Lista de Exercícios sobre Espaços Vetoriais e Combinação Linear

Álgebra linear Prof Me João Vinícius da Silva Engenharia de Software Nome Data Lista 4 Espaço vetorial 1 Considere o conjunto V a b R ab 0 com a soma e o produto escalar definido por a b c d ac bd λ a b aλ bλ Mostre que o conjunto V é um espaço vetorial isto é verique que o conjunto acima com a soma e produto escalar definidos acima satisfazem as oito propriedades necessarias para ser espaço vetorial 2 Verifique quais deles são subespaços vetoriais do R2 ou R3 relativamente às operações de adição multiplicação por escalar usuais Nos casos de não serem subespaços cie um contraexemplo a W1 x y y x b W2 x x2 x R c W3 x y x 3y 0 d W4 y y y R e W5 x y z x z2 f W6 x y z xy 0 g W7 x y z x 0 e y z h W8 4t 2t t t R 3 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em R3 a Escreva w 7 11 2 como combinação linear de u e v b O vetor 2 5 4 pode ser escrito como combinação linear dos vetores u e v Justifique c Para qual valor de k o vetor w 8 14 k se escreve como combinação linear de u e v 1 d Encontre as condições sobre x0 y0 z0 de modo que que o vetor w x0 y0 z0 seja combinação linear de u e v 4 Os conjuntos abaixo são linearmente independentes LI ou linearmente dependentes LD Justifique a 2 1 3 R3 b 2 1 0 1 3 0 3 5 0 R3 c 2 1 3 0 0 0 1 5 2 R3 d 1 1 2 1 0 0 4 6 12 R3 e 1 1 1 2 3 1 3 1 2 0 0 1 R3 f 1 0 1 1 0 0 R3 g 1 3 2 7 R2 h 1 2 1 1 1 7 4 5 4 R3 5 Verifique quais deles são subespaços vetoriais R3 relativamente às operações de adição multiplicação por escalar usuais Nos casos de não serem subespaços crie um contraexemplo a W x y z x 3y 2z 0 b U x y z x y z 5 6 Sejam os vetores u 2 3 2 e v 1 2 4 em R3 a Escreva w 7 11 2 como combinação linear de u e v b O vetor 2 5 4 pode ser escrito como combinação linear dos vetores u e v Justifique 7 Considere o conjunto S 1 1 2 2 1 1 5 1 0 Faça o que se pede a Determine se o conjunto S é Linearmente independente ou Linearmente dependente b Determine o conjunto gerado por S 8 Exiba uma base para o subespaço de R4 listados a seguir e determine a dimensão do subespaço W x y z t R4 x y z 0 x 2y z t 0 9 Verifique se os conjuntos abaixo formam uma base para o R3 a 1 1 1 b 1 2 1 1 2 0 3 0 1 2 c 2 1 0 1 3 0 3 5 0 d 1 1 2 2 1 1 1 0 3 e 1 2 1 1 2 0 3 0 1 2 1 1 10 Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos a A 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 c A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 d A 1 2 1 1 2 0 3 0 1 2 1 1 11 Assinale VVerdadeiro ou FFalso O vetor w 1 1 2 pertence a subespaço gerado por u 1 2 3 e v 3 2 1 Qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinação linear dos vetores u 5 3 2 e v 3 1 3 O conjunto X R3 formado pelos vetores v x y z tais que z 3x e x 2y é um subespaço vetorial 12 Classificar os seguintes conjuntos em LI ou LD a 1 3 b 1 3 2 6 c 2 1 0 1 3 0 3 5 0 d 1 1 2 2 1 1 1 0 3 13 Exiba uma base para cada um dos subespaços de R4 listados a seguir e determine a dimensão dos subespaços a F x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 b G x1 x2 x3 x4 x1 x2 e x3 x4 c H x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 d K x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 0 3