EDP-Equacoes-Diferenciais-Parciais-Conceitos-Basicos

EDP Conceitos Básicos Uma equação diferencial parcial EDP é uma equação envolvendo uma ou mais derivadas parciais de uma função desconhecida que chamaremos de u e que depende de duas ou mais variáveis frequentemente o tempo t e uma ou várias variáveis espaciais A ordem da derivada mais alta é chamada de ordem da EDP Como acontece com as EDOs as EDPs de segunda ordem são as mais importantes nas aplicações A ordem de uma EDP é a ordem da mais alta derivada presente na equação A solução de uma EDP é qualquer função que satisfaça a equação A soluçâo geral é uma soluçâo que contém funções arbitrárias em número igual a ordem da EDP Uma soluçâo particular é uma soluçâo que pode ser obtida da solução geral mediante a escolha particular das funções arbitrárias Uma solução singular é uma solução que não pode ser obtida da solução geral nesse caso a EDP deve ser não linear Exemplo dada a EDP ²ux² x ux uxy 0 u xfy fy² é uma solução geral da EDP se fy for definido como fy 2 sen y μ 2x sen y 4 sen² y é uma solução particular u x²4 é uma solução singular da EDP não pode ser obtido da solução geral Equação diferencial parcial linear Se considerarmos u representando a variável dependente e x e y como as variáveis independentes então a forma geral de uma equação diferencial parcial de segunda ordem linear é indicada por A ²ux² B ²uxy C ²uy² D ux E uy F u G 1 A hxx B hxy C hyy D h x E h y F u G onde os coeficientes A B C G são constantes ou funções de x e y Quando Gxy 0 a equação 1 é dita ser homogênea de outro modo ela é não homogênea Por exemplo as equações lineares são importantes EDPs de segunda ordem ²ut² c² ²ux² Equação da onda unidimensional ut c² ²ux² Equação do calor unidimensional ²ux² ²uy² 0 Equação de Laplace bidimensional ²ux² ²uy² fx y Equação de Poisson bidimensional ²ut² c² ²ux² ²uy² Equação da onda bidimensional ²ux² ²uy² ²uz² 0 Equação de Laplace tridimensional Em um contorno podemos especificar um dos seguintes valores i u ii un ou iii un hu h uma constante Aqui un representa a derivada normal de u a derivada direcional de u na direção perpendicular ao contorno Uma condição de contorno do primeiro tipo i é denominada condição de Dirichlet uma condição de contorno do segundo tipo ii é denominada condição de Neumann e uma condição de contorno do terceiro tipo iii é conhecida como condição de Robin TEOREMA Princípio da superposição Se u₁ u₂ uₖ forem soluções de uma equação diferencial parcial linear homogênea então a combinação linear u c₁ u₁ c₂ u₂ cₖ uₖ onde cᵢ i 1 2 k são constantes é também uma solução Por todo o restante da disciplina consideraremos que sempre que tivermos um conjunto infinito u₁ u₂ u₃ de soluções de uma equação linear homogênea podemos ainda construir outra solução u formando a série infinita u ₖ₁ cₖ uₖ onde cₖ k 1 2 são constantes TEOREMA a solução geral de uma EDP linear não homogênea é a soma da solução geral da EDP homogênea correspondente e uma solução particular da EDP não homogênea isto é uxy uₕxy uₚxy EDPs solucionáveis como EDOs Isto ocorre quando uma EDP envolve derivadas em relação a somente uma variável ou quando é possível passar a EDP para essa forma Exemplo 01 Encontre a solução geral da EDP t ²uxt 2 ux 2xt t x ut 2ux 2xt x t ut 2u 2xt t cte d t ut 2u 2xt dx Integrando t ut 2u x² t Ft x cte t dudt 2u x² t Ft dudt 2t u x² Gt sendo Gt Ftt Essa é uma EDO de primeira ordem linear cuja solução é y pxy rx yx eʰ eʰ r dx c h px dx No nosso caso h 2t dt ln t² e eʰ 1t² u 1t² t²x² Gt dt Hx 1t² x² t³3 t² Gt dt Hx u x² t3 1t² t² Gt dt Hxt² Solução u x² t3 Hxt² It Página 3 de EDP Exemplo 2 ²zxy x²y zx0 x² z1y cosy Solução xzy x²y dzy x²ydx y cte integrando em relação ax zy x³y3 Cy dz x³y3 Cydy x cte integrando em relação ay z x³y²6 Cy dy Fx Gy z x³y²6 Gy Fx Solução geral Solução particular Im CC zx0 x² cc z1y cosy zx0 G0 Fx x² Fx x² G0 zy y²6 Gy F1 cosy z1y y²6 Gy 1 G0 cosy Gy cosy y²6 G0 1 substituindo em zxy x³y²6 cosy y²6 G0 1 x² G0 zxy x³y²6 cosy y²6 x² 1 EDPs RESOLUÇÃO PELO MÉTODO DA COMBINAÇÃO DE VARIÁVEIS Uma massa de líquido semiinfinita com ρ e μ constantes é limitada abaixo por uma superfície horizontal o plano xy Inicialmente o fluido e o sólido estão em repouso Então no instante t0 a superfície sólida é posta em movimento no sentido positivo de x com velocidade v₀ Determine a velocidade vₓ como função de y e t O deslocamento é suposto laminar Bird Transport Phenomena 2nd edição Exemplo 411 p 115 Equação do movimento p 848 Solução Equação do movimento para fluidos newtonianos com ρ e μ constantes em coordenadas cartesianas Para a componente vₓ da velocidade ρvₓt vₓvₓx vᵧvₓy vₓvₓz Px μ²vₓx² ²vₓy² ²vₓz² ρgₓ vₓ vₓyt vᵧ 0 vz0 e gₓ0 então ²vₓy² 1ν vₓt ν μρ viscosidade cinemática CC y0 vₓv₀ Φ1 t0 y vₓ0 Φ0 t0 CI t0 vₓ0 Φ0 y 0 ²Φy² 1ν Φt Teorema π de Buckingham método de obtenção de grupos adimensionais e da dependência entre eles O número de produtos adimensionais usados para descrever uma situação envolvendo n variáveis é igual ao número total de variáveis menos o parâmetro inicial de dimensão k seja fy₁ y₂ yₙ 0 y₁ variável Teorema π πᵢ ϕπ₁ π₃ πₙₖ sendo πᵢ grupos adimensionais πᵢ y₁ᵃ y₂ᵇ MᴸOᶦtᶠTᵠ y₁ y₂ ᵃ y₃ ᵇ E método da combinação de variáveis ²Φy² 1ν Φt CC y0 Φ1 t0 y Φ0 t0 CI t0 Φ0 y0 Aplicando o teorema π de Buckingham variáv φ t v e y n 4 dimensões φ 1 t t v L²t y L k2 L e t π nk 42 2 π₁ φ vxv₀ Já definido π₂ ta vb y Relaciona os variáveis independentes π₁ fπ₂ φ fπ₂ determinando π₂ Equação adimensional π₂ tavby L⁰ t⁰ ta L²tb L L 2b 1 0 b 12 t a b 0 a b 12 Assim π₂ t12 v12 y π₂ ytv η φ fη com φ vxv₀ e η ytv substituindo na EDP φt φηηt dφdη η2t φt η2t dφdη ηt y2tt η2t φy dφdη ηy dφdη 1vt 1vt dφdη ²φy² ddη φyηy ddη1vt dφdη 1vt ²φy² 1tv d²φdη² A EDP fica 1tv d²φdη² 1x η2t dφdη d²φdη² η2 dφdη cc ci y0 η0 φ 1 y η φ 0 t0 η φ 0 chamando ψ dφdη dψdη η2 ψ dψψ η2 dη lnψ η²4 cte ψ C₁ eη²4 mas ψ dφdη dφdη C₁ eη²4 dφ C₁ eη²4 dη Integrando mais uma vez dφ C₁ eη²4 dη 1 φ 0 ξ η²4 ξ η2 dξ 12 dη φ1 C₁2 eξ² dξ 0 φ 1 2 C₁ π2 erfξ mas ξ η2 y2vt φ 1 C₁π erfy2vt dado y ou t 0 η e φ 0 assim 0 1 C₁π erf erf 1 C₁ 1π φ 1 erfy2vt ou φ erfcy2vt ou vt v₀ erfcy2vt Função erro erf x Kreyszig 9ª edição v1 p 404 EXERCÍCIOS EDPs 1 Resolva as EDPs a seguir como se fossem EDOs a Encontre a solução geral da EDP ²uy² 4x uy b Encontre a solução geral da EDP x ²zxy zy 0 c Determine a solução particular para o problema do item b para a qual zx0 x⁵ x 68x e z2y 3y⁴