MSV-Solucao-de-Equacoes-Diferenciais-Parciais-Metodo-da-Separacao-de-Variaveis

MSV Soluções particulares pelo método de separação de variáveis Se u uxy supõese uxy Xx Yy substituindo na EDP obtémse a EDOs que são resolvidas por métodos tradicionais A solução efetiva é obtida por superposição de soluções Também conhecido como método do produto método de Fourier OBS O MSV pode ser utilizado com EDP linear e homogênea c condições de contorno homogêneas Exemplo 1 Considere uma barra de comprimento L cuja seção transversal tem área A feita de um material condutor com Cp uniforme Suponha que as superfícies laterais da barra estejam isoladas termicamente Eq da condução de calor unidimensional transiente K 2T x2 ρ Cp T t T t α 2T x2 1 α K ρ Cp K condutividade térmica ρ densidade massa específica Cp capacidade calorífica α difusividade térmica As seguintes condições de contorno e inicial são especificadas CI t0 Tx0 fx 5 sen4πx 3 sen8πx 2 sen10πx 0 x L 2 CC x0 T0t 0 t 0 xL TLt 0 t 0 3 4 Determine o perfil de temperatura na barra ao longo do tempo se α 2 m2s e L 3 m Solução pelo MSV EDP linear e homogênea CC homogêneas em x supõese Txt Xx θt 5 T x θ X 2T x2 θ X T t X θ substituindo na EDP 1 X θ α θ X θ α θ X X c 6 de 6 temos θ α c θ 7 X c X 8 da Eq8 temos X 0 X a constante Integrando X ax b CC1 X0 0 b 0 CC2 XL 0 aL 0 a 0 Portanto Xx 0 Problema de SturmLiouville px 1 qx 0 rx 1 Para c 0 c λ2 Eq 10 X B1 eλix B2 eλix utilizando a fórmula de Euler eai cos a i sena eai cos a i sena X A1 cos λx A2 sen λx 11 CC 10a A1 0 CC 10b A1 cos λL A2 sen λL 0 A2 sen λL 0 A2 0 X 0 solução trivial sen λL 0 p sen λL 0 λL 0 π 2π 3π nπ λn nπ L n 1 2 3 OBS λ 0 pois p λ0 c0 X0 λn2 n2 π2 L2 são os autovalores do problema de SturmLiouville dado pela OBS n m e nm geram os mesmos autovalores Assim tomamos n 1 2 EDO X λ2 X 0 e pelas CCs X0 0 e XL 0 SISTEMA DE STURMLIOUVILLE a x b ddx px dydx qx λ rx y 0 CC homogêneas não mistas α1 ya α2 ya 0 β1 yb β2 yb 0 Assim 11 com λλnnπL e A10 fica XnA2n sennπL x 12 Autofunções do problema X1 X2 Xn são ortogonais Lembrando que Txt Xx Θt de 9 e 12 Tn Cn eα n² π² t L² sennπL x 13 Sendo Cn AA2n e λλn nπ L com n123 De modo mais geral usando o princípio da superposição Txt Σ n1 até N Cn eα n² π² t L² sennπL x 14 Usase a condição inicial para determinar os constantes Cn CI Tx0 fx 5 sen4πx 3 sen8πx 2 sen10πx 15 Fazendo t0 em 14 Tx0 Σ n1 até N Cn sennπL x para L3 Tx0 Σ n1 até N Cn sennπ3 x Igualando à 15 C12 sen12π3 x C24 sen24π3 x C30 sen30π3 x 5 sen4πx 3 sen8πx 2 sen10πx C125 C243 e C302 Cn0 p n 12 24 e 30 A solução final é então com α2 Txt C12 e12² π² 2 3² t sen12π3 x C24 e Txt 5 e32 π² t sen4πx 3 e128 π² t sen8πx 2 e200 π² t sen10πx Esta função satisfaz a EDP 1 e todas as condições inicial e de contorno Para o caso de fx não ter a forma Σ ai senbi π x por exemplo fx10 fxcos x fx2x 3 A solução do exemplo 1 é obtida somente se for possível escrever fx na forma de uma expansão em série de senos Outros problemas de condução de calor indicam a necessidade de se escrever fx como uma expansão em série de cossenos ou mesmo em série de senos e cossenos Exemplo 2 Determine a temperatura da barra do Exemplo 1 se a temperatura inicial Tx025C Solução do exemplo 1 temos Txt Σ n1 até Cn eα n² π² t L² sennπL x Txt Σ n1 até Cn e2n² π² 9 t sennπ3 x Determinação dos Cn condição inicial Tx025 Σ n1 até Cn sennπ3 x fx25 Extenso impar de fx Ifxfx25 0xL 25 Lx0 Ifx senkπxL Σ n1 até Cm sennπxL senkπxL L até L Ifx senkπxL dx Σ n1 até Cm L até L sennπxL senkπxL dx 0 se kn 0 se kn L até L Ifx sennπxL dx Cn L até L sen² nπxL dx ímpar ímparpar 20 até L fx sennπxL dx Cn x2 sennπxL n²π² L² cos nπxL0 até L Cn L2 L2 0 L Cn 2L 0 até L fx sennπxL dx Cn 23 0 até 3 25 sennπx3 dx Série de Fourier de senos Cₙ 503 3nπ cosnπx303 50nπ cosnπ cos0 50nπ 1 cosnπ Cₙ 50nπ 1 cos nπ A solução do problema é dada por Txt n1 50nπ 1 cos nπ e2n²π² t9 sennπx3 n ímpar 1 cos nπ 2 n par 1 cos nπ 0 Txt 100π e2π² t9 senπx3 13 e22² π² t9 sen 2πx3 15 e50 π² t9 sen 5πx3 Exemplo 3 ut 2 ²ux² 0 x 3 t 0 cc u0t 10 u3t 40 ci ux0 25 Esse problema é igual ao exemplo 2 exceto pelas condições de contorno não homogêneas não dá pra usar MSV Propomos uxt vxt ψx substituindo na EDP uₓ vₓ ψₓ uₓₓ vₓₓ ψₓₓ ut vt EDP vt 2 ²vx² 2 d²ψdx² cc v0t ψ0 10 v3t ψ3 40 ci vx0 ψx 25 PROBLEMA 1 d²ψdx² 0 ψ0 10 ψ3 0 dψdx C₁ ψ C₂ x C₂ cc ψ 10x 1 PROBLEMA 2 vt 2 ²vx² cc v0t v3t 0 ci vx0 25 10x 1 15 10x O problema 2 pode agora ser resolvido pelo MSV A solução final será uxt vxt 10x1 com vxt n1 23 03 1510x sen nπx3 dx e2n²π² t9 sen nπx3 Exemplo 4 a² ut ²ux² K cc u0t uLt 0 ci ux0 fx Solução A EDP é não homogênea não dá para usar MSV Proposição uxt vxt ψx Substituindo na EDP temos a² vt ²vx² d²ψdx² Kx cc v0t ψ0 0 vLt ψL 0 ci vx0 fx ψx PROBLEMA 1 d²ψdx² Kx 0 ψ0 ψL 0 ψ Kx dx dx C₁x C₂ PROBLEMA 2 a² vt ²vx² cc v0t vLt 0 ci vx0 fx ψx MSP EXERCÍCIOS EDPs SOLUÇÃO PELO MÉTODO DA SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS MÉTODO DA SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS SÉRIES DE FOURIER 1 2