Teoremas e Integrais de Superfície: O Teorema de Green

4 TEOREMAS E INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Nesta unidade estudaremos os mais importantes teoremas de campos vetoriais e as integrais de superfícies começando com o teorema de Green 41 O Teorema de Green considerações preliminares sobre o teorema Nesta parte estudaremos o teorema de Green em homenagem ao matemático inglês George Green que viveu entre os anos 1793 e 1841 Apresentase na Figura 41 uma foto de Green O referido teorema permite estabelecer a relação entre uma integral curvilínea ao longo de uma curva C e uma integral dupla definida em uma região R delimitada pela curva C Figura 41 Ilustração de uma foto de George Green Consideramos inicialmente uma curva C suava no planoxy que admite a parametrização x g t a t b y h t Dizemos que C é Uma curva fechada se para Q1ga ha e Q2 gb hb temos que Q1Q2 Uma curva simples se não se intercepta entre Q1 e Q2 As curvas apresentadas na Figura 42 são exemples de curvas suaves fechadas simples Figura 42 Curvas suaves fechadas simples a Circunferência b Elipse Diremos que uma curva fechada simples C é parcialmente suave se é formada por união finita de curvas Ck das quais quando o parâmetro t percorre o intervalo a b um ponto Tt referente as parametrizações de Ck percorre a curva União C exatamente uma vez Toda curva que satisfaz as condições estabelecidas acima delimita uma região R finita no plano A orientação ou direção positiva de uma curva que delimita uma região R é determinada de tal maneira que quando o ponto Tt percorre a curva C a região R permanece sempre no lado esquerdo conforme mostrado na Figura 43 Figura 43 Orientação de uma curva suave simplesmente fechada na direção positiva Utilizaremos a notação dada por C M x y dx N x y dy para representar uma integral curvilínea ao longo de uma curva fechada simples C uma vez na direção positiva Enunciamos a seguir o teorema de Green Teorema de Green 41 Seja C uma curva fechada simples parcialmente suave e seja R uma região delimitada pela curva C Se M e N são funções escalares contínuas dotadas de derivadas parciais primeiras contínuas em toda região D que contem R então C R M x y dx N x y dy N x y M x y dA x y Demonstração Apropriandonos dos conhecimentos adquiridos nos estudos desenvolvidos na Unidade 1 sobre integrais duplas demonstraremos o teorema de Green para o caso em que R é uma região do planoxy do tipo Rx e do tipo Ry dadas analiticamente por 2 1 2 R x y a x b g x y g x Região do tipo Ry Região do tipo Rx 2 1 2 R x y h y x h y c y d onde yg1x yg2x xh1y e xh2y são equações de curvas suaves Para concluirmos a demonstração desse teorema é suficiente então provarmos que cada uma das relações Eq1 e Eq2 é verdadeira Pois a adição membro a membro dessas equações resulta na igualdade apresentada no enunciado do teorema de Green C R M x y dx y M x y dA Eq1 C R N x y dy x N x y dA Eq2 Para provarmos a relação identificada por Eq1 observamos o resultado apresentado na Figura 44 a onde a curva C é constituída pela união da C1 e C2 de equações 1 y g x e 2 y g x respectivamente Assim a integral curvilínea C M x y dx pode ser reescrita por R C Figura 44 Visualização das regiões do tipo Rx e Ry no registro gráfico a Região do tipo Rx b Região do tipo Ry 1 2 C C C M x y dx M x y dx M x y dx Sabendose que 1 y g x e 2 y g x temos ATENÇÃO Essa seta indica o resultado apresentado na linha seguinte à esquerda e não a explicação abaixo desta e assim sucessivamente 1 2 b a C a b M x y dx M x g x dx M x g x dx Aplicando a propriedade de inversão da ordem de integração na segunda integral obtemos 1 2 b b a a M x g x dx M x g x dx Em seguida podemos desenvolver o segundo membro da Eq1 e comparar o resultado com esse obtido até aqui Assim de Eq1 temos ainda que R y M x y dA Considerando ainda a região R indicada na Figura 43 obtemos 2 1 b g x R a g x M x y dA M x y dydx y y Calculando a primitiva do integrando lembrando que a integral da derivada de uma função é a própria função assim como aplicando a 2a parte do TFC obtemos 2 1 b g x g x a M x y dx Desenvolvendo a aplicação do TFC obtemos o seguinte resultado 2 1 b a M x g x M x g x dx Multiplicando cada membro desse resultado por 1 e comparando com aquele obtido no tratamento de C M x y dx acima concluise que C R M x y dx y M x y dA cqd Procedese de maneira análoga para provar a validade da relação que identificamos por Eq2 provandose portanto o teorema de Green para o caso de regiões conexas delimitadas por curvas suaves simplesmente fechadas O Teorema de Green pode ser estendido para o caso em que R é uma reunião finita de regiões conexas Além disso a partir desse teorema podese estabelecer uma técnica ou fórmula para calcular a área de uma região delimitada por uma curva fechada C simplesmente suave enunciandose assim o seguinte teorema Teorema sobre o cálculo de Áreas de regiões planas finitas 42 Seja uma região R é delimitada por uma curva fechada simples parcialmente suave C então a área A da região R é calculada por 1 2 C C C A xdy ydx xd y ydx Para obter as três fórmulas apresentadas no teorema foram suficientes a partir do teorema de Green considerar primeiro Mxy0 e Nxyx obtendose assim C R xdy dA Eq3 Além disso fazendo Mxyy e Nxy0 obtendose assim C R ydx dA Eq4 Adicionando as expressões de Eq3 e Eq4 membro a membro temse 2 C C R xdy ydx dA Ou equivalentemente 1 2 C C R xdy ydx dA Ou ainda 1 2 C R xdy ydx dA Eq5 Tanto em Eq3 quanto em Eq4 e Eq5 a integral dupla obtida no segundo membro representa a área A da região justificandose assim as três fórmulas apresentadas no Teorema 42 Assim termina a apresentação do bloco tecnológicoteórico referente ao Teorema de Green passando a título de treinamento ao bloco práxis T propondo as tarefas que enunciamos a seguir 42 Do bloco logos da seção 31 ao bloco práxis exemplo e exercícios propostos GERADOR DE TAREFAS 1 GT1 Considerar o campo vetorial dado por 2 2 2 i j F x y x y xy a curva fechada C definida por crivos de curvas das equações dadas por 2 y x e y x para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação considerada na GT1 cuja curva contém um crivo de C t2 Representar a curva C no registro gráfico utilizando o resultado obtido na realização de t1 de GT1 e indicar a sua orientação t3 Aplicar o teorema de Green para calcular a integral curvilínea do campo F fornecido em GT1 ao longo da curva fechada C utilizando assim uma Integral Dupla sobre R St4 Aplicar uma integral para calcular a área da região R delimitada pela curva C Resolução da t1 do GT1 Para realizar essa tarefa é suficiente afirmarmos que y x2 é a equação da curva denominada parábola com vértice na origem do sistema de coordenadas cartesianas plano côncava para cima ao longo do eixoy Ao passo que y x é a equação da reta denominada bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante do referido sistema Resolução da t2 do GT1 Para realizar esta tarefa isto é representar a curva C no registro gráfico devemos inicialmente conceber que a mesma é formada por união de crivos das curvas descritas na realização da t1 de GT1 e aplicar as seguintes técnicas 1 Introduzir um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal plano 2 Representar as curvas descritas na realização de t1 de GT1 3 Determinar os pontos de interseção das duas curvas traçadas na aplicação da 2 4 Destacar os crivos das duas curvas que definem uma curva fechada C 5 Indicar a orientação da curva C no mesmo resultado obtido na realização de t1 de GT1 Aplicando essas técnicas temos o resultado apresentado na Figura 45 Figura 45 Visualização da região R e da curva C no registro gráfico Resolução da t3 do GT1 Para realizar essa tarefa isto é aplicar o teorema de Green para calcular a integral curvilínea da função vetorial fornecida no GT1 ao longo da curva fechada C podemos considerar as seguintes técnicas 1 Calcular os pontos de interseção das curvas que delimitam R para obter os extremos de x e de y 2 Representar a região R analiticamente no registro algébrico identificandose assim os limites de integração da função de duas variáveis de expressão dada por N x y M x y x y sobre R 3 Identificar as funções Mxy e Nxy na função campo F fornecida na GT1 4 Calcular a derivada parcial primeira de M em relação a y isto é y M x y e a derivada parcial primeira de N em relação a x isto é x N x y 5 Estabelecer a integral curvilínea da função vetorial ao longo da curva C em conformidade com o teorema de Green isto é C R M x y dx N x y dy N x y M x y dA x y 6 Proceder com o cálculo da integral dupla conservando a integral curvilínea no primeiro membro explicando cada etapa do desenvolvimento dos cálculos na Língua Materna Aplicando essas técnicas temos da 1 que 2 2 0 1 0 y y x x x x x x Logo tem se que x0 ou x1 Seguese portanto que os crivos de curvas que delimitam R tem extremidade nos pontos 00 e 11 Assim aplicando essas técnicas temos da t2 que R em concordancia com o resultado apresentado na Figura 44 e encarando R como regiao do tipo Ry temos a seguinte representagao analitica de R R y R30 212 y a Aplicando a técnica t3 temos que Mxy y NQy ay Seguese pela técnica t4 que 0 O a May2y Nwyy oy Ox Aplicando a técnica t5 temos 2 2 2 pl et 2 p x y dx xy dy J J y 2y dydx Assim pela técnica t6 procedemos como segue x Calculando a primitiva de y 2yem relacdo ay 2 2 2 f 2 ee aC ie J J v 2y dvdr e aplicando a 2 parte do TFC temos 1 y e Desenvolvendo a aplicagao do TFC obtemos o 2 y ad b i 3 seguinte resultado J gxdx Gb Ga f eo x4 Realizando o devido tratamento algébrico do J x x Jldx 0 3 3 integrando obtemos 0 seguinte resultado i if xe 4 Calculando a primitiva do integrando em relaga4o a J 3 txt 3 dx x e aplicando a 2 parte do TFC temos x x x 1 Desenvolvendo a aplicagéo do TFC obtemos o b 215 12 34 seguinte resultado gxdx Gb Ga t 11 1 Determinando o mmc de 21 5 12 3 e realizando o 15 12 3 devido tratamento numérico obtemos 760 252 105 420 Operando com o numerador obtemos 1260 123 Multiplicando o numerador e 0 denominador por 1260 um sobre trés obremos Que é o resultado da integral curvilinea de F ao 4t longo da curva fechada simples C Isto é 420 5 24 24 41 f 2 yde Ceydy 55 Resolucao da t4 do GT1 Para realizarmos esta tarefa isto 6 aplicar uma integral curvilinea para calcular a area da regiao R delimitada pela curva C podemos aplicar as seguintes técnicas t t1 Utilizar uma das seguintes integrais A xdy 1 5 p xdy ydx t2 Proceder com o calculo da integral escolhida explicando cada etapa do desenvolvimento dos calculos Aplicando a técnica t1 digamos que a ultima integral seja escolhida Nesse caso temos Considerando as curvas Cl e C2 na Figura 44 r r 12 A yde onde Cl 0 crivo da parabola de equacao y x xdy ydx J Cl xdy yar J c2 xdy yabx sendo dy2xdx e C2 0 crivo da reta de equagao y x sendo dy dx obtemos lp 2 1 po 0 x2xdvxde xdxxde Como xdx xd 0 temos 200 cl 201 C2 1 5 2a sar f Pde Calculando a primitiva de xem relacdo a x e 20 ca 2 aplicando a 2 parte do TFC temos p 1 x Desenvolvendo a aplicagao do TFC obtemos o 2 3 seguinte resultado fP gddx Gb Ga 1J 1 0 1 Logo a area da regiao R representada na Figura 44 213 6 6 4 Vo ua Considerando os saberes desenvolvidos nessa secao é possivel o estudante realizar as tarefas propostas a seguir como mecanismo de treinamento favorecendo por conseguinte o processo de consolidacgao de seus conhecimentos cobre o assunto trabalhado no bloco logos EXERCICIOS PROPOSTOS GERADOR DE TAREFAS 2 Fe 2 2 GT2 Considerar o campo vetorial dado por Fx y xy i1 x j acurva P P 3 fechada C definida por crivos de curvas de equacdes dadas por Y X e 2 P y X para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na lingua materna cada equacao considerada na GT2 cuja curva contém um crivo de C t2 Representar a curva C no registro grafico utilizando o resultado obtido na realizagao de tl de GT2 e indicar a sua orientaao t3 Aplicar o teorema de Green para calcular a integral curvilinea do campo F fomecido na GT2 ao longo da curva fechada C utilizando assim uma Integral Dupla sobre R t4 Aplicar uma integral curvilinea para calcular a area da regido R delimitada pela curva C GERADOR DE TAREFAS 3 2 GT3 Considerar 0 campo vetorial dado por Fx yxyixyj a curva fechada C que consiste na fronteira da regiao R compreendida entre as curvas de ms 2 2 P equacoes dadas por X y 9 e xy 16 para realizar todas as tarefas propostas na GT2 GERADOR DE TAREFAS 4 a 2 2 242 GT4 Considerar 0 campo vetorial dado por Fx y y x ix y j a curva fechada C que consiste na fronteira da regiao R delimitada pelas curvas de equacdes dadas por y 0 x 3 e Y X para todas as tarefas propostas na GT2 Passamos a seguir para o estudo de integrais de superficie