Algebra Linear Apostila Cap1 Uva Barra Celia

CAPÍTULO 1 MATRIZES 1.1 - VETOR: É um conjunto ordenado de números tal que: xt = \begin{bmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \\ ... \\ xn \end{bmatrix} \rightarrow vetor coluna sendo: x1, x2, x3, ..., xn os componentes do vetor que podem ser números reais ou complexos. Representação Transposta: x^T = [x1 x2 x3 ... xn ] \rightarrow vetor linha 1.2- PRODUTO INTERNO (ESCALAR) DE VETORES: x^T . y = [x1 x2 x3 ... xn ] . \begin{bmatrix} y1 \\ y2 \\ y3 \\ ... \\ yn \end{bmatrix} x^T . y = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + ... + xn yn Exemplo: Encontre o produto escalar entre os vetores \bar{u} = (2, 3) e \bar{v} = (4, -1). 1.3 - MATRIZ: Chama-se matriz de ordem m por n a um arranjo retangular de m x n elementos de tal modo que: A_{m x n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix} A_{m x n} = [a_{ij}]_{m x n} sendo: m \rightarrow número de linhas n \rightarrow número de colunas Cada elemento da matriz A é representado por a_{ij}, sendo que o 1º índice indica a linha e o 2º a coluna a que o elemento pertence. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções ou ainda outras matrizes. Exemplo: Seja a matriz: A_{2 x 3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 4 & -3 & 2 \end{bmatrix}, encontre: (a) o nº de linhas; (b) o nº de colunas; (c) o elemento a_{31}; (d) o elemento a_{21}. 1.4 - IGUALDADE DE MATRIZES: Dadas 2 matrizes A_{m x n} = [a_{ij}]_{m x n} e B_{r x s} = [b_{ij}]_{r x s} dizemos que A = B, se elas tem o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s) e todos os seus elementos correspondentes são iguais, isto é, a_{ij} = b_{ij}. Exemplo: Verifique se as matrizes A e B são iguais. A = \begin{bmatrix} 3^2 & 1 & \log 1 \\ 2 & 2^2 & 5 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 9 & \sen 90º & 0 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} 1.5 – TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES: 1.5.1 – Matriz Quadrada: Quando o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n), dizemos que a matriz é quadrada de ordem m. Exemplo: A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{bmatrix} \rightarrow diagonal secundária \rightarrow diagonal principal A é uma matriz quadrada de ordem 3. 1.5.2 – Matriz Nula: Quando todos os elementos da matriz são nulos, isto é, a_{ij} = 0 para todo i e j. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 1.5.3 – Matriz-Coluna: Quando a matriz possui uma única coluna (n = 1). Exemplos: A_{2 x 1} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} B_{3 x 1} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} Obs.: A matriz-coluna é denominada vetor-coluna, quando representa as componentes de um vetor. 1.5.4 - Matriz-Linha: Quando a matriz possui uma única linha (m = 1). Exemplos: A_{1 x 2} = [0\ 1] B_{1 x 3} = [x\ y\ z] Obs.: A matriz-linha é denominada vetor-linha, quando representa as componentes de um vetor. 1.5.5 - Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m = n) onde a_{ij} = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 1.5.6 - Matriz Identidade ou Matriz Unidade: É uma matriz quadrada (m = n) cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os restantes são iguais a 0, isto é, a_{ii} = 1 e a_{ij} = 0, para i ≠ j. Exemplos: I_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} I_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 1.5.7 - Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que tem os elementos a_{ij} iguais entre si para i = j. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} 1.5.8 - Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada (m = n) onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, a_{ij} = 0, para i > j. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix} 1.5.9 - Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada (m = n) onde todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, a_{ij} = 0, para i < j. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{bmatrix} 1.5.10 - Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada (m = n) cuja parte superior é uma reflexão da parte inferior, em relação à diagonal principal, isto é, a_{ij} = a_{ji}. Exemplos: A_{3 x 3} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & -1 \end{bmatrix} B_{2 x 2} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & g \end{bmatrix} 1.6 - OPERAÇÕES COM MATRIZES: 1.6.1 - Adição: Dadas duas matrizes de ordem m x n: A = [a_{ij}]_{m x n} e B_{m x n} = [b_{ij}]_{m x n} a soma é uma matriz C = A + B = [c_{ij}]_{m x n} de ordem m x n, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B, isto é, c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} Exemplo: Encontre a soma das matrizes A e B dadas abaixo: A_{2 x 3} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix} B_{2 x 3} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix} Obs.: A diferença A - B de duas matrizes de ordem m x n é uma matriz C de ordem m x n, tal que: c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos: (i) A + B = B + A (comutativa) (ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa) (iii) A + O = A, onde O denota a matriz nula m x n. 1.6.2 - Multiplicação por Escalar: Se k é um escalar, o produto de uma matriz A = [a_{ij}]_{m x n} de ordem m x n, por esse escalar é uma matriz B = k.A = [b_{ij}]_{m x n} de ordem m x n, cujos elementos são dados por: b_{ij} = k.a_{ij} Exemplo: Encontre o produto do escalar k = 5 pela matriz A dada abaixo: A_{2 x 3} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix} Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n e os números k, k_{1} e k_{2}, temos: (i) k(A + B) = kA + kB (ii) (k_{1} + k_{2})A = k_{1}A + k_{2}A (iii) k_{1}(k_{2}A) = (k_{1}k_{2}) (iv) 0.A = O, onde O denota a matriz nula m x n. 1.6.3 - Transposição: A matriz transposta da matriz A = [a_{ij}]_{m x n} de ordem m x n é a matriz A^{T} ou A' = [b_{ij}]_{n x m} de ordem n x m, cujas linhas são as colunas de A, isto é, (2º) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da 1ª matriz for igual ao número de linhas da 2ª matriz. (3º) Pode ocorrer de AB existir sem que exista o produto BA. Exemplo: Encontre o produto das matrizes A e B dadas abaixo: A_{2x3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} B_{3x2} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C temos: (i) Em geral AB ≠ BA (não é comutativa) (ii) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade. (iii) A(B + C) = AB + AC (distributiva) (iv) (A + B)C = AC + BC (distributiva) (v) (AB)C = A(BC) (associativa) (vi) (AB)' = B'A' (vii) O.A = O e A.O = O 1.6.5 – Potência de uma Matriz: Uma matriz quadrada A = [a_{ij}] de ordem m, pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas n operações A^n, é chamada potência n da matriz A. Obs.: Quando a matriz A^2 é igual a matriz A, dizemos que A é idempotente. Exemplo: Encontre a matriz A^2, sendo a matriz A dada abaixo: A_{3x3} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -3 & 4 & -3 \\ -5 & 5 & 4 \end{bmatrix} b_{ij} = a_{ji} Exemplo: Encontre a transposta da matriz A dada abaixo: A_{2x3} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix} Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem m x n, temos: (i) Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua transposta, isto é, A = A'. Obs.: Matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada A tal que A' = -A. (ii) A transposta da transposta de uma matriz é ela mesma, isto é, A'' = A. (iii) (A + B)' = A' + B'. (iv) (kA)' = kA'. (v) (AB)' = B'.A'. Exemplo: Encontre a transposta das matrizes dadas abaixo: A_{3x3} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{bmatrix} B_{3x3} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -3 \\ -1 & 3 & 0 \end{bmatrix} 1.6.4 – Multiplicação de Matrizes: Dadas duas matrizes A = [a_{ij}]_{m x n} de ordem m x n e B = [b_{ij}]_{n x p} de ordem n x p, o produto AB é definido como uma matriz C = AB = [c_{ij}]_{m x p} de ordem m x p, cujos elementos são encontrados na forma: c_{iw} = \sum a_{ik} b_{kw} = a_{i1} b_{1w} + a_{i2} b_{2w} + ... + a_{in} b_{nw}. Observações: (1º) O elemento c_{ij} da matriz produto é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da 1ª matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da 2ª matriz, e somando estes produtos.