Integrais Triplas: Estruturas e Representações

1 Prof Dr Afonso HENRIQUES Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Área de Matemática Cálculo Diferencial e Integral III Integrais Triplas Aula 1 2 GT1 Considerar uma função f qualquer de três variáveis x y e z definida em um espaço tridimensional finito Q para realizar as seguintes tarefas t1 Fornecer em quantidade os grupos de espaços tridimensionais de integração da função f t2 Fornecer em quantidade as possibilidades de representar a integral tripla de f sobre o espaço Q t3 Representar o espaço Q em cada uma das possibilidades analiticamente no registro algébrico t4 Representar o espaço Q em cada uma das possibilidades no registro gráfico t5 Representar a integral tripla de f em cada uma dessas possibilidades Resolução No momento assíncrona que realizaram o estudo sobre Integrais triplas aprenderam que Com exceção dos casos elementares é praticamente impossível achar o valor de uma integral tripla diretamente a partir dessa definição Todavia a integral tripla pode ser calculada por meio de três integrais sucessíveis cada uma delas envolvendo apenas uma variável encarando as outras como constantes temporárias como procedemos com o caso das integrais duplas Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 3 Assim para responder a t1 podemos afirmar de maneira análoga às ID que existem apenas dois grupos de domínios de integração triplas de f 1 Q é um espaço paralelepipédico 2 Q é um espaço qualquer Cada grupo desses espaços favorece seis possibilidades de representar a integral tripla de uma função f em Q respondendo assim a t2 3 Q x y z R a x b c y d m z n 1 Q é um espaço paralelepipédico No primeiro grupo todas as seis possibilidades têm a mesma representação analítica no registro algébrico dada por No segundo grupo as seis possibilidades são reagrupados em três subgrupos em conformidade com o plano coordenado de referência para a projeção ortogonal do sólido espeço tridimensional Q em que a b c d m e n assumem valores reais A diferença está na escolha da ordem de integração n d b Q m c a f x y z dV f x y z dx dy dz x y z 3 1 2 e Q x y z R x y R k x y z k x y 2 Q é um espaço qualquer Se R é uma região do tipo Rx ou Ry e k1 k2 funções de duas variáveis contínuas em R e que R seja a referida projeção ortogonal do sólido Q no planoxy Então Assim temse duas possibilidades de representar a integral de f sobre o espeço tridimensional Q Integrais Triplas Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 4 3 1 2 e Q x y z R x y R k x y z k x y 2 2 1 1 b g x k x y Q a g x k x y f x y z dV f x y z dzdydx Se R é uma região do tipo Rx 2 2 1 1 d h y k x y Q c h y k x y f x y z dV f x y z dzdxdy Se R é uma região do tipo Ry 3 1 2 e Q x y z R x y R k x y z k x y 1 z k x y 1 z k x y z 2 k x y z 2 k x y 3 Q x y z R a x b c y d m z n Se fx y z 1 em todo espaço tridimensional Q então a integral tripla de f sobre Q calcula o volume de Q QdV Integrais Triplas Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 5 Integrais Triplas Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 6 GT2 Considerar o espaço tridimensional Q delimitado pelos crivos restritos de superfícies de equações dadas por x1 x 1 y 3 y4 z0 e z2 bem como a função fxyzxy2 yz3 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever o espaço tridimensional Q na Língua Materna t2 Representar o espaço tridimensional Q no Registro Gráfico t3 Representar o espaço tridimensional Q analiticamente no Registro Algébrico t4 Calcular a integral tripla de f sobre o espaço tridimensional Q Resolução da t1 Para realizar essa tarefa é suficiente afirmar que Q é o espaço tridimensional delimitado por crivos restritos de seis superfícies planas duas a duas paralelas aos planos coordenados e entre si não coincidentes As referidas planas são definidas pelas equações dadas por x1 x 1 y 3 y4 z0 e z2 cartesianas tridimensional e traçar os crivos das superfícies de equações fornecidas na t1 Podemos também utilizar o Maple Resolução da t2 Para realizar esta tarefa isto é representar espaço tridimensional Q no registro gráfico devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas a b c d a plot3d1 y z 1 y z y 3 4 z 0 2 color blue b plot3dx 3 z x 4 z x 1 1 z 0 2 color green c plot3dx y 0 x y 2 x 1 1 y 3 4 color yellow d display Integrais Triplas Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 7 Resolução da t3 Resolução da t5 Para realizar esta tarefa isto é representar o sólido Q analiticamente devemos lembrar a notação ou a representação analítica padrão de um espaço tridimensional Q Isto é 3 Q x y z R a x b c y d m z n 3 1 1 3 4 0 2 Q x y z R x y z Assim da Figura d assim como pelo enunciado de T é fácil vermos que a b c d m e n assumem os valores 1 1 3 4 0 e 2 respectivamente Utilizando essa representação analítica e fazendo a escolha de projeção de Q sobre um plano coordenado podemos estabelecer a seguinte integral Integrais Triplas Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 8 Densidade de massa e massa de um sólido Aula 1 GT3 Considerar um sólido Q delimitado por crivos restritos de superfícies de equações dadas por 𝑥2 𝑦2 𝑎2 𝑧 0 e 𝑧 ℎ onde a e h são números positivos para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever o sólido Q na Língua Materna t2 Representar o sólido Q no Registro Gráfico t3 Representar o sólido Q analiticamente no Registro Algébrico t4 Determinar a massa do sólido Q se a densidade em um ponto P de Q é diretamente proporcional à distância do ponto P à uma das bases de Q Resolução da t1 Para realizar essa tarefa devemos lembrar que 𝑥2 𝑦2 𝑎2 é a equação de uma superfície cilíndrica de raio a ao longo do eixoz 𝑧 0 e 𝑧 ℎ são equações de superfícies planas paralelas ao planoxy passando nos pontos 00 0 e 00h Logo podemos afirmar que Q é crivo de cilindro de raio a e altura h Resolução da t2 Para realizar essa tarefa isto é representar o sólido Q no Registro Gráfico podemos utilizar o software GeoGebra para termos uma boa visualização como mostrado na Figura Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 9 Resolução da t3 Para realizar esta tarefa isto é representar o sólido Q analiticamente podemos utilizar as coordenadas polares para representar a base do cilindro e notação do sólido Q Assim como base é circular de raio a temos 2 0 0 2 R r R r a Assim como o cilindro tem altura h temos a seguinte representação analítica de Q 3 0 Q r z R r R z h Resolução da t4 Para realizar esta tarefa isto é determinar a massa do sólido Q se a densidade em um ponto P de Q é diretamente proporcional à distância do ponto P à uma das bases de Q devemos inicialmente explicitar a expressão da referida distância Assim escolhendo a base do cilindro contida na superfície de equação z 0 isto é o planoxy temos que a distância do ponto P a essa base é 𝒅 𝑷 𝑷𝒙𝒚 𝒛 Logo a densidade em um ponto P isto é 𝛿𝑥 𝑦 𝑧 é 𝜹 𝒙 𝒚 𝒛 𝒌 𝒅 𝑷 𝑷𝒙𝒚 𝜹 𝒙 𝒚 𝒛 𝒌 𝒛 No momento assíncrona aprenderam que a massa m de um sólido nãohomogêneo é calculada aplicandose a seguinte integrais triplas 𝒎 ම 𝑸 𝜹𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝑽 Densidade de massa e massa de um sólido Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 10 Utilizando essa técnica 𝒎 ම 𝑸 𝜹𝒙 𝒚 𝒛 𝒅𝑽 e os resultados obtidos na realização das tarefas anteriores podemos estabelecer a seguinte integral 𝒎 න 𝟎 𝒉 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟎 𝒂 𝒌𝒛𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽𝒅𝒛 Calculando a primitiva de 𝒌𝒛𝒓 em relação a 𝒓 e aplicando a 2a parte do TFC temos 𝒎 න 𝟎 𝒉 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒌𝒛 𝒓𝟐 𝟐 𝟎 𝒂 𝒅𝜽𝒅𝒛 Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝒎 න 𝟎 𝒉 න 𝟎 𝟐𝝅 𝒌𝒛 𝒂𝟐 𝟐 𝒅𝜽𝒅𝒛 Calculando a primitiva de 𝒌𝒛 𝒂𝟐 𝟐 em relação a 𝜽 e aplicando a 2a parte do TFC temos 𝒎 න 𝟎 𝒉 𝒌𝒛 𝒂𝟐 𝟐 𝜽 𝟎 𝟐𝝅 𝒅𝒛 Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝒎 න 𝟎 𝒉 𝒌𝒛𝒂𝟐𝝅𝒅𝒛 Calculando a primitiva de 𝒌𝒛𝒂𝟐𝝅 em relação a 𝒛 e aplicando a 2a parte do TFC temos 𝒎 𝒌𝒂𝟐𝝅 𝒛𝟐 𝟐 𝟎 𝒉 Desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝒎 𝒉𝟐𝒂𝟐 𝟐 𝒌𝝅 Que é a massa do sólido Q Densidade de massa e massa de um sólido Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 2 Integrais Triplas 11 É APENAS UM NOVO COMEÇO Minha frase usual no final de cada apresentação que eu faço Afonso Henriques FIM NÃO É O FIM