Análise de Regiões Planas e Integrais Duplas em Cálculo III

1 Prof Dr Afonso HENRIQUES Universidade Estadual de Santa Cruz UESC Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Área de Matemática Cálculo Diferencial e Integral III 2 GT1 Considerar as regiões planas apresentadas na Figura 1 para realizar as seguintes tarefas t1 Decidir sobre o tipo de cada região apresentada nessa Figura t2 Justificar a sua decisão na Língua Materna Resolução da t1 Para realizar essa tarefa é suficiente afirmar que a R1 é uma região retangular logo é do tipo Rx e Ry b R2 é uma qualquer delimitada por crivo de duas curvas uma aparentemente parábola e a outra uma reta paralela ao eixox Tratase portanto de uma região do tipo Rx e não do Ry c Ao passo que R3 é uma região também qualquer e poligonal delimitada por crivos de retas não paralelas aos eixos coordenados não sendo nem do tipo Rx e nem do tipo Ry Para realizar essa tarefa devemos observar que R1 é uma região do tipo 1 Rx porque toda reta paralela ao eixoy toca a fronteira inferior e a superior da região em um único ponto cada 2 Ry porque toda reta paralela ao eixox toca a fronteira esquerda e a direita da região em um único ponto cada Resolução da t2 Integrais duplas análise de tipos de regiões de integração Aula 3 R1 R2 R3 Figura 1 Regiões planas R2 é uma região do tipo 1 Rx porque toda reta paralela ao eixoy toca a fronteira inferior e a superior da região em um único ponto cada R2 não é uma região do tipo 2 Ry porque toda reta paralela ao eixox toca a fronteira da região em dois ponto do mesmo crivo R3 não é uma região do tipo 1 Rx porque toda reta paralela ao eixoy muda de fronteira inferior e a superior da região para x compreendido entre x mínimo e máximo dos pontos de R3 2 Idem para Ry não o é Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 3 GT2 Considerar a região R do planoxy delimitada pelos crivos de curvas de equações dadas por 𝒚 𝒙𝟐 𝒚 𝟖 𝒙𝟐 bem como a função 𝒇 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 para realizar as seguintes subtarefas t1 Descrever cada equação considerada no GT2 na Língua Materna t2 Representar a região R no Registro Gráfico t3 Representar a região R analiticamente no Registro Algébrico t4 Representar no Registro Gráfico o sólido Q delimitado inferiormente pela região R superiormente por um crivo de gráfico de f e lateralmente pela superfície emanada de R ao gráfico de f Obs Utilizar um CAS caso necessário t5 Calcular a integral dupla de f sobre a região R Resolução da t1 do GT2 Para realizar essa tarefa isto é descrever cada equação considerada no GT2 devemos afirmar que 𝒚 𝒙𝟐 e 𝒚 𝟖 𝒙𝟐 são equações de parábolas sendo a primeira de concavidade voltada para cima ao longo do eixoy com vértice na origem de sistema de coordenadas e a segunda com a côncava voltada para baixo também ao longo do eixoy tendo vértice no ponto 08 Para realizar essa tarefa isto é representar a região R no registro gráfico devemos inicialmente introduzir o sistema de coordenadas cartesianas plano traçar os crivos das duas parábolas descritas na realização da t1 de sorte que se interceptem Procedendo deste modo obtemos o resultado apresentado na Figura 2 Resolução da t2 do GT2 Integrais duplas sobre domínios quaisquer aplicação Aula 3 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas Figura 2 4 Resolução da t3 do GT2 Para realizar esta subtarefa isto é representar a região R analiticamente devemos inicialmente decidir pelo tipo de região para em seguida utilizar a representação analítica adequada Nesse caso R Rx Integrais Duplas Aula 3 Resolução da t4 do GT2 Resolução da t5 do GT2 Podemos representar a função no registro gráfico utilizando as técnicas do ambiente papellápis porque tratase de uma superfície plana de equação z 𝟏 𝒙 𝒚 Mas Maple Para realizar esta tarefa isto é Calcular a integral dupla de f sobre a região R devemos inicialmente estabelecer a integral dupla e em seguida proceder com os cálculos por integração sucessiva Assim utilizando os resultados na realização da tarefas anteriores podemos apresentar a seguinte integral dupla no registro algébrico e proceder com os cálculos necessários explicando cada etapa Calculando a primitiva do integrando em relação a y e aplicando a 2a parte do Teorema Fundamental do Cálculo TFC temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 න 2 2 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 2 𝒙𝟐 8𝒙𝟐 𝑑𝑥 Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝑰𝑫𝒇𝑹 න 𝟐 𝟐 න 𝒙𝟐 𝟖𝒙𝟐 𝟏 𝒙 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒇 𝒙 𝒚 𝟏 𝒙 𝒚 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 𝑹 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒂 𝒙 𝒃 𝒈𝟏𝒙 𝒚 𝒈𝟐 𝒙 Fazendo yy ou seja x2 8x2 temos x 2 Assim diremos que a 2 e b 2 Com efeito a representação analítica de R é 𝑅 𝑥 𝑦 ℝ2 2 𝑥 2 𝑥2 𝑦 8 𝑥2 5 Integrais Duplas Aula 3 Resolução da t5 Continuação Substituindo convenientemente os limites de y isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 න 2 2 8 𝒙𝟐 𝑥 8 𝒙𝟐 8 𝒙𝟐 2 2 𝒙𝟐 𝑥 𝒙𝟐 𝒙𝟐 2 2 𝑑𝑥 Realizando o tratamento algébrico do integrando na variável x temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 න 2 2 40 8𝑥 10𝑥2 2𝑥3 𝑑𝑥 Calculando a primitiva do integrando em relação a x e aplicando a 2a parte do TFC temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 40𝑥 4𝑥2 10 3 𝑥3 1 2 𝑥4 2 2 Substituindo convenientemente os limites de x isto é desenvolvendo a aplicação da 2a parte do TFC temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 80 𝟏𝟔 10 3 8 1 2 16 80 𝟏𝟔 10 3 8 1 2 16 Desenvolvendo o devido tratamento numérico temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 2 80 20 3 8 Multiplicado o número 2 por 80 e o 20 por 8 temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 160 160 3 Multiplicando 160 por 3 e subtraindo 160 do resultado desta multiplicação conservando o 3 no denominador temos 𝐼𝐷𝑓𝑅 320 3 Que é o valor numérico da Integral Dupla da função f sobre R න 𝟐 𝟐 න 𝒙𝟐 𝟖𝒙𝟐 𝟏 𝒙 𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒙 320 3 Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 𝐼𝐷𝑓𝑅 න 2 2 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 2 𝒙𝟐 8𝒙𝟐 𝑑𝑥 6 Área de uma região plana Aula 3 Se 𝒇 𝒙 𝒚 𝟏 𝐞𝐧𝐭ã𝐨 𝐚 𝐢𝐧𝐭𝐞𝐠𝐫𝐚𝐥 𝐝𝐮𝐩𝐥𝐚 Para região do tipo Rx Para região do tipo Ry Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas ඵ 𝑑𝐴 Calcula a Área da região R න 𝒂 𝒃 න 𝒈𝟏𝒙 𝒈𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 න 𝒄 𝒅 න 𝒉𝟏𝒚 𝒉𝟐𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝑹 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒂 𝒙 𝒃 𝒈𝟏𝒙 𝒚 𝒈𝟐 𝒙 𝑹 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒉𝟏𝒚 𝒙 𝒉𝟐 𝒚 𝒄 𝒚 𝒅 𝑅 Integrais duplas sobre domínios quaisquer aplicação Aula 3 7 GT1 Considerar as curvas de equações dadas por x y3 x y 2 e y 0 para realizar as seguintes tarefas t1 Descrever cada equação considerada no GT2 na Língua Materna t2 Representar a região R no Registro Gráfico visualizando apenas os crivos restrito a R e hachurando essa região seja no ambiente papellápis seja no ambiente computacional t3 Representar a região R analiticamente no Registro Algébrico t4 Calcular a área da região R Resolução em sala de aula síncrona Cálculo Diferencial e Integral III Prof Dr Afonso Henriques Unidade 1 Integrais Duplas 8 É APENAS UM NOVO COMEÇO Esta é a minha frase usual no final de cada apresentação que eu faço Afonso Henriques FIM NÃO É O FIM