Sistemas de Coordenadas e Equações Diferenciais Parciais - Resumo Completo

Diferentes sistemas de coordenadas coordenadas polares y n senθ x n cosθ n raizx2 y2 θ arctanyx u un 1n uθ u 1n n n μn 1n μθθ u μn μθ 2 u 2 u n2 1n u n 1n2 2 u θ2 coordenadas cilindricas y n senθ x n cosθ z z 0 θ 2π z n 0 n raizx2 y2 u un 1n uθ uz u 1n n n μn 1n μθ θ μz z 2 u 2 u n2 1n u n 1n2 2 u θ2 2 u z2 Digitalizado com CamScanner Coordenadas esféricas 0 θ π 0 ϕ 2π n 0 z n cos θ a n sen θ x a cos ϕ n sen θ cos ϕ y a sen ϕ n sen θ sen ϕ n x2 y2 z2 u un 1n uθ 1n sen θ uϕ u 1n2 n n2 μn 1n sen θ θ μθ sen θ 1n sen θ μϕϕ 2 u 1n2 n n2 un 1n2 sen θ θ sen θ uθ 1n2 sen2 θ 2 uϕ2 2 u 2 un2 2n un 1n2 2 uθ2 cotg θn2 uθ 1n2 sen2 θ 2 uϕ2 ver Bird 880 8627 337 Apêndices A6 A7 B Bird Transport Phenomena 2nd edição ver p 850 Digitalizado com CamScanner Algumas EDPs importantes notação vetorial Equação da onda 2 u t2 α2 2 u Equação da condução do calor u t α 2 u Equação de Laplace 2 u 0 Equação de Poisson 2 u fxy Em coordenadas retangulares ou cartesianas gradiente de u u ux uy uz divergente de u u x y z μx μy μz u μxx μyy μzz Laplaciano de u u x y z ux uy uz 2 u u 2 u x2 2 u y2 2 u z2 Digitalizado com CamScanner Determine a distribuição de temperatura em uma placa plana em regime permanente A placa esquematizada abaixo possui dimensão 0 x a e 0 y b Ao laterais em x0 e xa são mantidas isoladas a base da placa y0 é mantida a 0C enquanto a aresta superior yb possui distribuição de temperatura dada por fx Modelo matemático Equação do calor ut c² ²ux² ²uy² Regime permanente ut 0 uxx uyy 0 Condições de contorno em x0 ux0 em xa ux0 em y0 ux0 0 em yb uxbfx 0 y b 0 x a MSV uxy XxYy uxx XY uxx XY uy XY uyy XY Substituindo na EDP XY XY 0 XX YY λ Duas EDOs X λX 0 com cc em x0 ux0 0 X0 0 em xa uxa 0 Xa 0 y λy 0 com cc em y0 ua0 Y0 0 Para λ0 X 0 X C1 X C1 x C2 cc X00 em Xa0 C1 0 X C2 Y0 Y A1 Y A1 y A2 cc Y00 Y A1 0 A2 0 A2 0 Y A1 y Para λ 0 u0 y com A1 e A2 1 Para λ 0 λ α² X α² X 0 X C1 eαx C2 eαx X α C1 eαx α C2 eαx cc X0 0 α C1 α C2 0 C2 C1 cc Xa 0 α C1 eαa α C1 eαa 0 α C1 eαa eαa 0 C1 0 C2 0 X 0 solução trivial Para λ 0 λ α² X α² X 0 X C1 cos αx C2 sin αx X α C1 sin αx α C2 cos αx cc X0 0 α C2 0 C20 cc Xa0 α C1 sin α a 0 pC1 0 sin α a 0 α a π 2π nπ αn nπa αn nπa n123 λn αn² nπa² n123 Autovalores Assim Xn cos nπxa Autofunções Y λ Y 0 Y α² Y 0 Y C1 cosh α y C2 sinh α y Y C1 cosh nπ ya C2 sinh nπ ya cc Y0 0 C1 0 Y C2 sinh nπ ya Yn sinh nπ ya com C2 1 n 12 un Xn Yn cos nπ xa sinh nπ ya n 123 Pelo princípio da superposição u Σ Cn un C₀ u₀ Σ Cn un uxy C₀ y Σ Cn sinh nπ ya cos nπ xa C₀ C₁ C₂ Cn são parâmetros a determinar Cc uxb fx fx C₀ b Σ Cn sinh nπ ba cos nπ xa bn 0 Comparando com série de Fourier em senos e cossenos Assim fx deve ser substituída por sua extensão por Pfx fx 0 x a fx a x 0 Pfx a02 Σ an cosnπxa an 1a from a to a Pfx cosnπxa dx Como Pf e cos é par an 2a from 0 to a fx cosnπxa dx C0b a02 1a from 0 to a fx dx C0 1ab from 0 to a fx dx n0 Cn sinhnπba an Cn 2asinhnπba from 0 to a fx cosnπxa dx n12 Uxy yab from 0 to a fx dx Σ 2 sinhnπyaasinhnπba from 0 to a fx cosnπxa dx cosnπxa solução particular do problema MSV004 Exemplo Um fio metálico que pode ser considerado um cilindro circular de raio R Tem uma temperatura inicial dada por fr A partir de t 0 a superfície é mantida a 0ºC Encontre a temperatura urt Solução Eq do calor ut α ²u Em coordenadas polares ut α ²ur² 1r ur 1 CC1 rR uRt 0 2 CC2 t0 ur0 fr 3 MSV urt Pr Tt T α λ² T 0 4 r² P r P λ² r² P 0 5 De 4 T C eα λ² t ou simplesmente T eα λ² t De 5 5 é Eq de Bessel de ordem zero Pr C1 J0λr C2 Y0 λr CC lim r0 Y00 C20 CC1 lim rR u0 J0λR 0 λR μn n123 λn μn R μn são as raízes de J0 Autovalores λn² μnR² Autovetores J0λn r n123 Urt Σ n1 to μnrt Σ n1 to An eα μn² t R² J0μn rR 6 C inicial t0 ur0 fr ur0 fr Σ n1 to An J0μn r R 7 fg from 0 to R r fr gr dr r função peso p 160 Eq 277 p 153 Handbook de Formulas e tabelas Um exemplo supondo uma expressão para a função fr Mathematical Handbook of Formulas and Tables Third Edition 2774 xJ0xdx xJ1x 2784 xnJn1xdx xnJnx 2717 Jn1x 2nxJnx Jn1x Graphs of Bessel Functions De 2717 JN1x 2NxJNx JN1x 0 para N1 e x μn J2μn 2μnJ1μn J0μn An 8 μn3 J1μn fr 1 π2 1108 J024048 π 0140 J0552017 0045 J0865371 Solução Completa de 6 μnt Σn1 8μn3 J1μn e2μn2 t J0μn π μnt 1108 J02404 π e11566t 0140 J0552017 e60943t 0045 J0865371 e149773 t restart t4 1 V t J1mu1 1 expt mu12 4 J0r mu1 1 2 f evalf BesselJZeros01 BesselJ10 BesselJZeros012 r e2 BesselJZeros022 r BesselJ0 BesselJZeros022 r BesselJZeros03 BesselJ03 BesselJZeros012 BesselJ0 1108022261 15377159 r 013971803 BesselJ0 240482558r 004547647096 e14977403r BesselJ0 865372791r withplots F plotf r 0 1 style line color blue G plotr V r 0 11 style line linestyle longdash color red displayF G T evalf e2 BesselJZeros012 t BesselJ0 BesselJZeros012 1 4 plot3dT r 0 1 t 0 04 axes boxed shading grayscale lightmodel light2 Zill Cullen v3 FourierLegendre segundafeira 17 de agosto de 2020 0913 Página 1 de FourierLegendre 1x2 d2Θ dx2 2x dΘ dx λΘ 0 1 x 1 Veja o arquivo Equação de Legendrepdf A solução geral de 4 para n 0 1 2 3 é OBS Qnx é em x 1 e em x 1 Página 3 de FourierLegendre Solução da Equação 2 Página 4 de FourierLegendre