Resolucao EDO 2a Ordem Condicoes Contorno - Fisica Matematica

Resolvendo a EDO de 2ª ordem φx λφx 0 0 x L Precisamos das condições de contorno φ0θt φLθt 0 Para evitar soluções triviais temos φ0 φL 0 Buscando agora as soluções gerais em função de λ p λ 0 φx C₁e λ x C₂e λ x Para aplicar as condições de contorno precisamos das derivadas da solução φx λ C₁e λ x λ C₂e λ x Aplicando a primeira condição de contorno φ0 λ C₁e λ 0 λ C₂e λ 0 0 λ C₁ C₂ C₁ C₂ Aplicando a segunda condição de contorno φL λ C₁e λ L λ C₂e λ L φL λ C₁e λ L λ C₁e λ L 0 λ C₁ e λ L e λ L C₁ 0 C₂ p λ 0 φx C₁ C₂ x Derivando φx C₂ Aplicando as condições de contorno C₂ 0 Logo a Solução do PVI fica φx C₁ Primeira solução não trivial para φ Voltando à definição de μxt μxtφxθt Logo μxtCθt Vimos anteriormente que θtCeλβt Como estamos avaliando o caso para λ0 θtC Assim μxtλ0cte pλ0 ϕxC1cosλxC2senλx Derivando ϕxC1λsenλxλC2cosλx Aplicando a primeira condição de contorno 0λC2 C20 Aplicando a segundo condição de contorno 0C1λsenλL Para que C10 precisamos que senλL0 Para isso λnπL2 n1234 Assim temos soluções não triviais na forma ϕxC1cosλx ϕxC1cosnπxL n1234 ϕnxancosnπxL n1234 Voltando à definição de μxt μxtφxθt Da solução da EDO de 1ª ordem temos θtCeλβt Como temos infinitos valores de lambda quando λ0 temos θntbneβnπL2t n1234 Para λ0 temos infinitas soluções na forma unxtancosnπxLbneβnπL2t n1234 Somando todas as soluções não triviais para obter a solução completa uxtc0n1cncosnπxLeβnπL2t