Relações entre Coordenadas Cartesianas e Polares em Cálculo Diferencial e Integral III

1 Prof Dr Afonso HENRIQUES Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Área de Matemática Cálculo Diferencial e Integral III 2 GT1 Considerar as coordenadas cartesianas x y e as coordenadas polares r de um ponto P do plano para realizar as seguintes tarefas t1 Representar os pontos x y e r nos seus respectivos sistemas de coordenadas no registro gráfico t2 Representar no registro algébrico as relações entre as coordenadas de um ponto P do plano consideradas na realização da t1 Coordenadas Polares Aula 4 Resolução O objetivo do GT1 é compreender as relações existentes entre as coordenadas cartesianas e polares de um ponto P do plano Acompanhemos a seguir a resolução de cada uma dessas tarefas Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas Coordenadas Polares Aula 4 3 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝒚 𝒓 Fig1 SCC Plano Fig2 SCP Da Fig3 considerando 0r 02 e pela trigonometria podemos extrair as relações expressas no registro algébrico por 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒙 𝒓 𝒙 𝒓𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒚 𝐫𝐬𝐢𝐧 𝜽 com 0r 02 Fig3 SCC x SCP EixoPolar 𝐏 𝒓 𝜽 𝜽 𝒓 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos θ r cos θ sen θ sen θ x r x y y r Além disso 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝒓𝟐 𝒙 𝒓𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒚 𝐫𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝒓𝟐 Assim dizemos que as coordenadas cartesianas xy e as coordenadas polares r de um ponto P do plano estão relacionadas segundo as equações 0 r 0 2 Além disso temse 𝒕𝒈 𝜽 𝒚 𝒙 𝒙 𝟎 y x x y Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 4 GT2 Considerar as curvas de equações dadas por 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟐𝟓 e a função f de duas variáveis dada por 𝒇 𝒙 𝒚 𝟓 𝒙𝟐 𝒚𝟐 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação e a função fornecidas no gerador tarefas GT2 t2 Representar no registro gráfico a região R do plano delimitada por crivos restritos de curvas de equações dadas no GT2 t3 Descrever na língua materna a região R obtida na realização de t2 t4 Representar no registro gráfico o espaço tridimensional sólido Q delimitado inferiormente pela região R superiormente por crivo restrito do gráfico da função f e lateralmente pelas superfícies emanadas da fronteira de R ao crio restrito do gráfico de f t5 Representar a região R analiticamente no registro algébrico t6 Calcular a medida da área da região R t7 Calcular a medida do volume do sólido Q Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 4 Resolução De forma análoga a GT1 acompanhemos a seguir a resolução de cada uma dessas tarefas Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 4 Resolução Para realizarmos a t1 devemos lembrar que ambas equações 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 e 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟐𝟓 são casos particulares da equação geral de uma circunferência de raio 𝒂 centrada em um ponto 𝒙𝟏 𝒚𝟐 dada por 𝒙 𝒙𝟏𝟐𝒚 𝒚𝟏𝟐𝒂𝟐 Assim podemos afirmar que 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 e 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟐𝟓 são equações de circunferências sendo a primeira de raio 𝟏 e a segunda de 𝟓 centradas na origem do sistema de coordenadas Para realizarmos a t2 devemos introduzir um sistema de coordenadas cartesiana no plano e traçarmos cada circunferência em conformidade com a descrição apresentada na realização da t1 Procedendo dessa forma obtemos o resultado apresentado na Figura 4 1 5 y x Figura 4 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐𝟐𝟓 Para realizarmos a t3 isto é descrever na língua materna a região R obtida na realização de t2 é suficiente afirmarmos que R é um anel circular compreendido entre a circunferência de raio 1 e a de raio 5 centradas na origem Para realizarmos a t4 podemos utilizar as técnicas do ambiente papellápis como também do ambiente computacional Mobilizando esse últimos em especial o software Maple temos Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 6 Para realizarmos a t6 É importante lembrarem que na aula anterior e no momento assíncrona que realizaram o estudo sobre Integrais duplas tanto em coordenadas cartesianas quanto coordenadas polares aprenderam que Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 4 Se f é uma constante igual a um isto é 𝑓 𝑥 𝑦 1 ou 𝑓 𝑟 𝜃 1 respectivamente então ඵ 𝑹 𝒅𝑨 ඵ 𝑹 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝑨 ඵ 𝑹 𝒅𝑨 ඵ 𝑹 𝒇 𝒓 𝜽 𝒅𝑨 ou Calcula da medida a área da região R Para realizarmos a t5 Isto é representar a região R analiticamente no registro algébrico observamos primeiro o caso a equação 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas Integral dupla sobre região polar qualquer Integral dupla sobre região polar trivial Assim para calcular a medida da área da região R em coordenadas polares podemos estabelecer a seguinte integral 7 𝟐𝟒𝝅 Que é a área da região R ඵ 𝑹 𝒅𝑨 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟏 𝟓 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 Calculando a primitiva de r em relação a r e aplicando a 2ª parte do TFC temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝒓𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝒅𝜽 Desenvolvendo a aplicação do TFC temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝟓𝟐 𝟐 𝟏𝟐 𝟐 𝒅𝜽 Realizando o devido tratamento numérico do integrando temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝟏𝟐 𝒅𝜽 Calculando a primitiva de 12 em relação a e aplicando a 2ª parte do TFC temos Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 4 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 8 Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 6 Isto é calcular a medida do volume do sólido Q em coordenadas polares estabelecemos a seguinte integral 𝟒𝟑𝟐𝝅 Que é o volume do sólido Q ඵ 𝑹 𝒇𝒓 𝜽𝒅𝑨 න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟏 𝟓 𝒓 𝟓 𝒓𝟐 𝒅𝒓𝒅𝜽 Calculando a primitiva de 𝟓𝒓 𝒓𝟑 em relação a r e aplicando a 2ª parte do TFC temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝟓𝒓𝟐 𝟐 𝒓𝟒 𝟒 𝟏 𝟓 𝒅𝜽 Desenvolvendo a aplicação do TFC temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝟓𝟑 𝟐 𝟓𝟒 𝟒 𝟓 𝟐 𝟏 𝟒 𝒅𝜽 Realizando o devido tratamento numérico do integrando temos න 𝟎 𝟐𝝅 𝟐𝟏𝟔 𝒅𝜽 Calculando a primitiva de 126 em relação a e aplicando a 2ª parte do TFC temos න 𝟎 𝟐𝝅 න 𝟏 𝟓 𝒓 𝟓 𝒓𝟐 𝒅𝒓𝒅𝜽 𝟒𝟑𝟐𝝅 Q Q Para realizarmos a t7 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 9 GT3 Considerar a região R exterior a curva de equação 𝒓 𝒂 com 𝟎 𝐚 ℝ e interior a curva de equação 𝒓 𝒂𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽 bem como a função 𝒇 𝒓 𝜽 𝟒 𝒔𝒆𝒏𝜽 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever na língua materna cada equação cujo crivo é fronteira da região R indicada no GT3 t2 Representar a região R no registro gráfico t3 Representar a região R analiticamente no registro algébrico t4 Aplicar uma integral em coordenadas polares para calcular a área da região R t5 Representar no registro gráfico o espaço tridimensional sólido Q delimitado inferiormente pela região R superiormente por crivo restrito do gráfico da função f e lateralmente pelas superfícies emanadas da fronteira de R ao crivo restrito do gráfico de f t6 Calcular a integral de f sobre a região R explicando cada etapa Integrais duplas em Coordenadas Polares Aula 4 Resolução Atividade para os alunos realizarem durante a aula síncrona ou assíncrona Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 10 É APENAS UM NOVO COMEÇO Minha frase usual no final de cada apresentação que eu faço Prof Afonso Henriques FIM NÃO É O FIM