Lista 1 Algebra Linear Uva Barra

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ÁLGEBRA LINEAR\n\nSejam\nA = [ 2 -1 ] , B = [-2 0 ] , C = [-2 4 ] , D = [ 2 -1 ]\n\n2. Seja A = [ 2 2x x2 ] Se A' = A, então x = _________\n\n3. Se A é uma matriz simétrica, então A = A' _________\n\n4. Se A é uma matriz triangular superior, então A' = _________\n\n5. Se A é uma matriz diagonal, então A' = _________\n\n6. Verdadeiro ou falso?\n\na) (A')' = A\nb) A + B' = B' + A\nc) A B = 0, então A = 0 ou B = 0.\nd) (A B)' = (B')A'\ne) B A = 0, então A B = 0.\nf) Se A é sob matrizes simétricas, então AB = BA.\ng) Se podemos efetuar o produto A A', então A é uma matriz quadrada.\nh) Se A' = A, então A é simétrica.\n\n7. Se A² = A · A, então [-2 1]\n [ 3 2]\n\n8. Se A é uma matriz triangular superior, então A² = _________\n\n9. Ache x, y, z, w se\n[ x y ] [ 2 3 ] [ 4 0 ]\n[ z w ] [ 3 4 ] [ 1 0 ]\n\n10. Dadas A = \n[ 1 -3 2 ]\n[ 2 1 -3 ]\n[ 4 -1 -3 ]\nB = [ 1 4 1 0 ]\nC = [ 2 -1 -2 ]\n\nmostre que AB = AC.\n\n11. Suponha que A ≠ 0 e AB = AC onde A, B, C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.\na) B = C\nb) Se existir uma matriz Y, tal que YA = I, onde I é a matriz identidade, então B = C?\n\n12. Explique por que, em geral, (A + B)² ≠ A² + 2AB + B² e (A + B)(A - B) ≠ A² - B². 13. Dadas A = \n[-2 -3 -5 ]\n[ 1 -3 5 ]\n[-1 -3 -5 ]\nB = \n[-1 -3 5 ]\n[ 1 -3 -5 ]\nC = \n[-2 -2 -4 ]\n\na) Mostre que AB = BA = 0, AC = A CA = C.\nb) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A² - B² = (A - B)(A + B) = (A ± B)² = A² + B².\n\n14. Se A = [ -3 -2 ] ache B, de modo que B² = A.\n\n15. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:\n\n Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo\nModerno 5 20 16 7 17\nMediterrâneo 7 18 12 9 21\nColonial 8 25 8 5 13\n\n(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência.)\na) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?\nb) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 cruzeiros. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?\nc) Qual o custo total do material empregado? 2ª LISTA DE EXERCÍCIOS\n\n1. Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas.\n\n2x + 3y = 11\n4x - 3y = 6\n\n4. Descreva todas as possíveis matrizes 2 × 2, que estejam na forma escada reduzida por linhas.\n\n3. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas.\n\n a) [ 2 -3 ]\n [ 1 1 ]\n [ 3 -1 ]\n\n b) [ 1 -2 -3 ]\n [ 2 -4 4 ]\n [ 2 -3 1 ]\n\n c) [ 0 2 1]\n [ 1 3 2]\n [ 3 4 2]\n [ 2 -3 1 ]\n\n5. Dado o sistema\n\n3x + 5y = 1\n2x + y = 3\n\nescreve a matriz ampliada, associada ao sistema e reduz a forma escada reduz por linhas, para resolver o sistema original.\n\n6. Determine k, para que o sistema admite solução.\n\n7. Encontre todas as soluções do sistema\n\nx₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ = 14\n2x₁ + 6x₂ - x₂ + 5x₅ = -2\nx₁ + 3x₂ - x₃ + 2x₅ = -1\n\n8. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.\n\n9. Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) determine o que:\na) O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades de vitamina C.\nb) O alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C.\nc) O alimento III tem 3 unidades de vitaminas A, 3 unidades de vitamina C e não contém vitamina B.\n\nSe são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de vitamina C.\na) Encontre todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III, que fornecem a quantidade de vitaminas desejada.\nb) Se o alimento I custa 60 centavos por grama e os outros custam 10, existe uma solução custo exatamente Cr$ 1,00? Resolve os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas \ne forma escalonada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos \ncoeficientes A, se o sistema for possível, o grau de liberdade.\n10. x1 + 2x2 - x3 + 3x4 = 1\n11. { x + y + z = 4\n { 2x + 5y - 2z = 3\n12. { x + y + z = 4\n { 2x + 5y - z = 3\n { x + 7y - 7z = 5\n13. { x - 2y + 3z = 0\n { 2x + 5y + 6z = 0\n14. { x1 + x2 + x3 + x4 = 0\n { x1 + x2 + x3 + x4 = 4\n { x1 - x2 + x3 + x4 = -4\n { x4 = 2\n15. { x + 2y + 3z = 0\n { 2x + y + 3z = 0\n { 3x + 2y + z = 0\n16. { 3x + 2y - 4z = 1\n { x - y + z = 3\n { x - y - 3z = -3\n { 3x + 3y - 5z = 0\n { -x + y + z = 1