A1 Álgebra Linear

Esta prova vale 10,0 pontos; Em cada questão você encontrará a pontuação determinada; Esta prova é individual, não sendo permitido qualquer tipo de comunicação e(ou) troca de material entre os presentes. Não é permitido o uso de telefones, tablets, computadores ou qualquer dispositivo eletrônico, exceto calculadoras científicas. Não é permitido consultas a material bibliográfico, cadernos ou anotações de qualquer espécie. Esta prova tem duração de duas horas. Utilize apenas o espaço reservado para escrever as soluções das questões. 1)(1,5 pt) Dada uma matriz quadrada qualquer A, pode-se obter uma matriz simétrica a partir dela utilizando o seguinte método: S_A = A.A^T. Considere as matrizes C = [1 3] e D = [4 -2], obtenha a matriz simétrica S_CD a partir do produto CD. 2)(1,5 pt) Calcule o determinante da matriz [-2 1 -3] [2 4 -3] [-1 3 -2], utilizando o método da triangularização. determinação: det [1 -2 -3] = -18 [4 2-3] [3 -1 -2] / -(L_2 - L_3) 1.5 [-9] Sabendo que cof(A) = [-9 18 a] [6 b 14] [c 18 -13] determine: a) (1.0 pt) os valores de a, b e c; a = -9 b = -18 c = 1.0 -3 (1.0 pt) o determinante de A pelo método dos cofatores. 4) Dado o sistema linear x - 3y = -10 10x - 5y =0. a)(1,0 ponto) Determine a inversa da matriz dos coeficientes através do método da adjunta. Inversa = A^-1 = [A adj(A)]/det(A) = [-1/25, 3/25, -2] y = 4. b)(1,0 ponto) Encontre a solução do sistema utilizando o método da inversa. 5) Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m^2, 140 g de nitrato e 170 g de fosfato. Dispõe-se de três qualidades de adubo com as seguintes características: I - Cada quilograma do adubo X (5,00), 10g de nitrato e 10g de fosfato; - UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA II - Cada quilograma do adubo Y custa R$ 6,00 e contém 10 g de nitrato e 100 g de fosfato. III - Cada quilograma do adubo Z custa R$ 5,00 e contém 50 g de nitrato e 20 g de fosfato. O dono do terreno está disposto a gastar R$ 31,00 para comprar uma mistura dos adubos X, Y e Z e conseguir o efeito necessário em seu terreno. a) (1,0 pt) Escreva um sistema linear que modele tal situação; 10x + 10y + 50z = 140 10x + 100y + 20z = 130 5x + 6y + 5z = 31 b) (1,0 pt) Encontre a solução desse sistema utilizando o método de Gauss-Jordan (Escalonamento). 6) (1,0 pt) Qual é o valor do determinante da matriz -78 3 -4 0 0 2 5 -1 0 0 2 3 2 0 2 0 -2 a) 78 b) -102 c) 102 d) -78 -78