Questões - Álgebra Linear 2021 2

1. (2,0) Sejam A e B matrizes de M2(R) e defina \langle A, B \rangle = tr(B^t A). Exiba uma base ortonormal de M2, segundo este produto interno, a partir da base \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \right\}. 2. Seja o operador linear T : R^3 \to R^3, definido por T(x, y, z) = (\frac{x - \sqrt{2}y + z}{2}, \frac{-3\sqrt{2}x - 4y - \sqrt{2}z}{6}, \frac{3x - \sqrt{2}y - 5z}{6}). (a) (0,5) T é um operador auto-adjunto? Justifique. (b) (0,5) T é um operador ortogonal? Justifique. (c) (0,5) T é uma isometria? Justifique. (d) (0,5) T é um operador normal? Justifique. (e) (1,0) Exiba uma base de autovetores de T para R3. 3. (1,0) A matriz A = \begin{bmatrix} 1 + 2i & 1 - i & 2 & 3 + i \\ -1 - i & 1 + 4i & i & 2i \\ -2 & i & 1 + i & -3 \\ -3 + i & 2i & 3 & 1 + 3i \\ \end{bmatrix} é normal? Justifique. 4. Seja B : R^3 \times R^3 \to R a aplicação definida por B((x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)) = -x_1x_2 + 2x_2y_1 + 2x_1y_2 + x_2z_1 - y_2z_1 + x_1z_2 - y_1z_2 + z_1z_2. (a) (0,5) Mostre que B é uma forma bilinear simétrica. (b) (1,0) Ache a matriz de B em relação à base canônica. (c) (0,5) Ache a forma quadrática Q : R^3 \to R associada a B. (d) (1,0) Determine uma base ortonormal B de Q tal que sua matriz seja diagonal. (e) (1,0) É possível encontrar a,b,c \in R tais que seja possível escrever Q na forma Q(x, y, z) = ax^2 + by^2 + cz^2? Justifique. Atividade. Questao 1) Seja A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} matrizes de M_2(\mathbb{R}) com \langle A, B \rangle = tr(B^T A). Temos que B^T A = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{21} \\ b_{12} & b_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{21}b_{12} & (\cdots) \\ (\cdots) & a_{12}b_{21} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix} tr(B^T A) = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} Portanto \langle A, B \rangle = a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} Podemos perceber que \left[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right] \left[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right] podem ser escritos como combinação linear de \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right\} = \{ A, B, C, D \} Como \sqrt{\langle A, A \rangle} = 1, \sqrt{\langle B, B \rangle} = 1, \sqrt{\langle C, C \rangle} = 1, \sqrt{\langle D, D \rangle} = 1, \langle A, B \rangle = \langle A, C \rangle = \langle A, D \rangle = \langle B, C \rangle = \langle B, D \rangle = \langle C, D \rangle = 0. Temos que \beta é uma base ortonormal segundo este produto interno. Questão 2) a) A matriz da transformação, [1/2 -√2/2 √2/2] A = [-√2/2 -2/3 -√2/6] [1/2 -√6 -5/6] que é simétrica, portanto é auto-adjunta. b) Temos que A.A^t = A.A = I, portanto é ortogonal. c) É isometrica, pois ||T(x,y,z)||^2 = ||(x,y,z)||^2 ||T(x,y,z)||^2 = [(x - √2/2 + z)/2]^2 + (-3√2.x - 4y - √2/6 z)^2 + (3x - √2/6 - 5z/6)^2 = (x^2 + 2y^2 + z^2 - 2√2 xy - 2 √2 yz + 2xz + 18x^2 + 16y^2 + 22z^2 + 24√2 xy + 8√2 yz + 12 xz + 9x^2 + 2 y^2 + 25z^2 - 6√2 xy + 10√2 yz - 30xz) = 36 36x^2 + 36y^2 + 36 z^2 + 0 + 0 + 0 = x^2 + y^2 + z^2 = ||(x,y,z)||^2. d) Se é auto-adjunta é normal, pois A*A = A.A = A.A^t. e) Vamos achar primeiro os auto valores, fazendo: det[1/2-λ -√2/2 -√2/2 -√2/2 -2/3-λ -√2/6 1/2 -√6 -5/6-λ] = 0 Questão 2) e) (1/2-λ)(-2/3-λ)(-5/6-λ) + 1/12 + λ(2/3 - λ) + 1/4( 1/18(2/3 - λ) - 1/2(5/6 - λ)(-5/6+λ) = 0 ⇒ 5/18 + λ - 5 λ= λ^2 - 5λ^2 + λ^3 + λ + 1/3 + 1/4 - 36 + 5/2 =... + λλ = -36. -36 λ3 - 36 λ^2 + 36λ + 36 = 0 36 -λ^3 - λ^2 + λ + 1 = 0 (λ+1)(λ^2+λ + 1) = 0 λ1 = -1 ou λ^2=1 → λ1 = -1 P[λ=-1] [(x- √2/4 + z = (-1)x -3√2.x - √2/2y - √2/6 = (-1)y] = 0 ⇒ x = -√2 y - z que implica um 3 (x=0) => auto.profs λ=-1;x≠0. Os auto-vítoram do auto valor λ = -1 são: [(x-√2 - √2)x = (×) -3 + √2 = (1, 34/3) ficando - 1 =[λ, (-1);λ] {( ) Fazendo o mesmo processo p{λ ⇒ λ = 1 encontramos y = √2/3.x e z = 1x. Assim, o auto vetor para outra (y,x) (1, 1) λ = 1 o valor da base de auto-vetores a é {1, 1/3.. (-1) } Questão 3) Sendo A = [1+2i 1 -i 2 3+3i] [-1-√2 1+4i 1-2i 3] [ -2 -i 1 -i 3 ] [-3/4 -2i -3 12 -3i ] temos que A^H = [1-2i -1+i Calculando A.A^H = A^H.A encontramos: A.A^H = [24 -4 - 14i -10 -10i 9 + 17i] [9 + 17i][..7 + i..+7] A^H.A.² Portanto ela é normal. Questão 4) a) Seja m = (x1,y1,z1) u5 = (x1,y2,z2) u1 = (x y z] u_t B(u,x) = (x...) + 2x x(..) B,[0, Ss x=.. x x monte coexistencia última. x = B(x,y) = B(x,) = B(B(u): Analogamente9, montar... integração mediateque B(m,u) = B(n) + (2) Suprior determinada: que: α\a,u)B' + 2ax2y... 2axz y x B, mor, B'(α=*x,x) = -αxx-2αx2y + 2ryz + tnot = αx 0.n(-nx + 2xy + 2yz) . y-z0 - * Mor α Analise da: mauita x. Questao 11 De maneira análoga \( B(u, \alpha v) = \alpha B(u, v) \) \( \begin{aligned} B(u, v) &= - x_1 x_2 + 2x_1 y_2 + 2x_2 y_1 + x_1 z_2 - y_1 z_2 + x_2 z_1 - y_2 z_1 + z_2 z_1 \\ &= - x_1 x_2 + 2x_1 y_2 + 2x_2 y_1 + x_2 z_1 - y_2 z_1 + x_1 z_2 - y_1 z_2 + z_1 z_2 \\ &= B(u, v) \end{aligned} \) Portanto \( B \) é bilinear simétrica. \( b) \begin{bmatrix} B(1,0,0),(1,0,0) & B(0,0,0),(0,1,0) & B(1,0,0),(0,0,1) \\ B(1,0,0),(4,0,0) & B(0,1,0),(1,0,0) & B(0,1,0),(0,0,1) \\ B(0,0,1),(1,0,0) & B(0,1,0),(0,1,0) & B(0,0,1),(0,0,1) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{bmatrix} c) \text{Forma quadrática:} \(Q(x,y,z) = B(x,y,z),(x,y,z) = -x^2+z^2+4xy-2yz+2xz.\) d) \text{Para diagonalizár vamos achar os autovalores:} \(\det \begin{bmatrix} -1 - \lambda & -2 & 1 \\ 2 & -\lambda & -1 \\ 1 & -1 & 1-\lambda \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow -\lambda^3 + 7\lambda - 7 = 0 \) Cujo as raízes são complexas. e) Não é possível encontrar \(a,b,c \in \mathbb{R}\), pois estes assumiriam o valores de \(\lambda\), que são complexos.