Introdução às Integrais Definidas e Duplas

1 Prof Dr Afonso HENRIQUES Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Área de Matemática Cálculo Diferencial e Integral III Introdução um lembrete sobre as integrais definidas de funções reais de uma variável Aula 2 2 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas Seja f é uma função real de uma variável real contínua em um intervalo fechado a b A integral definida de f neste intervalo é dada por Definição 1 Esta integral foi obtida no Cálculo I aplicandose os quatro passos seguintes Se f é não negativa no intervalo a b então a soma de Riemann considerada no item 3 é uma soma de medidas de áreas de regiões retangulares Essa soma tende para a medida de área da região sob o gráfico de f no intervalo a b Se existe o limite da soma de Riemann quando a Ƥ 0 obtemos a integral definida dada na Definição 1 ou seja Se fx 0 em a b então o valor desta integral é a medida da área exata da região sob o gráfico da função f nesse intervalo Dizemos então que a integral é limite da soma No registro gráfico temos Visualização da partição e da região sob o gráfico da função f Analogia com integrais simples Aula 2 3 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas De maneira análoga consideramos uma função f de duas variáveis definida em uma região retangular R do planoxy dada analiticamente no registro algébrico por No registro gráfico temos a seguinte representação possível de R x y Figura 2 Figura 3 Representa da região R no espaço tridimensional Figura 4 Crivo do gráfico de f sobre R O espaço tridimensional compreendido entre S e R é um sólido Q sob o gráfico de f e sobre a região R dado analiticamente no registro algébrico por R Figura 5 Figura 6 Analogia com integrais simples Aula 2 4 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas O primeiro passo Decompor a região R em subregiões retangulares x y Figura 7 R Figura 8 S R Figura 9 Quarto passo limite da soma Figura 10 Quarto passo forma a soma de Riemann desde que o limita exista Integrais Duplas Aula 2 5 GT1 Considerar uma função f qualquer de duas variáveis x e y definida em uma região finita R do planoxy para realizar as seguintes tarefas t1 Fornecer em quantidade os grupos de regiões de integração da função t2 Fornecer em quantidade as possibilidades de representar a integral de f sobre a região R t3 Representar a região R em cada uma das possibilidades analiticamente no registro algébrico t4 Representar a região R em cada uma das possibilidades no registro gráfico t5 Representar a integral de f em cada uma dessas possibilidades Resolução No momento assíncrono que realizaram o estudo sobre Integrais duplas e com base nos slides anteriores aprendemos que Com exceção dos casos elementares é praticamente impossível achar o valor de uma integral dupla diretamente a partir dessa definição Todavia a integral dupla pode ser calculada por meio de duas integrais sucessivas cada uma delas envolvendo apenas uma variável encarando a outra como constante temporária analogamente ao processo de cálculo das derivadas parciais embora com operações diferentes Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 6 Assim para responder a t1 devemos afirmar que existem apenas dois grupos de regiões de integração dupla para uma função fxy Integrais Duplas Aula 2 1 R é uma região retangular 2 R é uma região qualquer Cada grupo dessas regiões favorece apenas duas possibilidades de representar a integral dupla de uma função f sobre R respondendo assim a t2 1 Região do tipo Rx 2 Região do tipo Ry t3 Representação analítica de cada tipo de região retangular a b c d y x Respondendo assim a t4 1 y g x 2 y g x 1 x h y 2 x h y Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 7 Integrais Duplas Aula 2 t5 Representação da integral de f em cada grupo e tipo de região Regiões retangular Regiões qualquer Região do tipo Ry Região do tipo Rx Teorema de Funini Se f for contínua em R então a integral dupla de f sobre a região do tipo Rx é igual a sobre a região do tipo Ry e vice versa Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 8 Integrais Duplas Aula 2 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 9 GT2 t1 Descrever a região R na Língua Materna t2 Representar a região R no Registro Gráfico t3 Representar a região R analiticamente no Registro Algébrico t4 Representar no Registro Gráfico o sólido Q delimitado pela região R pelo gráfico de f e pela superfície emanada de R ao gráfico de f Obs Utilizar um CAS caso necessário t5 Calcular a integral dupla de f sobre a região R Resolução da t1 Para realizar essa tarefa é suficiente afirmar que R é uma região retangular delimitada por crivos de retas duas a duas paralelas aos eixos coordenados e não coincidentes Os referidos crivos têm extremidades nos pontos 1 1 1 2 4 2 e 4 1 do planoxy Integrais Duplas Aula 2 Para realizar essa tarefa isto é representar a região R no registro gráfico devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas plano traçar os crivos de retas de equações fornecidas na t1 ou simplesmente identificar no plano os pontos revelados na realização da St1 e unilos com os referidos crivos Procedendo deste modo tem se o resultado apresentado na Figura 26 Resolução da t2 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 10 Resolução da t3 Para realizar esta subtarefa isto é representar a região R analiticamente devemos lembrar a representação analítica padrão de uma região R retangular qualquer no registro algébrico dada por Integrais Duplas Aula 2 Resolução da t4 Resolução da t5 Não é evidente representarmos a função 2 2 6 f x y x x y no registro gráfico com técnicas do ambiente Papellápis Mas Computacional Para realizar esta tarefa devemos inicialmente estabelecer a integral dupla e em seguida proceder com os cálculos por integração sucessiva Pelo teorema de Fubini a ordem de integração é irrelevante Assim podemos obter a seguinte representação da integral no registro algébrico e proceder com os cálculos necessários explicando cada etapa Calculando a primitiva do integrando em relação a y e aplicando a 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo TFC temos Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas vista no bloco logos Assim da resolução da T2 temos que 11 Integrais Duplas Aula 2 Resolução da t5 Continuação Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos Realizando o tratamento algébrico do integrando na variável x temos Calculando a primitiva do integrando em relação a x e aplicando a 2a parte do TFC temos Substituindo convenientemente os limites de x isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos Desenvolvendo a potenciação e colocando o número 3 em evidência temos Subtraindo o número 2 de 64 temos Adicionando os numéricos 16 e 64 temos Multiplicando os números 3 e 78 temos Que é o valor numérico da Integral Dupla da função f sobre R Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 12 Unidade 1 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso HENRIQUES AULA 2 FIM