 X X0 4 6 7 46 X 6 1 5 4 X X0 2 8 Tarefas computacionais 47 Obtenha perfis de fase para os sistemas nos Problemas 36 37 e 38 48 Resolva cada um dos seguintes sistemas lineares a X 1 1 1 1X b X 1 1 1 1X Determine perfil de fase para cada sistema Qual é o significado geométrico da reta y x em cada perfil de fase Problemas para discussão 49 Considere a matriz 5 5 apresentada no Problema 31 Resolva o sistema X AX sem o auxílio de métodos matriciais porém escreva a solução geral usando a notação matricial Utilize a solução geral como base para discutir como o sistema pode ser resolvido aplicandose os métodos matriciais dessa seção Apresente as suas idéias 50 Obtenha uma equação cartesiana da curva definida parametricamente pela solução do sistema linear no Exemplo 6 Identifique a curva que passa por 2 1 na Figura 14 Sugestão Calcule x2 y2 e xy 51 Examine os perfis de fase do Problema 47 Sob quais condições o perfil de fase de um sistema linear homogêneo 2 2 com autovalores complexos será constituído por uma família de curvas fechadas E uma família de espirais Sob quais condições a origem 00 é um repulsor E um atrator 52 O sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares m1x1 k1x1 k2x2 x1 m2x2 k2x2 x1 27 descreve o movimento de dois sistemas massamola acoplados veja a Figura 359 do Volume 1 Já resolvemos um caso especial desse sistema nas Seções 311 e 46 do Volume 1 Nesse problema descrevemos outro método para resolver o sistema a Mostre que 27 pode ser escrita como a equação matricial X AX onde X x1 x2 e A k1 k2 k2 m1 m1 k2 k2 m2 m2 b Se uma solução tem a forma X Keωt mostre que X AX resulta em A λIK 0 onde λ ω2 c Mostre que se m1 1 m2 1 k1 3 e k2 2 uma solução do sistema é X c1 1 2eit c2 1 2 eit c3 2 1 esqrt6it c4 2 1 esqrt6it d Mostre que a solução no item c pode ser escrita como X b1 1 2 cos t b2 1 2 sen t b3 2 1 cos sqrt6t b4 2 1 sen sqrt6t 13 Solução por diagonalização Introdução Nessa seção consideraremos um método alternativo para resolver um sistema homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares Esse método é aplicável a um sistema X AX sempre que a matriz de coeficientes A for diagonalizável Sistemas acoplados Um sistema linear homogêneo X AX x1 x2 xn a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann x1 x2 xn 1 no qual cada xi é escrito como uma combinação linear de x1 x2 xn é dito ser acoplado Se a matriz de coeficientes A for diagonalizável então o sistema pode ser desacoplado de modo que cada xi possa ser expresso somente em termos de xi Se a matriz A tiver n autovetores linearmente independentes então sabemos a partir do Teorema 227 do Volume 2 que podemos obter uma matriz P tal que P1AP D onde D é uma matriz diagonal Se fizermos a substituição X PY no sistema X AX então PY APY ou Y P1APY ou Y DY 2 A última equação em 2 é igual a y1 y2 yn λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 λn y1 y2 yn 3 Como D é diagonal a inspeção de 3 revela que esse novo sistema é desacoplado cada equação diferencial no sistema é da forma yi λi yi i 1 2 n A solução de cada uma dessas equações lineares é yi cieλit i 1 2 n Logo a solução geral de 3 pode ser escrita como o vetor coluna Y c1 eλ1 t c2 eλ2 t cn eλn t 4 Como agora conhecemos Y e como a matriz P pode ser construída a partir dos autovetores de A a solução geral do sistema original X AX é obtida a partir de X PY Exemplo 1 Desacoplando um sistema linear Resolva X 2 1 8 0 3 8 0 4 9 X por diagonalização Solução Iniciamos calculando os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz de coeficientes A partir de detA λI λ 2λ 1λ 5 obtemos λ1 2 λ2 1 e λ3 5 Como os autovalores são distintos os autovetores são linearmente independentes Resolvendo A λi IK 0 para i 1 2 e 3 temos respectivamente K1 1 0 0 K2 2 2 1 K3 1 1 1 5 Portanto uma matriz que diagonaliza a matriz de coeficientes é P 1 2 1 0 2 1 0 1 1 As entradas na diagonal principal de D são os autovalores de A que correspondem à ordem na qual os autovetores aparecem em P D 2 0 0 0 1 0 0 0 5 Conforme vimos anteriormente a substituição X PY em X AX resulta no sistema desacoplado Y DY A solução geral desse último sistema é imediata Y c1 e2t c2 et c3 e5t Logo a solução do sistema dado é X PY 1 2 1 0 2 1 0 1 1 c1 e2t c2 et c3 e5t c1 e2t 2c2 et c3 e5t 2c2 et c3 e5t c2 et c3 e5t 6 Note que 6 pode ser escrita da maneira usual expressandose a última matriz como uma soma de matrizes colunas X c1 1 0 0 e2t c2 2 2 1 et c3 1 1 1 e5t A solução por diagonalização sempre funcionará desde que possamos determinar n autovetores linearmente independentes de uma matriz A n n os autovalores de A podem ser reais e distintos complexos ou repetidos O método falha quando A tem autovalores repetidos e n autovetores linearmente independentes não podem ser obtidos É claro que nessa última situação A não é diagonalizável Como temos que calcular autovalores e autovetores de A esse método é essencialmente equivalente ao procedimento apresentado na última seção Na próxima seção veremos que a diagonalização pode também ser utilizada para resolver sistemas lineares não homogêneos X AX Ft EXERCÍCIOS 13 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 388 Nos Problemas 110 utilize diagonalização para resolver o sistema indicado 1 X 5 6 3 2 X 2 X 12 12 12 12 X 3 X 1 14 1 1 X 4 X 1 1 1 1 X 5 X 1 3 0 3 1 0 2 2 6 X 6 X 1 1 2 1 2 1 2 1 1 X 7 X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 8 X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 9 X 3 2 2 6 5 2 7 4 4 X 10 X 0 2 0 2 0 2 0 2 0 X 11 Já demonstramos como resolver o sistema de equações diferenciais de segunda ordem lineares que descreve o movimento do sistema massamola acoplado no Figura 359 do Volume 1 m1 x1 k1 x1 k2 x2 x1 m2 x2 k2 x2 x1 7 de três modos diferentes veja o Exemplo 4 na Seção 311 do Volume 1 o Problema 52 nos Exercícios 12 deste Volume e o Exemplo 1 na Seção 46 do Volume 1 Neste problema você percorrerá os passos para os quais 7 também pode ser resolvido utilizandose diagonalização a Escreva 7 na forma MX KX 0 onde X x1 x2 Identifique as matrizes M e K Explique por que a matriz M tem uma inversa b Escreva o sistema do item a como X BX 0 8 Identifique a matriz B c Resolva o sistema 7 para o caso especial no qual m1 1 m2 1 k1 3 e k2 2 solucionando 8 utilizando o método da diagonalização Em outras palavras considere X PY onde P é uma matriz cujas colunas são os autovetores de B d Mostre que a solução X no item c é igual àquela indicada no item d do Problema 52 nos Exercícios 12 14 Sistemas lineares não homogêneos Introdução Os métodos dos coeficientes indeterminados e variação de parâmetros utilizados no Capítulo 3 do Volume 1 para determinar soluções particulares de EDOs lineares não homogêneas podem ser adaptados para a solução de sistemas lineares não homogêneos Dentre os dois métodos a variação de parâmetros é a técnica mais poderosa Entretanto existem casos para os quais o método dos coeficientes indeterminados consiste em um meio mais rápido para se obter uma solução particular Na Seção 11 vimos que a solução geral de um sistema linear não homogêneo X AX Ft em um intervalo I é X Xc Xp onde Xc c1 X1 c2 X2 cn Xn é a função complementar ou solução geral do sistema linear homogêneo associado X AX e Xp é qualquer solução particular do sistema não homogêneo Vimos como obter Xc na Seção 12 quando A era uma matriz de constantes n n consideramos agora três métodos para obter Xp 141 Coeficientes indeterminados As considerações Como na Seção 34 do Volume 1 o método dos coeficientes indeterminados consiste em adotar um palpite embasado a respeito da forma de um vetor solução particular Xp o palpite é motivado pelos tipos de funções que compreendem as entradas da matriz coluna Ft Não é surpresa que a versão matricial dos coeficientes indeterminados somente é aplicável a X AX Ft quando as entradas de A e de Ft forem constantes polinômios funções exponenciais senos e cosenos ou somas e produtos finitos dessas funções Exemplo 1 Coeficientes indeterminados Resolva o sistema X 1 2 1 1 X 8 3 em Solução Resolvemos primeiro o sistema homogêneo associado X 1 2 1 1 X A equação característica da matriz de coeficientes A detA λI 1 λ 2 1 1 λ λ2 1 0 resulta nos autovalores complexos λ1 i e λ2 i Pelos procedimentos da última seção obtemos Xc c1 cos t sen t cos t c2 cos t sen t sen t Agora como Ft é um vetor constante consideramos um vetor solução particular Xp a1 b1 Substituindo essa última consideração no sistema original e igualando as entradas temos 0 a1 2b1 8 0 a1 b1 3 Resolver esse sistema algébrico resulta em a1 14 e b1 11 e assim uma solução particular é Xp 14 11 A solução geral do sistema original de EDs no intervalo é então X Xc Xp ou X c1 cos t sen t cos t c2 cos t sen t sen t 14 11 Exemplo 2 Coeficientes indeterminados Resolva o sistema X 6 1 4 3 X 6t 10t 4 em Solução Os autovalores e os autovetores correspondentes do sistema homogêneo associado X 6 1 4 3 X são λ1 2 λ2 7 K1 1 4 e K2 1 1 Portanto a função complementar é Xc c1 1 4 e2t c2 1 1 e7t Agora como Ft pode ser escrita Ft 6 10 t 0 4 tentaremos determinar uma solução particular do sistema que tenha a mesma forma Xp a2 b2 t a1 b1 Substituir essa última consideração no sistema dado resulta em a2 b2 6 1 4 3 a2 b2 t a1 b1 10 t 6 0 4 ou 0 0 6a2 b2 6 t 6a1 b1 a2 4a2 3b2 10 t 4a1 3b1 b2 4 A partir da última identidade obtemos quatro equações algébricas em quatro incógnitas 6a2 b2 6 0 4a2 3b2 10 0 e 6a1 b1 a2 0 4a1 3b1 b2 4 0 Resolvendo as primeiras duas equações simultaneamente obtemos a2 2 e b2 6 Substituímos então esses valores nas duas últimas equações e resolvemos em relação a a1 e b1 Os resultados são a1 47 b1 107 Seguese portanto que um vetor solução particular é Xp 2 6 t 47 107 A solução geral do sistema em é X Xc Xp ou X c1 1 4 e2t c2 1 1 e7t 2 6 t 4 7 10 7 Exemplo 3 Forma de Xp Determine a forma de um vetor solução particular Xp para o sistema dxdt 5x 3y 2et 1 dydt x y et 5t 7 Solução Como Ft pode ser escrita em termos matriciais como Ft 2 1 et 0 5 t 1 7 uma consideração natural para uma solução particular seria Xp a3 b3 et a2 b2 t a1 b1 Observações O método dos coeficientes indeterminados para sistemas lineares não é tão direto como os últimos três exemplos indicam Na Seção 34 do Volume 1 a forma da solução particular yp foi prevista com o conhecimento anterior a respeito da função complementar yc O mesmo é válido para a formação de Xp Porém existem outras dificuldades as regras especiais que governam a forma de yp na Seção 44 do Volume 1 não se aplicam totalmente à formação de Xp Por exemplo se Ft for um vetor constante como no Exemplo 1 do Volume 1 e λ 0 for um autovalor de multiplicidade um então Xc contém um vetor constante Segundo a regra da multiplicação da página 144 do Volume 1 tentaríamos uma solução particular da forma Xp a1 b1 t Essa não é a consideração apropriada para sistemas lineares deveria ser Xp a2 b2 t a1 b1 De modo similar no Exemplo 3 se substituirmos et por e2t em Ft λ 2 sendo um autovalor então a forma correta do vetor solução particular é Xp a4 b4 t e2t a3 b3 e2t a2 b2 t a1 b1 Em vez de mergulharmos nessas dificuldades nos voltaremos para o método da variação de parâmetros 142 Variação de parâmetros Uma matriz fundamental Se X1 X2 Xn for um conjunto fundamental de soluções do sistema homogêneo X AX em um intervalo I então sua solução geral no intervalo será a combinação linear X c1 X1 c2 X2 cn Xn ou X c1 x11 x21 xn1 c2 x12 x22 xn2 cn x1n x2n xnn c1 x11 c2 x12 cn x1n c1 x21 c2 x22 cn x2n c1 xn1 c2 xn2 cn xnn 1 A última matriz em 1 é reconhecida como o produto de uma matriz n n por uma matriz n 1 Em outras palavras a solução geral 1 pode ser escrita como o produto X ΦtC 2 onde C é um vetor coluna n 1 de constantes arbitrárias c1 c2 cn e a matriz n n cujas colunas são constituídas pelas entradas dos vetores solução do sistema X AX Φt x11 x12 x1n x21 x22 x2n xn1 xn2 xnn é denominada uma matriz fundamental do sistema no intervalo Na discussão a seguir precisamos aplicar duas propriedades de uma matriz fundamental Uma matriz fundamental Φt é não singular Se Φt for uma matriz fundamental do sistema X AX então Φt AΦt 3 O reexame de 9 do Teorema 13 mostra que det Φt é o mesmo que o Wronskiano WX1 X2 Xn Portanto a independência linear das colunas de Φt no intervalo I garante que det Φt 0 para todo t no intervalo Como Φt é não singular a inversa multiplicativa Φ1t existe para todo t no intervalo O resultado indicado em 3 decorre imediatamente do fato de que toda coluna de Φt é um vetor solução de X AX Variação de parâmetros De modo análogo ao procedimento na Seção 35 do Volume 1 questionamos se é possível substituir a matriz de constantes C em 2 por uma matriz coluna de funções Ut u1t u2t unt de modo que Xp ΦFtUt 4 seja uma solução particular do sistema não homogêneo X AX Ft 5 Pela regra do produto a derivada da última expressão em 4 é Xp ΦtUt ΦtUt 6 Note que a ordem dos produtos em 6 é muito importante Como Ut é uma matriz coluna os produtos UtΦt e UtΦt não são definidos Substituir 4 e 6 em 5 resulta em ΦtUt ΦtUt AΦtUt Ft 7 Agora se utilizarmos 3 para substituir Φt 7 se escreve ΦtUt AΦtUt AΦtUt Ft ou ΦtUt Ft 8 Multiplicando ambos os lados da equação 8 por Φ1t obtemos Ut Φ1tFt e assim Ut Φ1tFt dt Como Xp ΦtUt concluímos que uma solução particular de 5 é Xp Φt Φ1tFt dt 9 Para calcular a integral indefinida da matriz coluna Φ1tFt em 9 integramos cada entrada Portanto a solução geral do sistema 5 é X Xc Xp ou X ΦtC Φt Φ1tFt dt 10 Exemplo 4 Variação de parâmetros Determine a solução geral do sistema não homogêneo X 3 1 2 4 X 3t et 11 no intervalo Solução Primeiro resolvemos o sistema homogêneo X 3 1 2 4 X 12 A equação característica da matriz de coeficientes é detA λI 3 λ 1 2 4 λ λ 2λ 5 0 logo os autovalores são λ1 2 e λ2 5 Pelo método usual temos que os autovetores correspondentes a λ1 e λ2 são respectivamente 1 1 e 1 2 Os vetores solução do sistema 11 são então X1 1 1 e2t e2t e2t e X2 1 2 e5t e5t 2e5t As entradas em X1 formam a primeira coluna de Φt e as entradas em X2 formam a segunda coluna de Φt Logo Φt e2t e5t e2t 2e5t e Φ1t 35 e2t 15 e2t 15 e5t 13 e5t A partir de 9 obtemos Xp Φt Φ1tFt dt e2t e5t e2t 2e5t 35 e2t 13e2t 35 e5t 13 e5t 3t et dt e2t e5t e2t 2e5t 2te2t 13 et te5t 13 e4t dt e2t e5t e2t 2e5t te2t 12 e2t 13 et 15 te5t 125 e5t 112 e4t 65 t 2750 t 14 et 35 t 2150 t 12 et Consequentemente a partir de 10 a solução geral de 11 no intervalo é X e2t e5t e2t 2e5t c1 c2 65 t 2750 t 14 et 35 t 2150 t 12 et c1 1 1 e2t c2 12 e5t 65 35 t 2750 2150 t 14 12 et Problema de valor inicial A solução geral do sistema não homogêneo 5 em um intervalo pode ser escrito de um modo alternativo X ΦtC Φt t0t Φ1sFs ds 13 onde t e t0 são pontos no intervalo A última forma é útil para a solução de 5 sujeita a uma condição inicial Xt0 X0 pois os limites de integração são escolhidos de modo que a solução particular desapareça em t t0 Substituir t t0 em 13 resulta em X0 Φt0C a partir do qual temos C Φ1t0X0 Substituindo esse último resultado em 13 obtemos a seguinte solução do problema de valor inicial X ΦtΦ1t0X0 Φt t0t Φ1sFs ds 14 143 Diagonalização As considerações Como na Seção 13 se a matriz de coeficientes A possuir n autovetores linearmente independentes então podemos utilizar diagonalização para desacoplar o sistema X AX Ft Suponha P sendo uma matriz tal que P1AP D onde D é uma matriz diagonal Substituir X PY no sistema não homogêneo X AX Ft resulta em PY APY F ou Y P1APY P1F ou Y DY G 15 Na última equação em 15 G P1F é um vetor coluna Assim cada equação diferencial nesse novo sistema tem a forma yi λi yi git i 1 2 n Porém observe que ao contrário do procedimento para resolver um sistema homogêneo X AX agora temos que calcular a inversa da matriz P Exemplo 2 Diagonalização Resolva X 4 2 2 1X 3et et por diagonalização Solução Os autovalores e autovetores correspondentes da matriz de coeficientes são λ1 0 λ2 5 K1 1 2 K2 2 1 Assim obtemos P 1 2 2 1 e P1 15 25 25 15 Aplicandose a substituição X PY e P1F 15 25 25 153et et 15 et 75 et o sistema desacoplado é Y 0 0 0 5Y 15 et 75 et As soluções das duas equações diferenciais y1 15 et e y2 5 y2 75 et são respectivamente y1 15 et c1 e y2 720 et c2 e5t Portanto a solução do sistema original é X PY 1 2 2 115 et c1 720 et c2 e5t 15 et 2 c1 34 et 2 c1 c2 e5t 16 Escrita da maneira usual utilizandose vetores colunas 16 é X c1 1 2 c2 2 1 e5t EXERCÍCIOS 14 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 388 141 Coeficientes indeterminados Nos Problemas 18 utilize o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema indicado 1 dxdt 2x 3y 7 2 dxdt 5x 9y 2 dydt x 2y 5 dydt x 11y 6 3 X 1 3 3 1X 2t2 t 5 4 X 1 4 4 1X 4t 9e6t t e6t 5 X 4 13 9 6X 310 et 6 X 1 5 1 1X sen t 2 cos t 7 X 1 1 0 2 3 0 0 5X 1 2 e4t 8 X 0 0 5 0 5 0 5 0 0 X 5 10 40 9 Resolva X 1 2 3 4X 3 sujeita a X0 4 5 10 a O sistema de equações diferenciais para as correntes i2t e i3t na rede elétrica apresentada na Figura 15 é ddt i2 i3 R1L1 R1L1 R1L2 R1 R2L2 i2 i3 EL1 EL2 Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema considerando R1 2Ω R2 3Ω L1 1 h L2 1 h E 60 V i20 0 e i30 0 b Determine a corrente i1t Figura 15 Rede no Problema 10 142 Variação de parâmetros Nos Problemas 1130 utilize a variação de parâmetros para resolver o sistema indicado 11 dxdt 3x 3y 4 12 dxdt 2x y dydt 2x 2y 1 dydt 3x 2y 4t 13 X 3 5 34 1X 1 1 et2 14 X 2 1 0 2X sen 2t 2 cos 2t e2t 15 X 0 2 1 3X 1 1 et 16 X 0 2 1 3X 2 e3t 17 X 1 8 1 1X 12 12 t 18 X 1 8 1 1X et t et 19 X 3 2 2 1X 2et et 20 X 3 2 2 1X 1 1 21 X 0 1 1 0X sec t 0 22 X 1 1 1 1X 3 3 et 23 X 1 1 1 1X cos t sen t et 24 X 2 2 8 6X 13 e2tt 25 X 0 1 1 0X sec t tg t 26 X 0 1 1 0X 1 cot t 27 X 1 2 12 1X csc t sec t et 28 X 1 2 1 1X tg t 1 29 X 1 1 0 1 1 0 0 0 3X et e2t te3t 30 X 3 1 1 1 1 1 1 1 1X 0 t 2et Nos Problemas 31 e 32 utilize 14 para resolver o problema de valor inicial indicado 31 X 3 1 1 3X 4e2t 4e4t X0 1 1 32 X 1 1 1 1X 1t 1t X1 2 1 33 O sistema de equações diferenciais para as correntes i1t e i2t na rede elétrica ilustrada na Figura 16 é ddt i1 i2 R1 R2L2 R2L2 R2L1 R2L1 i1 i2 EL2 0 Utilize variação de parâmetros para resolver o sistema considerando R1 8Ω R2 3Ω L1 1 h L2 1 h Et 100 sen t V i10 0 e i20 0 Figura 16 Rede no Problema 33 Tarefas computacionais 34 Resolver um sistema linear não homogêneo X AX Ft por variação de parâmetros quando A for uma matriz 33 ou maior é uma tarefa praticamente impossível de ser feita à mão Considere o sistema X 2 2 2 1 1 3 0 0 4 2 0 0 2 1 X tet et e2t 1 a Utilize um SAC ou um programa de álgebra linear para obter os autovalores e autovetores da matriz de coeficientes b Forme uma matriz fundamental Φt e utilize o computador para calcular Φ1t c Use o computador para realizar os cálculos de Φ1tFt Φ1tFt dt Φt Φ1tFt dt ΦtC e ΦtC Φ1tFt dt onde C é uma matriz coluna de constantes c1 c2 c3 e c4 d Reescreva a saída do computador para a solução geral do sistema na forma X Xc Xp onde Xc c1 X1 c2 X2 c3 X3 c4 X4 143 Diagonalização Nos Problemas 3538 aplique diagonalização para resolver o sistema indicado 35 X 5 2 21 8X 6 4 36 X 1 3 2 2X et et 37 X 5 5 5 5X 2t 8 38 X 0 1 1 0X 4 8e2t 15 Exponencial de matriz Introdução Matrizes podem ser utilizadas de um modo totalmente diferente para resolver um sistema de equações diferenciais de primeira ordem lineares Recorde que uma equação diferencial de primeira ordem linear simples x ax onde a é uma constante tem a solução geral x ceat Parece natural então perguntarmos se podemos definir uma exponencial de matriz eAt onde A é uma matriz de constantes de modo que eAt é uma solução do sistema X AX Sistemas homogêneos Veremos agora que é possível definir uma exponencial de matriz eAt de modo que o sistema homogêneo X AX onde A é uma matriz de constantes n n tenha uma solução X eAtC 1 Como C é uma matriz coluna n 1 de constantes arbitrárias queremos que eAt seja uma matriz n n O desenvolvimento completo do significado e teoria da exponencial de matriz exige um conhecimento profundo de álgebra matricial Assim uma maneira de definir et é inspirada pela representação em série de potências da função exponencial escalar et eat 1 at a2 t22 ak tkk Σk0 to ak tkk 2 A série em 2 converge para todo t Utilizando essa série com 1 substituído pela identidade I e a constante a substituída por uma matriz A de constantes n n obtemos uma definição para a matriz eAt n n DEFINIÇÃO 14 Exponencial de matriz Para uma matriz A n n eAt I At A2 t22 Ak tkk Σk0 to Ak tkk 3 Podese mostrar que a série dada em 3 converge para uma matriz n n para todo valor de t Além disso em 3 A0 I A2 AA A3 AA2 e assim por diante Derivada de eAt A derivada da exponencial de matriz eAt é análoga àquela da exponencial escalar isto é ddt et aet Para justificar ddt eAt AeAt 4 diferenciamos 3 termo a termo ddt eAt ddt I At A2 t22 Ak tkk A A2 t 12 A3 t2 A I At A2 t22 AeAt Em decorrência de 4 podemos agora provar que 1 é uma solução de X AX para todo vetor C de constantes n 1 X ddt eAt C AeAt C AeAt C AX 5 eAt é uma matriz fundamental Se representarmos a matriz eAt pelo símbolo Ψt então 4 é equivalente à equação diferencial matricial Ψt AΨt veja 3 da Seção 14 Além disso decorre imediatamente da Definição 14 que Ψ0 eA0 I e assim det Ψ0 0 Essas duas propriedades são suficientes para concluirmos que Ψt é uma matriz fundamental do sistema X AX Sistemas não homogêneos Vimos em 4 da Seção 23 do Volume 1 que a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear única x ax ft onde a é uma constante pode ser escrita como x xc xp ceat eat from t0 to t eas fs ds Para um sistema não homogêneo de equações diferenciais de primeira ordem lineares podese mostrar que a solução geral X AX Ft onde A é uma matriz de constantes n n é X Xc Xp eAt C eAt from t0 to t eAs Fs ds 6 Como a exponencial de matriz eAt é uma matriz fundamental ela sempre é não singular e eAs eAs1 Note que eAs pode ser obtida a partir de eAt pela substituição de t por s Cálculo de eAt A definição de eAt dada em 3 pode é claro sempre ser utilizada para calcular eAt Entretanto a utilidade prática de 3 está limitada pelo fato de que as entradas em eAt são séries de potência em t Com um desejo natural de trabalharmos com coisas simples e familiares tentaremos então reconhecer se essas entradas definem uma função de forma fechada Veja os Problemas 14 nos Exercícios 15 Felizmente existem muitas maneiras alternativas de se calcular eAt Esboçamos dois desses métodos na discussão que se segue Utilizando transformada de Laplace Vimos em 5 que X eAt é uma solução de X AX De fato como eA0 I X eAt é uma solução do problema de valor inicial X AX X0 I 7 Se xs LXt LeAt então a transformada de Laplace de 7 é sxs X0 Axs ou sI Axs I Multiplicar a última equação por sI A1 implica xs sI A1I sI A1 Em outras palavras LeAt sI A1 ou eAt L1 sI A1 8 Exemplo 1 Exponencial de matriz Utilize a transformada de Laplace para calcular eAt para A 1 1 2 2 Solução Primeiro calculamos a matriz sI A e então obtemos a sua inversa sIA s1 12 s2 sI A1 s1 12 s21 s2ss1 1ss1 2ss1 s1ss1 Então decompomos as entradas da última matriz em frações parciais sI A1 2s 1s1 1s 1s1 2s 2s1 1s 2s1 9 Tomando a transformada de Laplace inversa de 9 obtemos o resultado desejado eAt 2 et 1 et2 2et 1 2et Utilizando potências Am Na Seção 28 do Volume 2 desenvolvemos um método para calcular uma potência arbitrária Ak k um inteiro não negativo de uma matriz A n n Recorde da Seção 28 do Volume 2 que podemos escrever Ak Σj0 to n1 cj Aj e λk Σj0 to n1 cj λj 10 onde os coeficientes cj são os mesmos em cada uma das expressões anteriores sendo que a última expressão é válida para os autovalores λ1 λ2 λn de A Consideramos aqui que os autovalores de A são distintos Adotando λ λ1 λ2 λn na segunda expressão de 10 fomos capazes de determinar cj na primeira expressão pela solução de n equações em n incógnitas Será conveniente no desenvolvimento que se segue enfatizar o fato de que os coeficientes cj em 10 dependem da potência k se substituirmos cj por cjk A partir de 3 e 2 temos eAt Σk0 to Ak tkk e eλt Σk0 to λk tkk 11 A seguir aplicamos 10 em 11 para substituir Ak e λk como somas finitas seguidas por uma troca de ordem dos somatórios eAt Σk0 to tkk Σj0 to n1 cjk Aj Σj0 to n1 Aj Σk0 to tkk cjk Σj0 to n1 Aj bjt 12 eλt Σk0 to tkk Σj0 to n1 cjk λj Σj0 to n1 λj Σk0 to tkk cjk Σj0 to n1 λj bjt 13 onde bjt Σk0 to tkkcjk Do mesmo modo que utilizamos os autovalores de A em 10 para determinar os cj novamente aplicamos autovalores porém dessa vez no somatório finito 13 para obter um sistema de equações para determinar os bj esses coeficientes por sua vez são utilizados em 12 para determinar eAt Exemplo 2 Exponencial de matriz Calcule eAt para A 2 4 1 3 Solução Já vimos a matriz A na Seção 28 do Volume 2 e lá calculamos seus autovalores como sendo λ1 1 e λ2 2 Agora como A é uma matriz 22 temos a partir de 12 e 13 eAt b0 I b1 A e eλt b0 b1 λ 14 Adotando λ 1 e λ 2 na segunda equação de 14 obtemos duas equações nas duas incógnitas b0 e b1 Resolver o sistema e1 b0 b1 e2t b0 2b1 resulta em b₀ ⅓e²ᵗ 2eᵗ b₁ ⅓e²ᵗ eᵗ Substituindo esses valores na primeira equação de 14 e simplificando as entradas temos eᴬᵗ ⅓e²ᵗ 43eᵗ 43e²ᵗ 43eᵗ ⅓e²ᵗ 13eᵗ 43e²ᵗ 13eᵗ Nos Problemas 2528 nos Exercícios 15 mostramos como calcular a exponencial de matriz eᴬᵗ quando a matriz A é diagonalizável veja a Seção 211 do Volume 2 Uso de computadores Para aqueles dispostos a momentaneamente trocar entendimento por velocidade de solução eᴬᵗ pode ser calculado de um modo mecânico com o auxílio de um programa computacional por exemplo no Mathematica a função MatrixExp A t calcula a exponencial de matriz para uma matriz quadrada At no Maple o comando é exponentialAt no MATLAB a função é expm At Veja os Problemas 27 e 28 nos Exercícios 15 EXERCÍCIOS 15 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389 Nos Problemas 1 e 2 use 3 para calcular eᴬᵗ e eᴬᵗ 1 A 1 0 0 2 2 A 0 1 1 0 Nos Problemas 3 e 4 use 3 para calcular eᴬᵗ 3 A 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 A 0 0 0 3 0 0 5 1 0 Nos Problemas 58 utilize 1 e os resultados dos Problemas 14 para obter a solução geral do sistema dado 5 X 1 0 0 2 X 6 X 0 1 1 0 X 7 X 1 1 1 1 1 1 2 2 2 X 8 X 0 0 0 3 0 0 5 1 0 X Nos Problemas 912 utilize 6 para calcular a solução geral do sistema indicado 9 X 1 0 0 2 X 3 1 10 X 1 0 0 2 X t eᵗ 11 X 0 1 1 0 X 1 1 12 X 0 1 1 0 X cosh t sinh t 13 Resolva o sistema no Problema 7 sujeito à condição inicial X0 1 4 6 14 Resolva o sistema no Problema 9 sujeito à condição inicial X0 4 3 Nos Problemas 1518 use o método do Exemplo 1 para calcular eᴬᵗ para a matriz de coeficientes Utilize 1 para determinar a solução geral do sistema indicado 15 X 4 3 4 4 X 16 X 4 2 1 1 X 17 X 5 9 1 1 X 18 X 0 1 2 2 X Nos Problemas 1922 use o método do Exemplo 2 para calcular eᴬᵗ para a matriz de coeficientes Utilize 1 para determinar a solução geral do sistema indicado 19 X 2 2 2 5 X 20 X 1 2 1 4 X 21 X 3 8 0 1 X 22 X 1 32 14 14 X 23 Se a matriz A puder ser diagonalizada então P¹AP D ou A PDP¹ Utilize esse último resultado e 3 para mostrar que eᴬᵗ PeᴰᵗP¹ 24 Utilize D λ₁ 0 0 0 λ₂ 0 0 0 λₙ e 3 para mostrar que eᴰᵗ eλ₁t 0 0 0 eλ₂t 0 0 0 eλₙt Nos Problemas 25 e 26 utilize os resultados dos Problemas 23 e 24 para resolver o sistema indicado 25 X 2 1 3 6 X 26 X 2 1 1 2 X Tarefas computacionais 27 a Aplique 1 para obter a solução geral de X 4 2 3 3 X Utilize um SAC para calcular eᴬᵗ A seguir use o computador para determinar autovalores e autovetores da matriz de coeficientes A 4 2 3 3 e formar a solução geral do modo indicado na Seção 12 Finalmente confira as duas formas da solução geral do sistema b Aplique 1 para obter a solução geral de X 3 1 2 1 X Utilize um SAC para calcular eᴬᵗ No caso da saída ser complexa use o programa para fazer a simplificação por exemplo no Mathematica se m MatrixExp A t tiver entradas complexas então tente o comando SimplifyComplexExpandm 28 Aplique 1 para calcular a solução geral de X 4 0 6 0 0 5 0 4 1 0 1 0 0 3 0 2 X Utilize um SAC para calcular eᴬᵗ Problemas para discussão 29 Releia a discussão do resultado indicado em 8 A matriz sI A sempre tem uma inversa Discuta 30 Nos Exercícios 29 do Volume 2 vimos que uma matriz não nula A n n é nilpotente se m for o menor inteiro positivo tal que Aᵐ 0 Verifique que A 1 1 1 1 0 1 1 1 1 é nilpotente Discuta por que é relativamente fácil calcular eᴬᵗ quando A é nilpotente Calcule eᴬᵗ para a matriz dada e então utilize 2 para resolver o sistema X AX CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 389 Nos Problemas 1 e 2 preencha os espaços 1 O vetor X k4 5 é uma solução de X 1 4 2 1 X 8 1 para k 2 O vetor X c₁1 1 e⁹ᵗ c₂5 3 e⁷ᵗ é uma solução do problema de valor inicial X 1 0 6 3 X X0 2 0 para c₁ e c₂ 3 Considere o sistema linear X 4 6 6 1 3 2 1 4 3 X Sem tentar resolver o sistema quais dos seguintes vetores K₁ 0 1 1 K₂ 1 1 1 K₃ 3 1 1 K₄ 6 2 5 é um autovetor da matriz de coeficientes Qual é a solução do sistema que corresponde a esse autovetor 4 Considere o sistema linear X AX de duas equações diferenciais onde A é uma matriz de coeficientes reais Qual é a solução geral do sistema considerando que se saiba que λ₁ 1 2i é um autovalor e K₁ 1 i é um autovetor correspondente Nos Problemas 514 resolva o sistema linear indicado com os métodos desse capítulo 5 dxdt 2x y dydt x 6 dxdt 4x 2y dydt 2x 4y 7 X 1 2 2 1 X 8 X 2 5 2 4 X 9 X 1 1 1 0 1 3 4 3 1 X 10 X 0 2 1 1 1 2 2 2 1 X 11 X 2 8 0 4 X 2 16t 12 X 1 2 12 1 X 0 eᵗtg t 13 X 1 1 2 1 X 1 cot t 14 X 3 1 1 1 X 2 1 e²ᵗ 15 a Considere o sistema linear X AX de três equações diferenciais de primeira ordem onde a matriz de coeficientes é A 5 3 3 3 5 3 5 5 3 e λ 2 é um autovalor de multiplicidade dois Determine duas soluções diferentes do sistema que corresponde a esse autovalor sem utilizar qualquer fórmula especial tal como 12 da Seção 12 b Utilize o procedimento do item a para resolver X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X 16 Verifique que X c₁ c₂ eᵗ é uma solução do sistema linear X 1 0 0 1 X para constantes c₁ e c₂ arbitrárias À mão trace um perfil de fase do sistema CAPÍTULO 2 Sistemas de Equações Diferenciais Não Lineares Descrição do capítulo 21 Sistemas autônomos 22 Estabilidade de sistemas lineares 23 Linearização e estabilidade local 24 Sistemas autônomos como modelos matemáticos 25 Soluções periódicas ciclos limites e estabilidade global Exercícios de revisão No Capítulo 1 nos concentramos nas técnicas para solução de EDs lineares da forma X AX Ft Quando o sistema de equações diferenciais não for linear usualmente não será possível obter soluções em termos de funções elementares Nesse capítulo veremos que informações valiosas a respeito da natureza geométrica das soluções podem ser obtidas analisandose primeiro soluções constantes especiais denominadas pontos críticos e a seguir buscandose por soluções periódicas chamadas ciclos limites O importante conceito de estabilidade será introduzido e ilustrado com exemplos da física e biologia 21 Sistemas autônomos Introdução Introduzimos os conceitos de EDs de primeira ordem autônomas pontos críticos de uma ED autônoma e a estabilidade de um ponto crítico na Seção 21 do Volume 1 Essas primeiras considerações a respeito de estabilidade foram propositalmente mantidas em um nível bastante intuitivo agora é o momento de darmos a definição precisa desse conceito Para fazermos isso precisamos examinar sistemas autônomos de EDs de primeira ordem Nessa seção definimos pontos críticos de sistemas autônomos com duas EDs de primeira ordem os sistemas autônomos podem ser lineares ou não lineares Sistemas autônomos Um sistema de equações diferenciais de primeira ordem é denominado autônomo quando o sistema puder ser escrito na forma dx1dt g1x1 x2 xn dx2dt g2x1 x2 xn dxndt gnx1 x2 xn 1 Observe que a variável independente t não aparece explicitamente no lado direito de cada equação diferencial Compare 1 com o sistema geral dado em 2 da Seção 11 Exemplo 1 Um sistema não autônomo O sistema de equações diferenciais de primeira ordem não lineares dx1dt x1 3x2 t2 dx2dt t x1 sen x2 t não é autônomo em decorrência da presença de t no lado direito de ambas EDs Quando n 1 em 1 uma equação diferencial de primeira ordem única adquire a forma dxdt gx Essa última equação é equivalente a 1 da Seção 21 do Volume 1 com os símbolos x e t desempenhando os papéis de y e x respectivamente Soluções explícitas podem ser construídas pois a equação diferencial dxdt gx é separável Faremos uso desse fato para ilustrarmos os conceitos desse capítulo ED de segunda ordem como um sistema Qualquer equação diferencial de segunda ordem x gxx pode ser escrita como um sistema autônomo Conforme foi feito na Seção 37 do Volume 1 se adotarmos y x então x gxx se transforma em y gxy Assim a equação diferencial de segunda ordem se torna o sistema com duas equações de primeira ordem x y y gx y Exemplo 2 A ED do pêndulo como um sistema autônomo Em 6 da Seção 310 do Volume 1 mostramos que o ângulo de deslocamento θ para um pêndulo satisfaz a equação diferencial de segunda ordem não linear d2θdt2 gl sen θ 0 Se considerarmos x θ e y θ essa equação diferencial de segunda ordem pode ser reescrita como o sistema autônomo x y y gl sen x Se Xt e gX representarem os seguintes vetores coluna Xt x1t x2t xnt gX g1x1 x2 xn g2x1 x2 xn gnx1 x2 xn então o sistema autônomo 1 pode ser escrito na forma vetor coluna compacta X gX O sistema linear homogêneo X AX estudado na Seção 12 é um caso especial importante Nesse capítulo é conveniente escrevermos 1 utilizando também vetores linha Se adotarmos Xt x1t x2t xnt e gX g1x1 x2 xn g2x1 x2 xn gnx1 x2 xn então o sistema autônomo 1 pode também ser escrito na forma vetor linha compacta X gX Deve ser claro a partir do contexto se estamos utilizando a forma vetor linha ou coluna Portanto não faremos distinção entre X e XT a transposta de X Em particular quando n 2 é conveniente utilizarmos a forma vetor linha e escrevermos uma condição inicial X0 x0 y0 Quando a variável t for interpretada como tempo podemos nos referir ao sistema de equações diferenciais em 1 como um sistema dinâmico e a uma solução Xt como o estado do sistema ou a resposta do sistema no tempo t Com essa terminologia um sistema dinâmico é autônomo quando a taxa Xt na qual o sistema varia depende somente do estado atual do sistema Xt O sistema linear X AX Ft estudado no Capítulo 10 é então autônomo quando Ft for constante No caso n 2 ou 3 denominaremos uma solução como caminho ou trajetória pois podemos considerar x x1t y x2t z x3t como as equações paramétricas de uma curva Interpretação de campo vetorial Quando n 2 o sistema em 1 é chamado de sistema autônomo plano e escrevemos o sistema como dxdt Px y dydt Qx y O vetor Vxy PxyQxy define um campo vetorial em uma região do plano sendo que uma solução para o sistema pode ser interpretada como o caminho resultante do movimento de uma partícula pela região Para ser mais específico considere Vxy PxyQxy como sendo a velocidade da correnteza de um rio na posição xy e suponha que uma pequena partícula tal como uma rolha seja liberada em uma posição x0y0 na correnteza Se Xt xtyt corresponde à posição da partícula no instante de tempo t então Xt xtyt é o vetor velocidade v Quando forças externas não estiverem presentes e forças de atrito forem desconsideradas a velocidade da partícula no tempo t será a velocidade da correnteza na posição Xt isto é Xt Vxtyt ou dxdt Pxtyt dydt Qxt yt Logo o caminho da partícula é uma solução para o sistema que satisfaz a condição inicial X0 x0 y0 Frequentemente faremos referência a essa interpretação simples de um sistema autônomo plano para ilustrar novos conceitos Exemplo 3 Sistema autônomo plano de um campo vetorial Um campo vetorial para o fluxo em regime permanente de um fluido em torno de um cilindro de raio 1 é dado por Vx y V0 1 x² y²x² y²² 2xyx² y²² onde V0 é a velocidade do fluido distante do cilindro Se uma pequena rolha for liberada em 31 o caminho Xt xtyt da rolha satisfaz o sistema autônomo plano dxdt V01 x² y²x² y²² dydt V02xyx² y²² sujeito à condição inicial X0 31 Veja a Figura 21 Tipos de soluções Se Pxy Qxy e as derivadas parciais de primeira ordem Px Py Qx e Qy forem contínuas em uma região R do plano então uma solução para o sistema autônomo plano dxdt Px y dydt Qx y que satisfaça X0 X0 é única e é um dos três tipos básicos i Uma solução constante xt x0 yt y0 ou Xt X0 para todo t Uma solução constante é denominada como um ponto estacionário ou crítico Quando a partícula for colocada em um ponto crítico X0 isto é X0 X0 ela permanecerá lá indefinidamente Por essa razão uma solução constante é também chamada uma solução de equilíbrio Note que como Xt 0 um ponto crítico é uma solução do sistema de equações algébricas Px y 0 Qx y 0 ii Uma solução x xt y yt que define um arco uma curva plana que não cruza a si própria Logo a curva na Figura 22a pode ser uma solução para um sistema autônomo plano enquanto que a curva na Figura 22b não pode ser uma solução Existirão duas soluções que se iniciam a partir do ponto P de interseção Exemplo 7 Soluções em coordenadas polares Quando escrito em coordenadas polares um sistema autônomo plano adquire a forma drdt 053 r dthetadt 1 Determine e esboce as soluções que satisfazem X0 01 e X0 30 em coordenadas retangulares Solução Aplicar separação de variáveis em drdt 053 r e integrar dthetadt resulta na solução r 3 c1 e05t theta t c2 Se X0 01 então r0 1 e theta0 pi2 e portanto c1 2 e c2 pi2 A curva solução é a espiral r 3 2e05tpi2 Observe que quando t theta aumenta ilimitadamente e r se aproxima de 3 Se X0 30 então r0 3 e theta0 0 segue que c1 c2 0 e assim r 3 e theta t Portanto x r costheta 3 cos t e y r sentheta 3 sen t e portanto a solução é periódica A solução gera um círculo de raio 3 em relação a 00 Ambas as soluções estão apresentadas na Figura 26 Figura 26 Curvas solução no Exemplo 7 EXERCÍCIOS 21 As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 390 Nos Problemas 16 escreva a equação diferencial de segunda ordem não linear indicada como um sistema autônomo plano Determine todos os pontos críticos do sistema resultante 1 x 9 sen x 0 2 x x2 2x 0 3 x x1 x3 x2 0 4 x 4x1x2 2x 0 5 x x ex3 para e 0 6 x x exx 0 para e 0 Nos Problemas 716 determine todos os pontos críticos do sistema autônomo plano indicado 7 x x xy y y xy 8 x y2 x y x2 y 9 x 3x2 4y y x y 10 x x3 y y x y3 11 x x10 x 12 y y y16 y x 12 x 2x y 10 y 2x y 15 yy5 13 x x2 ey y yex 1 14 x sen y y exy 1 15 x x1 x2 3y2 y y3 x2 3y2 16 x x4 y2 y 4y1 x2 Nos Problemas 1722 para o sistema dinâmico linear dado obtido a partir dos Exercícios 12 a obtenha a solução geral e determine se existem soluções periódicas b determine a solução que satisfaz a condição inicial dada e c com o auxílio de uma ferramenta gráfica trace a solução do item b e indique a direção na qual a curva é atravessada 17 x x 2y y 4x 3y X0 2 2 Problema 1 Exercícios 12 18 x 6x 2y y 3x y X0 3 4 Problema 6 Exercícios 12 19 x 4x 5y y 5x 4y X0 4 5 Problema 37 Exercícios 12 20 x x y y 2x y X0 2 2 Problema 34 Exercícios 12 iii Uma solução periódica x xt y yt Uma solução periódica é chamada um ciclo Se p for o período da solução então Xt p Xt e uma partícula colocada na curva em X0 circulará em torno da curva e retornará para X0 em p unidades de tempo Veja a Figura 23 Exemplo 4 Determinando pontos críticos Determine todos os pontos críticos de cada um dos seguintes sistemas autônomos planos a x x y y x y b x x² y² 6 y x² y c x 001x100 x y y 005y60 y 02x Solução Obtemos os pontos críticos igualando a zero o lado direito das equações diferenciais a A solução para o sistema x y 0 x y 0 é constituída por todos os pontos na reta y x Logo existem infinitos pontos críticos b Para resolver o sistema x² y² 6 0 x² y 0 substituímos a segunda equação x² y na primeira equação para obter y² y 6 y 3y 2 0 Se y 3 então x² 3 e assim não existem soluções reais Se y 2 então x 2 e portanto os pontos críticos são 22 e 22 c Determinar os pontos críticos exige uma cuidadosa análise de casos A equação 001x100 x y 0 implica x 0 ou x y 100 Considere x 0 Se substituirmos em 005y60 y 02x 0 então temos y60 y 0 Assim y 0 ou 60 e portanto 00 e 060 são pontos críticos Se x y 100 então 0 y60 y 02100 y y40 08y Decorre que y 0 ou 50 e assim 1000 e 5050 são pontos críticos Quando o sistema autônomo plano for linear poderemos utilizar os métodos do Capítulo 1 para investigar soluções Exemplo 5 Descobrindo soluções periódicas Determine se o sistema dinâmico linear indicado possui uma solução periódica a x 2x 8y y x 2y b x x 2y y 12 x y Em cada caso esboce o gráfico da solução que satisfaz X0 20 Solução a No Exemplo 6 da Seção 102 utilizamos o método autovalorautovetor para demonstrar que x c12 cos 2t 2 sen 2t c22 cos 2t 2 sen 2t y c1cos 2t c2 sen 2t 21 x 5x y y 2x 3y X0 1 2 Problema 35 Exercícios 12 22 x x 8y y x 3y X0 2 1 Problema 38 Exercícios 12 Nos Problemas 2326 resolva o sistema autônomo plano não linear dado mudando para coordenadas polares Descreva o comportamento geométrico da solução que satisfaz as condiçãoões inicialais indicadas 23 x y xx2 y22 y x yx2 y22 X0 4 0 24 x y xx2 y2 y x yx2 y2 X0 4 0 25 x y x1 x2 y2 y x y1 x2 y2 X0 1 0 X0 2 0 Sugestão A equação diferencial resultante com relação a r é uma equação diferencial de Bernoulli Veja a Seção 25 do Volume 1 26 x y xsqrtx2 y24 x2 y2 y x xsqrtx2 y24 x2 y2 X0 1 0 X0 2 0 Sugestão Veja o Exemplo 3 na Seção 22 do Volume 1 Se um sistema autônomo plano tiver uma solução periódica então tem que existir ao menos um ponto crítico no interior da curva gerada pela solução Nos Problemas 2730 utilize esse fato junto com um programa de cálculo numérico para investigar a possibilidade de soluções periódicas 27 x x 6y y xy 12 28 x x 6xy y 8xy 2y 29 x y y y1 3x2 2y2 x 30 x xy y 1 x2 y2 31 Se z fxy for uma função com derivadas parciais primeira contínuas em uma região R então um fluxo Vxy Pxy Qxy em R pode ser definido adotandose Pxy fyx y e Qx y fx x y Mostre que se Xt xtyt for uma solução do sistema autônomo plano x Px y y Qx y então fxtyt c para alguma constante c Assim uma curva solução se localiza nas curvas de nível de f Sugestão Use a regra da cadeia para calcular ddt fxt yt Portanto toda solução é periódica com período p π A solução que satisfaz X0 20 é x 2 cos 2t 2 sen 2t y sen 2t Essa solução gera a elipse ilustrada na Figura 24a b Utilizando o método autovalorautovetor podemos mostrar que x c12et cos t c22et sen t y c1et sen t c2et cos t Em decorrência da presença de et na solução geral não existem soluções periódicas isto é ciclos A solução que satisfaz X0 20 é x 2et cos t y et sen t e a curva resultante está indicada na Figura 24b Mudando para coordenadas polares Exceto para o caso de soluções constantes usualmente não é possível obter soluções explícitas para as soluções de um sistema autônomo não linear Podemos resolver alguns sistemas não lineares no entanto mudandoos para coordenadas polares A partir da fórmula r² x² y² e θ tg¹yx obtemos drdt 1r x dxdt y dydt dθdt 1r² y dxdt x dydt 2 Podemos em alguns casos aplicar 2 para converter um sistema autônomo plano em coordenadas retangulares para um sistema mais simples em coordenadas polares Figura 24 Curvas solução no Exemplo 5 Exemplo 6 Mudando para coordenadas polares Determine a solução para o sistema autônomo plano não linear x y xx² y² y x yx² y² satisfazendo a condição inicial X0 33 Solução Substituindo dxdt e dydt nas expressões para drdt e dθdt em 2 obtemos drdt 1r xy xr yx yr r² dθdt 1r² yy xr xx yr 1 Como 33 é 32 π4 em coordenadas polares a condição inicial X0 33 se torna r0 2 e θ0 π4 Utilizando separação de variáveis vemos que a solução do sistema é r 1t c1 θ t c2 para r 0 Confira Aplicando a condição inicial obtemos r 1t 26 θ t π4 A espiral r 1θ 26 π4 está esboçada na Figura 25 Figura 25 Curvas solução no Exemplo 6 retornar para um ponto crítico diferente ou até mesmo para nenhum ponto crítico Veja a Figura 27 Se em alguma região do ponto crítico o caso a ou b na Figura 27 sempre ocorrer chamamos o ponto crítico localmente estável Se entretanto um valor inicial X0 que resulte em comportamento similar a c puder ser obtido em qualquer vizinhança dada denominamos o ponto crítico como instável Esses conceitos se tornarão mais precisos na Seção 23 onde as questões i e ii serão investigadas para sistemas não lineares Análise de estabilidade Investigaremos primeiro essas duas questões de estabilidade para sistemas autônomos planos lineares e lançaremos os fundamentos para a Seção 23 Os métodos de solução do Capítulo 1 nos permitem dar uma análise geométrica cuidadosa das soluções para x ax by y cx dy em termos de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes A a b c d Aqui abc e d são constantes Para garantir que X0 00 é o único ponto crítico consideraremos que o determinante Δ ad bc 0 Se τ a d for o traço da matriz A então a equação característica detA λI 0 pode ser escrita como λ2 τλ Δ 0 Portanto os autovalores de A são λ τ τ2 4Δ2 e os três casos usuais para essas raízes ocorrem dependendo de se τ2 4Δ for positivo negativo ou zero No próximo exemplo utilizaremos um programa de cálculo numérico para descobrir a natureza das soluções que correspondem a esses casos Exemplo 1 Autovalores e o formato das soluções Determine os autovalores do sistema linear x x y y cx y em termos de c e utilize um programa de cálculo numérico para descobrir o formato das soluções que correspondem aos casos c 14 4 0 e 9 Solução A matriz de coeficientes 1 1 c 1 tem traço τ 2 e determinante Δ 1 c Desse modo os autovalores são λ τ τ2 4Δ2 2 4 41 c2 1 c A natureza dos autovalores é portanto determinada pelo sinal de c Se c 14 então os autovalores são negativos e distintos λ 12 e 32 Na Figura 28a utilizamos um programa de cálculo numérico para gerar curvas solução ou trajetórias que correspondem a diversas condições iniciais Note que exceto para as trajetórias traçadas em preto na figura todas as trajetórias parecem se aproximar de 0 a partir de uma direção fixa Recorde do Capítulo 1 que um conjunto de trajetórias no plano xy ou plano de fase é chamado um perfil de fase do sistema Em geral se A for uma matriz nn o traço de A é a soma das entradas da diagonal principal Figura 27 Pontos críticos Quando c 4 os autovalores têm sinais opostos λ 1 e 3 e um fenômeno in teressante ocorre Todas as trajetórias se afastam da origem em uma direção fixa exceto para as soluções que se iniciam ao longo da reta única desenhada em preto na Figura 28b Já vimos comportamento como esse no perfil de fase indicado na Figura 12 Experimente com o seu programa de cálculo numérico e verifique essas observações A seleção c 0 nos leva a um autovalor real único λ 1 Esse caso é muito similar ao caso c 14 com uma exceção notável Todas as curvas solução na Figura 28c parecem se aproximar de 0 a partir de uma direção fixa com o aumento de t Finalmente quando c 9 1 λ 1 9 1 3i Assim os au tovalores são números complexos conjugados com parte real negativa 1 A Figura 28d mostra curvas solução movendose em forma de espiral em direção a origem 0 à medida que t aumenta Os comportamentos das trajetórias observadas nos quatro perfis de fase da Fi gura 28 no Exemplo 1 podem ser explicados utilizandose os resultados da solução autovaloautovetor do Capítulo 1 Caso I Autovalores reais distintos τ² 4Δ 0 De acordo com o Teorema 17 na Seção 12 a solução geral de 1 é dada por Xt c₁K₁eλ₁t c₂K₂eλ₂t 2 onde λ₁ e λ₂ são os autovalores e K₁ e K₂ são os autovetores corres pondentes Observe que Xt também pode ser escrita como Xt eλ₁tc₁K₁ c₂K₂eλ₂λ₁t 3 a Ambos autovalores negativos τ² 4Δ 0 τ 0 e Δ 0 Nó estável λ₂ λ₁ 0 Como ambos os autovalores são negativos seguese de 2 que limt Xt 0 Se considerarmos que λ₂ λ₁ en tão λ₂ λ₁ 0 e assim eλ₂λ₁t é uma função com decaimento exponen cial Podemos portanto concluir a partir de 3 que Xt c₁K₁eλ₁t para valores grandes de t Quando c₁ 0 Xt se aproximará de 0 a partir de uma das duas direções determinadas pelo autovetor K₁ correspondente a λ₁ Se c₁ 0 Xt c₂K₂eλ₂t e Xt se aproxima de 0 ao longo da reta determinada pelo autovetor K₂ A Figura 29 mostra um conjunto de curvas solução em torno da origem Um ponto crítico é denominado nó estável quando ambos os autovalores forem negativos b Ambos autovalores positivos τ² 4Δ 0 τ 0 e Δ 0 Nó instável 0 λ₂ λ₁ A análise desse caso é similar ao caso a Novamente a partir de 2 Xt se torna ilimitada com o aumento de t Além disso considerando novamente λ₂ λ₁ e utilizando 3 vemos que Xt se torna ilimitada em uma das direções determinada pelo au tovetor K₁ quando c₁ 0 ou ao longo da reta definida pelo autovetor K₂ quando c₁ 0 A Figura 210 apresenta um conjunto típico de curvas solução Esse tipo de ponto crítico correspondendo ao caso no qual ambos os autovalores são positivos é designado nó instável c Autovalores com sinais opostos τ² 4Δ 0 e Δ 0 Ponto de sela λ₂ 0 λ₁ A análise da solução é idêntica à de b com uma exceção Quando c₁ 0 Xt c₂K₂eλ₂t e como λ₂ 0 Xt se aproximará de 0 ao longo da reta definida pelo autovetor K₂ Se X0 não se localizar na reta determinada por K₂ a reta determi nada por K₁ servirá como uma assíntota para Xt Portanto o ponto crítico é instável mesmo apesar de algumas soluções se aproximarem de 0 com o aumento de t Esse ponto crítico instável é chamado ponto de sela Veja a Figura 211 Exemplo 2 Autovalores reais distintos Classifique o ponto crítico 00 de cada um dos seguintes sistemas lineares X AX como nó estável nó instável ou ponto de sela a A 2 3 2 1 b A 10 6 15 19 Em cada caso discuta a natureza da solução na vizinhança de 00 Solução a Como o traço τ 3 e o determinante Δ 4 os autovalores são λ τ τ² 4Δ2 3 ³² 442 3 52 4 1 Os autovalores têm sinais opostos e portanto 00 é um ponto de sela Não é difícil mostrar veja o Exemplo 1 Seção 12 que os autovetores correspondentes a λ₁ 4 e λ₂ 1 são K₁ 3 2 e K₂ 1 1 respectivamente Se X0 X₀ se localizar na reta y x então Xt se aproxima de 0 Para qualquer outra condição inicial Xt se tornará ilimitada na direção determi nada por K₁ Em outras palavras a reta y 23 x serve como uma assíntota para todas as curvas solução Veja a Figura 212 b A partir de τ 29 e Δ 100 seguese que os autovalores de A são λ₁ 4 e λ₂ 25 Ambos autovalores são negativos e assim 00 nesse caso é um nó estável Como os autovetores que correspondem a λ₁ 4 e λ₂ 25 são K₁ 1 1 e K₂ 2 5 respectivamente seguese que todas as soluções se aproximam de 0 a partir da di reção definida por K₁ exceto aquelas soluções nas quais X0 X₀ se localiza na reta y 52 x determinada por K₂ Essas soluções se aproximam de 0 ao longo de y 52 x Veja a Figura 213 Caso II Um autovalor real repetido τ² 4Δ 0 Nós degenerados Relembre da Seção 12 que a solução geral adquire uma das duas diferentes formas dependendo se um ou dois autove tores linearmente independentes podem ser obtidos para o autovalor repetido λ₁ a Dois autovetores linearmente independentes Se K₁ e K₂ forem dois autovetores linearmente independentes que cor respondem a λ₁ então a solução geral é dada por Xt c₁K₁eλ₁t c₂K₂eλ₁t c₁K₁ c₂K₂eλ₁t Se λ₁ 0 então Xt se aproxima de 0 ao longo da reta determinada pelo vetor c₁K₁ c₂K₂ sendo o ponto crítico chamado um nó estável degenerado veja a Figura 214a Quando λ₁ 0 as setas na Figura 214a são revertidas e temos um nó instável degenerado b Um único autovetor linearmente independente Quando somente um único autovetor linearmente independente K₁ existir a solução geral é dada por Xt c₁K₁eλ₁t c₂K₁teλ₁t Peλ₁t onde A λ₁IP K₁ veja a Seção 12 1214 e a solução pode ser escrita como Xt teλ₁t c₂K₁ c₁t K₁ c₂t P Se λ₁ 0 então limt teλ₁t 0 e seguese que Xt se aproxima de 0 em uma das direções determinadas pelo vetor K₁ veja a Figura 214b O ponto crítico é novamente denominado nó estável degenera do Quando λ₁ 0 as soluções se assemelham àquelas da Figura 214b com as setas revertidas A reta determinada por K₁ é uma as símntota para todas as soluções O ponto crítico é novamente chamado de nó instável degenerado Caso III Autovalores complexos 𝜏² 4 0 Se 𝜆₁ 𝛼 𝜷𝑖 e 𝜆₂ 𝛼 𝜷𝑖 forem autovalores complexos e 𝐊₁ 𝐁₁ 𝑖𝐁₂ for um autovetor complexo que corresponde a 𝜆₁ a solução geral pode ser escrita como 𝐗𝑡 𝑐₁𝐗₁𝑡 𝑐₂𝐗₂𝑡 onde 𝐗₁𝑡 𝐁₁ cos 𝜷𝑡 𝐁₂ sen 𝜷𝑡𝑒ᵅᵗ e 𝐗₂𝑡 𝐁₂ cos 𝜷𝑡 𝐁₁ sen 𝜷𝑡𝑒ᵅᵗ Veja as equações 23 e 24 na Seção 12 Uma solução pode portanto ser escrita na forma 𝑥𝑡 𝑒ᵅᵗ𝑐₁₁ cos 𝜷𝑡 𝑐₁₂ sen 𝜷𝑡 𝑦𝑡 𝑒ᵅᵗ𝑐₂₁ cos 𝜷𝑡 𝑐₂₂ sen 𝜷𝑡 4 e quando 𝛼 0 temos 𝑥𝑡 𝑐₁₁ cos 𝜷𝑡 𝑐₁₂ sen 𝜷𝑡 𝑦𝑡 𝑐₂₁ cos 𝜷𝑡 𝑐₂₂ sen 𝜷𝑡 5 a Raízes imaginárias puras 𝜏² 4 0 𝜏 0 Centro Quando 𝛼 0 os autovalores são imaginários puros e a partir de 5 todas as soluções são periódicas com período 𝑝 2𝜋𝛽 Observe que se tanto 𝑐₁₂ como 𝑐₂₁ forem 0 então 5 se reduziria para 𝑥𝑡 𝑐₁₁ cos 𝜷𝑡 𝑦𝑡 𝑐₂₂ sen 𝜷𝑡 que é uma representação paramétrica padrão para a elipse 𝑥²𝑐₁₁² 𝑦²𝑐₂₂² 1 Resolvendo o sistema de equações em 4 em relação a cos 𝜷𝑡 e sen𝜷𝑡 e aplicando a identidade sen²𝜷𝑡 cos²𝜷𝑡 1 é possível mostrar que todas as soluções são elipses com centro na origem O ponto crítico 00 é denominado centro e a Figura 215 mostra um conjunto típico de curvas solução As elipses são todas atravessadas no sentido horário ou todas atravessadas no sentido antihorário b Parte real nãonula 𝜏² 4 0 𝜏 0 Pontos espirais Quando 𝛼 0 o efeito do termo 𝑒ᵅᵗ em 4 é similar ao efeito do termo exponencial na análise do movimento amortecido apresentado na Seção 38 do Volume 1 Quando 𝛼 0 𝑒ᵅᵗ 0 e a solução elíptica se move em formato espiral cada vez mais próxima da origem O ponto crítico é chamado ponto espiral estável Quando 𝛼 0 o efeito é oposto Uma solução elíptica se afasta cada vez mais da origem e o ponto crítico é agora chamado ponto espiral instável Veja a Figura 216 Exemplo 3 Autovalores repetidos e complexos Classifique o ponto crítico 00 de cada um dos seguintes sistemas lineares 𝐗 𝐀𝐗 a 𝐀 3 18 2 9 b 𝐀 1 2 1 1 Em cada caso discuta a natureza da solução que satisfaz 𝐗0 10 Determine equações paramétricas para cada solução Solução a Como 𝜏 6 e 9 o polinômio característico é 𝛼² 6𝛼 9 𝛼 3² e assim 00 é um nó estável degenerado Para o autovalor repetido 𝛼 3 obtemos um autovetor único 𝐊₁ 3 1 e logo a solução 𝐗𝑡 que satisfaz 𝐗0 10 se aproxima de 00 a partir da direção especificada pela reta 𝑦 𝑥3 b Como 𝜏 0 e 1 os autovalores são 𝜆 𝑖 e portanto 00 é um centro A solução 𝐗𝑡 que satisfaz 𝐗0 10 é uma elipse que circula a origem a cada 2𝜋 unidades de tempo Figura 215 Centro Figura 216 Pontos espirais estável e instável A partir do Exemplo 4 da Seção 12 a solução geral do sistema em a é 𝐗𝑡 𝑐₁ 3 1 𝑒³𝜏 𝑐₂ 3 1 𝑡𝑒³𝜏 12 0 𝑒³𝜏 A condição inicial resulta em 𝑐₁ 0 e 𝑐₂ 2 e assim 𝑥 6𝑡 1𝑒³𝜏 𝑦 2𝑡𝑒³𝜏 são equações paramétricas para a solução A solução geral do sistema em b é 𝐗𝑡 𝑐₁ cos 𝑡 sen 𝑡 cos 𝑡 𝑐₂ cos 𝑡 sen 𝑡 sen 𝑡 A condição inicial resulta em 𝑐₁ 0 e 𝑐₂ 1 e assim 𝑥 cos 𝑡 sen 𝑡 𝑦 sen 𝑡 são equações paramétricas para a elipse Note que 𝑦 0 para valores positivos pequenos de 𝑡 e portanto a elipse é atravessada no sentido horário As soluções de a e b estão indicadas nas Figuras 217a e b respectivamente A Figura 218 resume convenientemente os resultados dessa seção A natureza geométrica geral das soluções pode ser determinada pelo cálculo do traço e do determinante de 𝐀 Na prática os gráficos das soluções são mais facilmente obtidos não pela construção de soluções autovalorautovetor explícitas mas sim pela geração numérica das soluções utilizandose um programa de cálculo numérico e um método tal como o método de RungeKutta Seção 62 do Volume 1 para sistemas de primeira ordem Figura 217 Curvas solução no Exemplo 3 Figura 218 Resumo geométrico dos Casos I II e III Exemplo 4 Classificando pontos críticos Classifique o ponto crítico 00 para cada um dos sistemas lineares 𝐗 𝐀𝐗 indicados a seguir a 𝐀 101 310 110 102 b 𝐀 𝛼𝑥 𝑎𝑏𝑥 𝑐𝑑𝑦 𝑑𝑦 para constantes positivas 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 e 𝑦 Solução a Para essa matriz 𝜏 001 23798 e assim 𝜏² 4 0 Utilizando a Figura 218 vemos que 00 é um ponto espiral estável b Essa matriz surge do modelo de competição de LotkaVolterra que será estudado na Seção 24 Como 𝜏 𝑎𝑥 𝑑𝑦 e todas as constantes na matriz são positivas 𝜏 0 O determinante pode ser escrito como 𝑎𝑑𝑥𝑦1 𝑏𝑐 Se 𝑏𝑐 1 então 0 e o ponto crítico é um ponto de sela Se 𝑏𝑐 1 então 0 e o ponto crítico é um nó estável um nó estável degenerado ou um ponto espiral estável Em todos esses três casos lim𝑡 𝐗𝑡 0 Podemos agora dar respostas para cada uma das equações postuladas no início da seção para o sistema autônomo plano linear 𝑥 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑦 𝑐𝑥 𝑑𝑦 com 𝑎𝑑 𝑏𝑐 0 As respostas estão resumidas no teorema que se segue TEOREMA 21 Critério de estabilidade para sistemas lineares Para um sistema autônomo plano linear 𝐗 𝐀𝐗 com det 𝐀 0 considere 𝐗 𝐗𝑡 a solução que satisfaz a condição inicial 𝐗0 𝐗₀ onde 𝐗₀ 0 a lim𝑡 𝐗𝑡 0 se e somente se os autovalores de 𝐀 tiverem partes reais negativas Isso ocorrerá quando 0 e 𝜏 0 b 𝐗𝑡 é periódica se e somente se os autovalores de 𝐀 forem imaginários puros Isso ocorrerá quando 0 e 𝜏 0 c Em todos os outros casos definida qualquer vizinhança da origem existirá ao menos um 𝐗₀ na vizinhança para a qual 𝐗𝑡 se torna ilimitada com o crescimento de 𝑡 Observações A terminologia utilizada para descrever os tipos de pontos críticos varia de texto para texto A tabela a seguir lista muitos dos termos alternativos que você encontrará em seus estudos Termo Termos alternativos Ponto crítico ponto de equilíbrio ponto singular posto estacionário ponto de repouso Ponto espiral foco ponto focal ponto de vértice Nó estável ou ponto espiral atrator receptor Nó instável ou ponto espiral repulsor fonte 3 C A P Í T U L O Funções Ortogonais e Séries de Fourier Nosso objetivo agora é resolver determinados tipos de equações diferenciais parciais lineares em um contexto aplicado Apesar de não solucionarmos qualquer EDP neste capítulo os conceitos apresentados definem o estado da arte para os procedimentos que serão discutidos futuramente Em cálculo você viu que uma função f suficientemente diferenciável poderia ser substituída por uma série de Taylor que é essencialmente uma série de potências de x O principal conceito examinado nesse capítulo também envolve a expansão de uma função em uma série infinita No início dos anos de 1800 o matemático Francês Joseph Fourier antecipou a idéia de expandir uma função f em uma série de funções trigonométricas Acontece que as séries de Fourier são apenas casos especiais de um tipo mais geral de representação em série para uma função utilizando um conjunto infinito de funções ortogonais A noção de um conjunto de funções ortogonais nos leva de volta aos autovalores e o conjunto de autofunções correspondente Como autovalores e autofunções são a chave dos procedimentos nos próximos dois capítulos aconselhase que você revise o Exemplo 2 na Seção 39 do Volume 1 Descrição do capítulo 31 Funções ortogonais 32 Séries de Fourier 33 Séries de Fourier do coseno e do seno 34 Série complexa de Fourier 35 Problema de SturmLiouville 36 Séries de Bessel e Legendre 361 Série de FourierBessel 362 Série de FourierLegendre Exercícios de revisão 4 C A P Í T U L O Problemas de Valor de Contorno em Coordenadas Retangulares Neste e nos próximos dois capítulos serão enfatizados dois procedimentos frequentemente utilizados para se resolver problemas envolvendo temperaturas deslocamentos oscilatórios e potenciais Esses problemas denominados problemas de valor de contorno PVC são descritos por equações diferenciais parciais EDP lineares de segunda ordem relativamente simples O objetivo de ambos os procedimentos é obter soluções particulares de uma EDP reduzindoa a uma ou mais equações diferenciais ordinárias EDO Iniciamos pelo método de separação de variáveis para EDP lineares A aplicação desse método em um problema de valor de contorno nos leva naturalmente a importantes tópicos do Capítulo 3 ou seja os problemas de SturmLiouville autovalores autofunções e a expansão de uma função em uma série de funções ortogonais Descrição do capítulo 41 Equações diferenciais parciais separáveis 42 Equações clássicas e problemas de valor de contorno 43 Equação do calor 44 Equação de onda 45 Equação de Laplace 46 PVCs não homogêneos 47 Expansões em séries ortogonais 48 Série de Fourier em duas variáveis Exercícios de revisão 5 C A P Í T U L O Problemas de Valor de Contorno em Outros Sistemas de Coordenadas No capítulo anterior utilizamos séries de Fourier para resolver problemas de valor de contorno descritos no sistema de coordenadas cartesianas ou retangular Neste capítulo finalmente colocaremos em prática o uso das séries de FourierBessel Seção 52 e de FourierLegendre Seção 53 na solução de problemas de valor de contorno descritos em coordenadas cilíndricas ou em coordenadas esféricas Descrição do capítulo 51 Problemas em coordenadas polares 52 Problemas em coordenadas cilíndricas 53 Problemas em coordenadas esféricas Exercícios de revisão 7 C A P Í T U L O Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Parciais Na Seção 65 do Volume 1 vimos que uma maneira de aproximar uma solução de um problema de valor de contorno de segunda ordem consistia em substituir uma equação diferencial ordinária por uma equação de diferenças finitas A mesma ideia se aplica às equações diferenciais parciais Nas seções respectivas deste capítulo construiremos uma substituição de equação diferença para a equação de Laplace equação do calor unidimensional e equação de onda unidimensional substituindo as derivadas parciais uxx uyy utt e ut por quocientes de diferença Descrição do capítulo 71 Equação de Laplace 72 A equação do calor 73 A equação de onda Exercícios de revisão 8 C A P Í T U L O Funções de Variáveis Complexas Em disciplinas de álgebra elementar você aprendeu a respeito da existência e algumas das propriedades de números complexos Porém em disciplinas como Cálculo é provável que você nunca tenha visto um número complexo Cálculo introdutório consiste basicamente no estudo de funções de uma variável real Em disciplinas avançadas você pode ter utilizado números complexos ocasionalmente veja as Seções 33 do Volume 1 28 do Volume 2 e 12 deste volume Entretanto nos próximos quatro capítulos introduziremos a análise complexa isto é o estudo de funções de uma variável complexa Apesar de existirem similaridades entre essa análise e a análise real existem muitas diferenças interessantes e algumas surpresas Descrição do capítulo 81 Números complexos 82 Potências e raízes 83 Conjuntos no plano complexo 84 Funções de uma variável complexa 85 Equações de CauchyRiemann 86 Funções exponenciais e logarítmicas 87 Funções trigonométricas e hiperbólicas 88 Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas Exercícios de revisão 9 C A P Í T U L O Integração no Plano Complexo Para definir uma integral de uma função complexa f consideramos f definida ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo Veremos nessa seção que a definição de uma integral complexa suas propriedades e o método de cálculo são bastante similares àqueles referentes a uma integral de linha real no plano Descrição do capítulo 91 Integrais de contorno 92 Teorema de CauchyGoursat 93 Independência do caminho 94 Fórmulas integrais de Cauchy Exercícios de revisão 10 C A P Í T U L O Séries e Resíduos A fórmula integral de Cauchy para derivadas indica que se uma função f for analítica em um ponto z0 então essa função possui derivadas de todas as ordens naquele ponto Como consequência desse resultado veremos que f pode sempre ser expandida em uma série de potências centrada naquele ponto Por outro lado se f não for analítica em um ponto z0 podemos ainda ser capazes de expandila em um tipo diferente de série denominada série de Laurent A noção de série de Laurent nos leva ao conceito de resíduo e esse por sua vez leva a outra forma de se calcular integrais complexas Descrição do capítulo 101 Sequências e séries 102 Série de Taylor 103 Série de Laurent 104 Zeros e pólos 105 Resíduos e teorema do resíduo 106 Cálculo de integrais reais Exercícios de revisão 11 C A P Í T U L O Mapeamentos Conformes Neste capítulo estudaremos as propriedades de mapeamento das funções elementares introduzidas no Capítulo 8 e desenvolveremos duas novas classes de mapeamentos especiais denominadas transformações fracionais lineares e transformações de SchwarzChristoffel Em capítulos anteriores utilizamos séries de Fourier e transformadas integrais para resolver problemas de valor de contorno envolvendo a equação de Laplace Os métodos de mapeamento conforme discutidos nesse capítulo podem ser utilizados para transferir soluções conhecidas para a equação de Laplace de uma região para outra Além disso fluxos de fluidos em torno de obstáculos e através de canais podem ser determinados utilizandose mapeamentos conformes Descrição do capítulo 111 Funções complexas como mapeamentos 112 Mapeamentos conformes 113 Transformações fracionais lineares 114 Transformações de SchwarzChristoffel 115 Fórmulas integrais de Poisson 116 Aplicações Exercícios de revisão Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 389 25 27 29 31 33 35 37 Exercícios 15 página 58 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 25 Capítulo 1 Exercícios de revisão página 59 1 7 9 11 13 15 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS CAPÍTULO 1 394 Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 9 11 Exercícios 43 página 154 1 3 5 Exercícios 44 página 158 1 3 5 7 9 13 15 17 Exercícios 45 página 164 1 3 5 7 9 11 13 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS CAPÍTULO 4 396 Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados Capítulo 4 Exercícios de revisão página 179 1 3 5 7 9 11 13 Exercícios 51 página 185 1 3 5 7 9 11 13 15 Exercícios 52 página 191 1 3 5 7 9 11 Exercícios 53 página 195 1 3 5 RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS CAPÍTULO 5 400 Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados c d 9 a b c RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS CAPÍTULO 7 Respostas dos Problemas Ímpares Selecionados 401 d 11 a b Exercícios 73 página 245 1 a b c RESPOSTAS DOS PROBLEMAS ÍMPARES SELECIONADOS CAPÍTULO 7 412 Índice A Aerofólio de Joukowski 350 Amostragem de uma função 219 Amplitude variante no tempo 189 Análise qualitativa de sistemas de equações diferenciais 6984 Analiticidade de um ponto 264 critério para 265 Anel no plano complexo 258 Animação 156157 189 Antiderivada de uma função complexa 297299 existência de 299 Aplicações de equações diferenciais corrente vibratória 160 distribuições de temperatura 149 populações 90 presapredador 8992 relógio de água 160 Aproximação de cinco pontos para a equação de Laplace 231 Aproximação linear local 76 Arco 64 Argumento de um número complexo 252 Argumento principal de um número complexo 252 Átomo de hidrogênio 1315 Atrator 34 Aumento no plano z 348 Autofunções do problema 127128 Autovalores complexos 3942 de multiplicidade dois 3638 de multiplicidade m 3536 de multiplicidade três 3839 duplos 184 e o formato das soluções 6971 reais distintos 3235 repetida 3539 B Bastão torcido 174 C Cálculo de integrais reais por meio de resíduos 337342 Campos vetoriais e analiticidade 373374 sistema autônomo plano de 6364 velocidade 376 377 Centro 73 Ciclo 94 Ciclo limite 99 Circulação 288289 Círculo de convergência 312313 em um plano complexo 257 Coeficientes de Fourier 112 Condição de compatibilidade 165 Condição de Dirichlet 150 Condição de Neumann 150 Condição de Robin 150 Condições de contorno dependente do tempo 167170 homogêneas 150 independente do tempo 165167 não homogêneas 150 Condições iniciais 149 Condições para a extremidade livre 158 174 Conjugado de um número complexo 249250 Conjunto aberto 257258 Conjunto completo de funções 109 Conjunto conexo 258 Conjunto de funções normalizadas 108 Conjunto de funções ortonormais 107108 134 Conjunto fundamental de soluções de um sistema de equações diferenciais lineares 28 existência de 28 Conjunto ortogonal de funções 107108 de vetores 108 em relação a uma função de peso 109 Constante amortecida 88 Constante de separação 144 Continuidade de uma função complexa 262 Contorno 214 284 285 endentado 340342 Contorno de um conjunto 258 Contornos isolados 150 Convergência critério para 309 de uma integral de Fourier 209 de uma integral imprópria 339340 de uma série de Fourier 113114 de uma série de FourierBessel 137138 de uma série de FourierLegendre 139 Convergência absoluta de uma série complexa 311 Coordenadas cilíndricas 187193 Laplaciano em 190191 Coordenadas esféricas Laplaciano em 193194 Coordenadas polares 6667 182186 187193 Laplaciano em 182184 Coordenadas retangulares 142182 Corrente puxada 156157 160 Corte de ramificação 275 Critério de estabilidade para equações autônomas de primeira ordem 7980 para sistemas autônomos planos 75 80 para sistemas lineares 6876 Critério negativo 94102 Critério negativo de Bendixson 9596 Critério negativo de Dulac 9698 Critério positivo 97100 Curvas ortogonais 269 Índice 413 D Deformação de contornos 292 Demarcação do fluxo 375377 Derivadas de funções complexas de função exponencial complexa 55 de funções hiperbólicas complexas 279 de funções hiperbólicas inversas complexas 281282 de funções trigonométricas complexas 276278 de funções trigonométricas inversas complexas 277 de logaritmo complexo 272274 definição de 262 regras para 263 Derivadas de funções reais 277 Desigualdade da incerteza 1617 Desigualdade de Cauchy 305 Desigualdade do triângulo 251 Desigualdade ML 288289 Determinante do Wronskiano 2728 Diferenciação regras de 263 Diferencial relações de recorrência 135 Difração de Fraunhofer 1819 Difusão térmica 148 Disco aberto 257 Domínio de uma função 259 no plano complexo 258 Domínio duplamente conexo 291 292 Domínio simplesmente conexo 291 294 296 299303 334 354 363 374375 Domínio triplamente conexo 293 E Eixo imaginário 250 Eixo real 250 Enésima raiz da unidade 228 Enésima raiz de um número complexo não zero 254 Enésima raiz de z de um número complexo não zero 255 Enésima raiz principal de um número complexo 255 Enésimo termo para divergência teste 311 Equação característica de uma matriz 32 Equação da difusão 151 Equação de Bessel paramétrica 132133 Equação de diferença substituição para equação de Laplace 231232 substituição para equação de onda 242244 substituição para equação do calor 236238 Equação de Laplace 231236 Equação de Laplace em duas dimensões 147 Equação de onda 147 155 duas dimensões 176 obtenção da equação unidimensional 202 solução de 155160 substituição por equação de diferença 242 uma dimensão 147 149 Equação de onda bidimensional 370371 Equação de onda unidimensional 147 149 obtenção da 157 Equação diferencial autônoma 6267 Equação diferencial de Bessel paramétrica 132133 Equação diferencial de Chebyschev 141 Equação diferencial de Hermite 134 Equação diferencial de Laguerre 134 Equação diferencial de Legendre 133 Equação diferencial de Raleigh 85 Equação diferencial de Van der Pol 99100 Equação diferencial linear não homogênea parcial 143 Equação diferencial ordinária autônoma 6267 homogênea 261 Equação diferencial parcial EDP classificação de segunda ordem linear 145 dependente do tempo 167170 de segunda ordem linear 62 de segunda ordem linear homogênea 143 de segunda ordem linear não homogênea 143 elíptica 231 hiperbólica 231 232 homogênea 166168 independente do tempo 165167 não homogênea 165 168 parabólica 231 239 princípio da superposição para linear homogênea 145 separável 143147 solução de 143 Equação diferencial parcial de Laplace 147 148 231236 princípio máximo para 162 solução de 160165 Equação diferencial parcial de Poisson 171 Equação do calor bidimensional 176178 e série discreta de Fourier 222 e transformada discreta de Fourier 222223 em coordenadas polares 187 obtenção da equação unidimensional 148 solução da 152154 substituição por equação diferencial 236238 unidimensional 147148 Equação telegráfica 152 Equações de CauchyRiemann 265270 Equações diferenciais ordinárias lineares 144 169 primeira ordem 2425 solução particular de 120121 Equações diferenciais parciais de segunda ordem lineares 143147 homogêneas 143 não homogêneas 143 princípio da superposição para 145 solução de 143 Erros propagação 239 Espectro de frequência 125126 Estado de um sistema 63 Existência de transformadas de Fourier 215 414 Índice Expansão de uma função de meia escala 119 em termos de funções ortogonais 118121 em três séries 119 em uma série complexa de Fourier 124125 em uma série de cosenos 117 em uma série de Fourier 113 em uma série de FourierBessel 137138 em uma série de FourierLegendre 138 em uma série de Laurent 323326 em uma série de senos 117118 Expansão em séries ortogonais 172176 Extensão periódica 114 F Fenômeno de Gibbs 118119 Fluido incompressível 375 Fluxo de calor 148 em torno de um cilindro 376 em torno de uma extremidade 375 fluido em estado estacionário 374375 Fluxo de fluido em regime permanente 374375 Fluxo do fluido em duas dimensões 260 Fluxo e a forma integral de Cauchy 303 Fluxo irrotacional 375 Fluxo líquido 289 Fluxo uniforme 375 Fonte 303 Força externa 120 151 Força motriz periódica 120121 Forma adjunta própria 131133 Forma complexa de séries de Fourier 123126 Forma exponencial 123 211 Forma matricial de um sistema de equações algébricas lineares 2425 Forma matricial de um sistema de equações diferenciais lineares 2426 Forma normal de um sistema de equações de primeira ordem lineares 24 Forma polar de um número complexo 252 271272 Fórmula de De Moivre 254 Fórmula integral de Cauchy 301305 para derivadas 303305 Fórmula integral de Poisson para o disco unitário 370371 para o plano metade superior 368370 Frequência angular fundamental 110 125 Frequência fundamental 125 158 Função complementar 29 complexa ver Função complexa de potência real 348 domínio da 259 escala da 259 harmônica ver Função harmônica ímpar 116 ortogonal 106111 par 116 periódica 110 potencial 374 produto interno da 106 tendência 375 Função analítica critério para 265 definição de 264 derivadas de 303 Função biharmônica 357 Função complexa analítica 264 como mapeamento 260 346350 como um fluxo de fluido 260261 como uma transformação 260 completa 264 contínua 197 262 definição de 260 262 264 358 derivada de 262 diferenciável 262 domínio de 259 escala de 259 exponencial 270 hiperbólica 279 hiperbólica inversa 280283 limite de 261262 logarítmica 272274 polinomial 262 racional 262 trigonométrica 276278 trigonométrica inversa 281 Função de fluxo 375 Função erro 199200 Função erro complementar 199 Função exponencial definição de 270 derivada de 55 período de 271 propriedades de 270 região fundamental para 271 Função harmônica 267269 conjugada 268270 teorema da transformação para 353354 Função inteira 264 Função logarítmica principal 274 Função par 116 Função peso ortogonalidade em relação a 109 Função racional 262 Função seno inversa 280281 Funções de Bessel 187193 ortogonalidade de 132 relações de recorrência diferencial para 135 Funções hiperbólicas 279 Funções hiperbólicas inversas 280283 derivadas de 281282 Índice 415 Funções trigonométricas inversas 245 280 derivadas de 281282 G Glóbulo deslizante 7779 8788 96 Glóbulo incrustado 159 I Identidades trigonométricas 277278 Imagem 346347 Impedância 272 Independência do caminho 295300 definição de 296 Integração por partes 300 Integrais de linha complexa 285 no plano complexo 285 Integrais reais cálculo por meio de resíduos 337342 Integral complexa 285 289 337 344 Integral de contorno 285290 definição da 285 método de cálculo 286287 propriedades de 287 teorema fundamental para 297298 teorema limite para 288289 Integral de Fourier 208213 condições para convergência 209 forma complexa 211212 forma do coseno 210211 forma do seno 210211 Integral de probabilidade 199 Integral indefinida 51 297 Interação competitiva 90 Interação de GaussSiedel 234235 L Laplaciano em coordenadas cilíndricas 190191 em coordenadas esféricas 193194 em coordenadas polares 182184 Laplaciano em duas dimensões 147 Limite de uma função de uma variável complexa 261262 Linearização de um sistema nãolinear de equações diferenciais 7786 Linha nodal 189 Linhas de fluxo 261 375377 Logaritmo de um número complexo corte de ramificação para 275 definição de 273274 derivada de 272274 propriedades de 274 ramificação de 274 275 valor principal de 273275 M Malha 232 Mapeamento conforme 350357 e o problema de Dirichlet 353355 Mapeamentos com ângulo preservado 350352 Mapeamentos sucessivos 348349 Matriz matrizes derivada de 55 diagonalizável 44 5253 equação característica de 32 esparsa 233 exponencial 5558 fundamental 50 56 integral de 51 inversa multiplicativa 50 Jacobiana 80 limitada 233 nilpotente 59 tridiagonal 239 utilizada para obter uma transformada inversa 360 Wronski 50 Matriz simétrica autovalores para 37 Método da diferença finita 243244 implícito 239 Método da variação de parâmetros 5052 Método das diferenças finitas explícito 237238 Método das diferenças finitas implícito 239 Método de CrankNicholson 239240 Método de Liebman 235 Método do plano de fase 8384 Método numérico instável 239 Métodos dos coeficientes indeterminados 4749 Métodos numéricos estabilidade de 239 instabilidades de 2021 método de CrankNicholson 239240 métodos da diferença finita 243244 Modelo predadorpresa de LotkaVolterra 8992 modelo de competição 9092 95 Modo fundamental de oscilação 158 Modos normais 157158 Módulo de um número complexo 250 Mola flexível 8284 Multiplicação conexa domínio 292294 Multiplicativa inversa 50 Multiplicidade de autovalores 3539 N Norma de uma função 107 108 de uma partição 285 quadrada 107 135137 Norma quadrada 107 135136 Nós de um sistema autônomo plano 71 72 Nós de uma onda estacionária 158 416 Índice Nós degenerativos 72 Núcleo de uma transformação integral 214 Números complexos adição de 249 argumento de 252 argumento principal de 252 conjugado de 249250 definição de 248 desigualdade do triângulo para 251 divisão de 249 252253 enésima raiz principal de 255 forma polar de 252 271272 igualdade de 248 imaginário puro 248 interpretação geométrica de 250 interpretação vetorial 250 lei comutativa para 249 leis associativas para 249 leis distributivas para 249 logaritmo de 272274 módulo de 250 multiplicação de 249 252253 parte imaginária de 248 parte real de 248 potências complexas de 275 312 potências inteiras de 253254 raízes de 254255 subtração de 249 unidade imaginária 248 O Onda seno retificada 88 Ondas estacionárias 157158 189 Ondas viajantes 159 Orientação de uma curva 287 Oscilações não lineares 8788 P Par da transformada discreta de Fourier 221 Par transformado 214 221 Parte analítica de uma série de Laurent 321 Parte principal da série de Laurent 321 328 Pêndulo não linear 8687 Perfil de fase 33 para sistemas de duas equações diferenciais de primeira ordem lineares 6970 para sistemas de duas equações diferenciais de primeira ordem não lineares 83 84 Período fundamental 110 125 Plano complexo 250 conjuntos em 256259 eixo imaginário de 250 eixo real de 250 Plano de fase 25 33 6970 Plano z 250 347 Planos fase 8384 Polinômios de Hermite 134 Polinômios de Legendre 193 Pólo de ordem n 328 330 definição de 328 resíduo no 332 simples 328 Ponto crítico globalmente estável 94 100101 Ponto crítico instável 69 Ponto crítico localmente estável 69 Ponto de cela 71 Ponto de contorno 232 Ponto de estagnação 75 Ponto de ramificação 320 Ponto de vórtice 75 Ponto espiral instável 73 Ponto interior de um conjunto no plano complexo 257 Ponto singular de uma função complexa definição de 320 essencial 328 pólo 328329 removível 328 Ponto singular isolado 320 classificação de 328 Ponto singular não isolado 320 Pontos críticos para sistemas autônomos planos 6466 assintoticamente estável 77 definição de 77 estável 77 78 globalmente estável 94 100101 instável 7880 localmente estável 69 77 Pontos críticos para sistemas lineares autônomos atrator 34 centro 83 classificação 75 8183 definição de 77 instável 69 localmente estável 69 nó estável 71 nó instável 71 nós degenerativos 72 ponto de sela 71 ponto espiral estável 73 ponto espiral instável 73 repulsor 34 Pontos de Lattice 232 Pontos do interior da malha 232 Pontos espirais 73 Pontos estáveis 73 População modelos matemáticos para 90 Potência de uma matriz 57 Potencial complexo 374 função 374 velocidade complexa 375 Índice 417 Potências complexas 275 Predadorpresa 8992 Primeira onda estacionária 158 Primeiro harmônico 125 158 Primeiro modo normal 158 Princípio da superposição 2627 para o problema de Dirichlet para um prato retangular 162163 para sistemas de equações diferenciais lineares 145 Princípio de Volterra 92 Princípio máximo 162 Problema de Dirichlet 162 232234 funções harmônicas e 353354 para um disco circular 182184 princípio da superposição para 162163 solução utilizando mapeamento conforme 354355 Problema de Neumann para um disco circular 185 para um retângulo 165 Problema de SturmLiouville 127134 ortogonalidade de soluções 128130 propriedades de 128130 regular 128130 singular 131 133 Problema de valor de contorno PVC homogêneo 167 métodos numéricos para EDP 232234 237 238 240 não homogêneo 165172 para uma equação diferencial parcial 142182 Problema de valor de contorno em dois pontos 127 128 Problema de valor de contorno periódico 131 Problema de valor de contorno singular 131 Processamento de sinal 224226 Processo de ortogonalização de GramSchmidt 110111 Propriedade de preservação do círculo 358359 Pulso retangular 223 R Raio angular 18 Raio de convergência 312 313 Raiz quadrada principal 116 Raízes de um número complexo 254255 Ramo do logaritmo complexo 274 Ramo principal do logaritmo 274 Razão cruzada 361 Região fechada 258 invariante 9799 no plano complexo 258 Região fundamental 271 Regra da cadeia de derivadas parciais 263 Regra da soma 263 Regra de LHôpital 336 Regra do produto 263 Regra do quociente 263 Regras constantes 263 Relação de recorrência diferencial 135 Repulsor 34 Resíduo s cálculo de integrais por 334335 337342 definição 331 em um pólo de ordem n 332 em um pólo simples 332 Resposta de um sistema 63 Rotação e translação 347 Rotação no plano z 347 S Sequência convergente 309310 definição de 309 Sequência complexa 309 Sequência de somas parciais 114115 Série infinita absolutamente convergente 311 convergente 310 de Fourier ver Série de Fourier de FourierBessel 135138 de FourierLegendre 138140 de Laurent 320327 328 de Maclaurin 316 318 de potências ver Série de potências de Taylor 314319 geométrica 310311 testes para convergência 309 Série complexa 123 Série de cosenos 117118 em duas variáveis 178 Série de Fourier 111126 complexa 123126 condições para convergência 113114 coseno 117118 definição 112 em duas variáveis 176179 expansão em 113 generalizada 109 seno 117118 Série de potências centro 312 círculo de convergência 312313 de Maclaurin 316 318 de Taylor 314319 diferenciação de 315 integração de 315 raio convergência 312 313 representando uma função contínua 315 Série de senos em duas variáveis 178 Série dupla de cosenos 178 Série dupla de senos 178 Série geométrica 309311 318 323 325 Série trigonométrica 111112 Serrilhamento 223224 Simetria radial 187 Sinais com faixa limitada 224226 418 Índice Sinais filtrados 226 Singularidade essencial 328 Singularidade removível 328 Sistema autônomo plano de campos vetoriais 6364 Sistema de primeira ordem 24 Sistema degenerativo de equações diferenciais 72 73 Sistema dinâmico 63 Sistema homogêneo associado 47 Sistema linear desacoplado 4446 Sistema sobreamortecido 88 Sistema sobredeterminado para sistemas lineares 4749 Sistemas acoplados 4446 Sistemas autônomos 6267 Sistemas homogêneos de equações diferenciais lineares 24 2629 3144 autovalores complexos 3942 autovalores reais distintos 3235 autovalores repetidos 3539 Sistemas lineares de equações diferenciais 2360 Sistemas não homogêneos de equações diferenciais lineares 24 4754 56 Sobreamortecimento 88 Sobretom desarmônico 193 Sobretons 158 Solução constante 64 Solução de DAlembert 159 Solução de equilíbrio 64 Solução de uma equação diferencial parcial linear definição de 143 particular 143145 Solução geral da equação de Bessel paramétrica 127 da equação de CauchyEuler 127 de equações lineares 127 de um sistema de equações diferenciais lineares homogêneas 28 29 32 de um sistema de equações diferenciais lineares não homogêneas 2930 utilizando variação de parâmetros 5152 Solução particular 29 da equação de Legendre 127 por variação de parâmetros 5051 Solução periódica de um sistema autônomo plano 6566 Solução transitória 167 T Tabelas de mapeamentos conformes 352353 de transformadas de Laplace 199 Temperatura em um quadrado 180 em um retângulo 149 em uma haste 172 Temperatura em regime permanente 149 160 182 184 194 353 362 372 Teorema da Amostragem 224225 Teorema da convolução para a transformada de Fourier 218 Teorema de Cauchy 291 Teorema de Cauchy do resíduo 334335 Teorema de CauchyGoursat 290295 para domínios multiplamente conexos 292294 Teorema de Laurent 321322 Teorema de Liouville 305 Teorema de Taylor 316 Teorema do contorno para integrais complexas 288289 Teorema do contorno para integrais de contorno 288289 Teorema do mapeamento de Riemann 363 Teorema do resíduo 334335 Teorema fundamental da álgebra 305 para integrais de contorno 297298 Teoremas de PoincareBendixson 97100 Teste da raiz 312 Teste da razão 312 Traço de uma matriz 69 Trajetórias 25 33 63 Transformação de Joukowski 350 Transformação de SchwartzChristoffel 363368 Transformação fracional linear 357363 Transformação planar 346 Transformada de Fourier 213219 Transformada de Fourier do coseno 215217 Transformada de Fourier do seno 215216 Transformada de Laplace de uma derivada parcial 201208 exponencial de uma matriz 5658 tabelas de 199 Transformada discreta de Fourier 219220 Transformada integral Fourier 213219 Fourier coseno 215 Fourier seno 215216 par 214 Transformada integral inversa Fourier 216 Fourier coseno 215 Fourier seno 215216 Transformada rápida de Fourier 221 cálculo com 226227 Translação e contração 348 Translação e rotação 347 Translação no plano z 347 Triplo a triplo 361 V Valor absoluto de um número complexo 250 Valor principal da função logarítmica 273275 de uma integral 338 de uma potência complexa 273275 Valor principal de Cauchy 338 Variação de parâmetros para sistemas de equações diferenciais lineares 5052 Variáveis dependentes 165167 Índice 419 Variáveis independentes 165167 Variáveis separáveis 143145 Velocidade complexo potencial 375 Vetor coluna 63 Vetores como soluções de sistemas de equações diferenciais lineares 25 Vibrações radiais 187189 Vibrações transversas 149 158 176 187 Viga simplesmente apoiada 159 Viga vibrando 149 157 160 242 245 Vizinhança 257 Vórtice 378 W Wronskiano para um conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo 27 28 Z Zeros de ordem n 329 de uma função 329 do coseno e seno complexos 278 do coseno e seno hiperbólicos complexos 279