Campo Elétrico e Lei de Gauss - Conceitos e Aplicações

Por DECIO T SANTANA 3 CAMPO ELÉTRICO e LEI DE GAUSS 3 LEI DE GAUSS 31 Fluxo Elétrico 32 Lei de Gauss 33 Cálculo de Campo Elétrico utilizando a Lei de Gauss CAMPO ELÉTRICO O corpo A forma um campo elétrico E no ponto P A P 0q F E e Campo Elétrico de uma carga puntiforme r r q q F E e ˆ 4 1 2 0 0 A P r r q q Fe ˆ 4 1 2 0 0 𝒓 Fluxo Elétrico O fluxo ΦE de um campo vetorial E constante perpendicular a uma superfície A é definido como ΦE EA 21 Fluxo mede o quanto o campo atravessa a superfície Mede densidade de linhas de campo O fluxo ΦE de E constante formando um ângulo θ com A é definido como ΦE E A cos θ E A 22 Mede o quanto a componente perpendicular do campo ie E cosθ atravessa a superfície A Ou similarmente o quanto o campo E atravessa a componente normal da área ie A cosθ Figura 21 Fluxo de E constante através de A perpendicular Serway Figura 22 Fluxo de E constante através de A formando ângulo θ Serway Generalizando para um campo elétrico qualquer e uma superfície qualquer o fluxo elétrico ΦE A através de A é definido como ΦE A E d A 23 onde dA é o vetor área perpendicular à superfície Novamente E d E dA cosθ onde θ é o ângulo entre E e d A conforme Fig 23 Para θ 90 Φ 0 fluxo saindo Para θ 90 Φ 0 fluxo entrando Para θ 90 Φ 0 sem fluxo Figura 23 Fluxo elétrico através da superfície A O fluxo é positivo zero e negativo nos pontos 1 2 e 3 respectivamente de acordo com o ângulo θ Serway Lei de Gauss A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada A com a carga elétrica qin dentro da superfície ΦE A E d A qin ε0 Lei de Gauss 24 A Lei de Gauss é uma das Eqs de Maxwell ie é uma lei fundamental do eletromagnetismo Vamos mostrar que a Lei de Coulomb para cargas pontuais implica a Lei de Gauss Nos exemplos será trivial mostrar que a Lei de Gauss implica a Lei de Coulomb e portanto elas são equivalentes Figura 24 A Lei de Gauss é verificada para uma carga pontual usando a Lei de Coulomb Halliday ΦE E dA E dA cos0 E dA EA q 4πε0r2 4πr2 q ε0 25 Figura 28 Fluxo por uma superfície qualquer devido a uma carga pontual O fluxo é igual ao fluxo atraves de uma superfície esférica interna à superfície qualquer ie Φ qε₀ implicando a Lei de Gauss Young 𝐸𝑎 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟𝑎2 𝐸𝑏 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟𝑏 2 𝐸𝑎 𝑟𝑎2 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟𝑎2 𝑟𝑎2 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟𝑏 2 𝑟𝑏 2 𝐸𝑏 𝑟𝑏 2 Ω 𝑎 𝑟𝑎2 𝑏 𝑟𝑏 2 Φ𝑏 𝐸𝑏 𝑏 𝐸𝑎 𝑟𝑏 2 𝑟𝑎2 𝑎 𝑟𝑎2 𝑟𝑏 2 𝐸𝑎 𝑎 Φ𝑎 O fluxo através de uma superfície qualquer é igual ao fluxo através da superfície esférica Vamos mostrar ₛ E n da q 4πε₀ ₛ r nr³ da ₛ r n r³ da ₛ r n r³ da 4π ₛ E n da q 4πε₀ 4π qε₀ 4 EXEMPLOS Por simetria 𝐸 é paralelo a 𝑑𝐴 e temos que ₐ 𝐸 𝑑𝐴 ₐ E dA cos0 E ₐ dA EA E4πr² qε₀ 28 o que implica E q4πε₀r² 29 Ou seja a Lei de Gauss reproduz a Lei de Coulomb provando que elas são equivalentes Figura 29 Lei de Gauss para uma carga pontual reproduz a Lei de Coulomb Halliday ₛ E n da 1ε₀ i1N qi v P 𝐸 Q r ර 𝑨 𝑬 𝒅𝑨 ර 𝑬 𝒅𝑨 𝑬 ර 𝒅𝑨 𝑬𝑨 𝒅𝑨 ර 𝑨 𝑬 𝒅𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝜺𝟎 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝜺𝟎 𝑸 𝜺𝟎 𝑬𝑨 𝑸 𝜺𝟎 𝑬 𝑸 𝑨𝜺𝟎 𝟏 𝟒𝝅𝜺𝟎 𝑸 𝒓𝟐 Campo Elétrico fora de uma Casca Esfera carregada com carga Q usando a Lei de Gauss v 𝐸 r 𝒅𝑨 ර 𝑨 𝑬 𝒅𝑨 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝜺𝟎 𝟎 𝜺𝟎 𝟎 ර 𝑨 𝑬 𝒅𝑨 ර 𝑬 𝒅𝑨 𝟎 𝒅𝑨 𝟎 𝑬 𝟎 Campo Elétrico dentro de uma Casca Esfera carregada com carga Q usando a Lei de Gauss 𝒅𝑨 𝜆 𝑞 ℎ 𝑞 𝜆ℎ 244 Superfície Condutora Considere pontos próximos a uma superfície condutora como na Fig 211 Para uma superfície condutora toda a carga se concentra na superfície e o campo no interior é zero Aplicando a Lei de Gauss na superfície gaussiana mostrada na figura obtemos A EdA A E dA E A dA EA qε0 σAε0 EA o que implica F σε0 211 ou seja um campo constante independente da distância à placa 245 Placa Isolante Considere agora uma placa nãocondutora infinita como na Fig 212 Para uma placa nãocondutora o campo existe simetricamente em ambos os lados da placa Aplicando a Lei de Gauss na superfície gaussiana mostrada na figura obtemos A EdA A E dA E A dA EA EA 2EA qε0 σAε0 2EA o que implica E σ2ε0 212 ou seja novamente um campo constante independente da distância à placa Note que esse resultado é consistente com o obtido integrando o campo diretamente mas aqui obtido de forma muito mais fácil usando a Lei de Gauss devido à simetria planar do problema Figura 212 Lei de Gauss para uma placa nãocondutora infinita Halliday 26 A figura é uma seção de uma barra condutora de raio R1 13mm e comprimento L 110m no interior de uma casca coaxial de paredes finas de raio R2 100R1 e mesmo comprimento L A carga da barra é Q1 3401012 C a carga da casca é Q2 200Q1 Determine a o modulo E e b a direção para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 20R2 c E e d a direção do campo elétrico para r 50R1 e Determine a carga na superfície interna e f na superfície externa da casca dA E 26 R1 13 mm R2 100 R3 13 mm L1 110 m L2 L1 Q1 341012 C Q2 20 Q3 681012 C a E x 2R2 E2R2 E23 mm E026 m Como 2R2 está fora da casca então usamos uma superfície gaussiana de raio r 2R2 e pela lei de gauss EdA qintε0 qint Q1 Q2 Q1 2Q3 Q3 dA dA r E E r E dA Q1ε0 t A Q1ε0 E 1A Q1ε0 12πrL Q1ε0 E 14πε0 Q1R2 L 898109 N m²c² 341012 C13102 m 11 m 2135 102 NC E 214102 NC b Direção para dentro radialmente 26 c Er 50 R1 Quando r 50 R1 R2 logo Qint Q1 E dA Qintε0 Q1ε0 E 12πε0 Q15R1 L Er 50 R1 25 14πε0 Q1R1 L 25 898109 N m2 c2 341012 C 13102 m 11 m 0854 101 854 102 Nc d Direção para fora radialmente e Qi Q1 Qe Q1 Q2 Q1 2 Q2 Q1 Forma diferencial local da Lei de Gauss ර 𝑺 𝑬 𝒅𝑺 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝜺𝟎 𝟏 𝜺𝟎 න 𝑽 𝝆𝒅𝑽 ර 𝑺 𝑬 𝒅𝑺 න 𝑽 𝑬 𝒅𝑽 න 𝑽 𝑬 𝒅𝑽 𝟏 𝜺𝟎 න 𝑽 𝝆𝒅𝑽 න 𝑽 𝝆 𝜺𝟎 𝒅𝑽 𝑬 𝝆 𝜺𝟎 Equação de Poisson 𝒗𝑷 lim 𝑽𝟎 𝟏 𝑽 ර 𝑺 𝒗 𝒅𝑺 𝒗 𝑷 𝑣𝑥 𝑥 𝑣𝑦 𝑦 𝑣𝑧 𝑧 Exemplo 1 Calcular o divergente de 𝒗 𝒓 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒛𝒛 𝒗𝑷 lim 𝑉𝟎 𝟏 𝑉 ර 𝑺 𝒗 𝒅𝑺 ර 𝑺 𝒗 𝒅𝑺 ර 𝑺 𝑟𝑑𝑆 𝑟𝑆 4π𝑟3 𝑉 4 3 π𝑟3 𝒓 𝑷 lim 𝑉𝟎 𝟏 𝑉 ර 𝑺 𝒗 𝒅𝑺 1 4 3 π𝑟3 4π𝑟3 3 𝒓 𝑷 𝑣𝑥 𝑥 𝑣𝑦 𝑦 𝑣𝑧 𝑧 1 1 1 3 Exemplo 2 Calcular o divergente de 𝑬 𝑟 0 devido a uma carga pontual q Exceto na origem a densidade de carga é nula 𝝆 𝟎 𝑟 0 𝑬 𝝆 𝜺𝟎 𝟎 𝜺𝟎 𝟎 𝑬 𝟎 Vamos verificar Dado que 𝐸𝑥 𝑥 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑥 𝑥 𝑟3 𝑞 4𝜋𝜀0 1 𝑟3 3𝑥 𝑟4 𝑟 𝑥 𝐸 1 4𝜋𝜀0 𝑞 𝑟2 𝑟 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 2 𝑥 𝑟 𝐸𝑥 𝑥 𝑞 4𝜋𝜀0 1 𝑟3 3𝑥2 𝑟5 𝐸𝑦 𝑦 𝑞 4𝜋𝜀0 1 𝑟3 3𝑦2 𝑟5 𝐸𝑧 𝑧 𝑞 4𝜋𝜀0 1 𝑟3 3𝑧2 𝑟5 𝑬 𝐸𝑥 𝑥 𝐸𝑦 𝑦 𝐸𝑧 𝑧 𝑬 𝑞 4𝜋𝜀0 3 𝑟3 3 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟5 𝟎 𝒓 𝟎