A1 Álgebra Linear

Esta prova vale 10,0 pontos; Em cada questão você encontrará a pontuação determinada; Esta prova é individual, não sendo permitido qualquer tipo de comunicação e/ou troca de material entre os presentes. Não é permitido o uso de telefones, tablets, computadores ou qualquer dispositivo eletrônico, exceto calculadoras científicas. Não é permitido consultas a material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie. Esta prova tem duração de duas horas. Utilize apenas o espaço reservado para escrever as soluções das questões. 1) (1,5 pt) Dada uma matriz quadrada qualquer A, pode-se obter uma matriz simétrica a partir dela utilizando o seguinte método: S_A = A . A^T. Considere as matrizes C = \[3\] e D = \[4 -2\], obtenha a matriz simétrica S_CD a partir do produto CD. 2)(1,5 pt) Calcule o determinante da matriz \(-2 \ 1 \ -3\) \(2 \ 4 \ -3\) utilizando o método da triangulação. \(-1 \ 3 \ -2\) Universidade Veiga de Almeida Picina T. Martins 2015 \[-2 \ 1 \ -3\] \ \[2 \ 4 \ -3\] \ \[3 \ -1 \ -2\] L2 <- L2 - 4 . L1 L3 <- L3 - 3 . L1 \[1 \ -2 \ -3\] \ \[0 \ 10 \ 9\] \ \[0 \ 5 \ 7\] L2 <- L2 - L3 L3 <- L3 - (3/2) * L2 \[1 \ -2 \ -3\] \ \[0 \ 10 \ 9\] \ \[0 \ 0 \ -5\] det = -25, 1.5 3) Seja A a matriz A = \[-1 \ 2 \ 3\] \[4 \ 5 \ 6\] \[5 \ 4 \ 3\]. Sabendo que cof(A) = \[-9 \ 18 \ a\] \[6 \ b \ 14\] \[c \ 18 \ -13\]. Determine: 3a)(1,0 pt) os valores de a,b e c; C_33 = |\[4 \ 5\]| |\[5 \ 4\]| = -9 -25 a = -9 C_22 = |\[-1 \ 3\]| |\[5 \ 3\]| -15 b=-18 C_31 = |\[2 \ 3\]| |\[5 \ 6\]| = -3 -15 C_21 C_12 1.0 b)(1,0 pt) o determinante de A pelo método dos cofatores. |\[-1 \ 2 \ 3\]| |\[4 \ 5 \ 6\]| |\[5 \ 4 \ 3\]| det = a_{1i} C_{1i} = C_{11} + C_{12} + C_{13} = 1 . (-9) + 18 + 3 . (-9) = 18 det_A = 18 1.0 4) Dado o sistema linear \(x - 3y = -10\) \(10x - 5y = 0\) a)(1,0 ponto) Determine a inversa da matriz dos coeficientes através do método da adjunta. A^{-1} = \(-1/25\) adj(A) A^{-1} = \[-5 \ 3/25\] \[-10 \ 1\] x = A^{-1} B 1 \ -3 10 \ -5 -10 \ 0 x = 2 y = 4 1.0 b)(1,0 ponto) Encontre a solução do sistema utilizando o método da inversa. x = A^{-1} B \(x = A^{-1} B = \) \[-1/5 \ 3/5\] \[2/5 \ 1/5\] Universidade Veiga de Almeida 5) Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 \(m^2\) 140 g de nitrato e 170 g de fosfato. Dispõe-se de três qualidades de adubo com as seguintes características: I - Cada quilograma do adubo X custa R$ 5,00 e contém 10 g de nitrato e 10 g de fosfato; 1 KG / 5,00 II - Cada quilograma do adubo Y custa R$ 6,00 e contém 10 g de nitrato e 100 g de fosfato; III - Cada quilograma do adubo Z custa R$ 5,00 e contém 50 g de nitrato e 20 g de fosfato. O dono do terreno está disposto a gastar R$ 31,00 para comprar uma mistura dos adubos X, Y e Z e conseguir o efeito necessário em seu terreno. a) (1,0 pt) Escreva um sistema linear que modele tal situação; 10X + 10Y + 50Z = 140 10X + 100Y + 20Z = 130 5X + 6Y + 5Z = 31 1.0 b) (1,0 pt) Encontre a solução desse sistema utilizando o método de Gauss-Jordan (Escalonamento). [10 50 14] [1 5 14] 0 4 0 0 [ 0 20 80 5 ] [ 1 -20 -39] 50 100 170 [0 -20 -80 5 ] 10 100 130 [ - 20 -40 ] 0 0 39 238/41 [ 1 5/9 4/13] [3/4 41/3] 5/9 4/13 - 2 L3 - 3 L2 - 29 20 -39 L2 3 — L —29 2 4 / 3 241 / L1 o o o 557/94 0 0 L, -2 137/94 0 0 0 c) (1,0 pt) Qual é o valor do determinante da matriz 3 4 0 a) 78 b) -102 c) 102 d) -78 - 34 1 o 0 0 -2 -34 -4 0 -4 30 -34 10 5 1 102 -34 102 102 102 IVIA /0 PAULA REGINA DE ALMEIDA Assinatura 2015