Distribuição Normal e Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis aleatórias contínuas Distribuição Normal Variável aleatória contínua Assume valores num intervalo de números reais Não é possível listar individualmente todos os possíveis valores de uma va contínua Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável Uma va X contínua é caracterizada por sua função densidade de probabilidade 𝑓𝑥 com as propriedades A área sob a curva de densidade é 1 isto é 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 Pa X b 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 área sob a curva da densidade fx e acima do eixo x entre os pontos a e b fx 0 para todo x PX 𝑥0 0 para 𝑥0 fixo Assim Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b Distribuição Normal A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições contínuas de probabilidade pois Muitos fenômenos aleatórios comportamse de forma próxima a essa distribuição Exemplos altura pressão sanguínea e peso Pode ser utilizada para calcular de forma aproximada probabilidades para outras distribuições como por exemplo para a distribuição binomial Exemplo X peso em kg de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população A curva contínua da figura denominase curva Normal Características da curva normal a curva apresenta uma área central em torno da média onde se localizam os pontos de maior frequência e também possui áreas menores progressivamente mais próximas de ambas as extremidades em que são encontrados valores muito baixos de x à esquerda ou escores muito altos à direita ambos presentes em baixas frequências A curva normal tem forma de sino ou seja é unimodal e simétrica e o seu valor de máxima frequência moda coincide com o valor da média e da mediana distribuição normal tem como características fundamentais a média µ e o desvio padrão σ Como em qualquer função de densidade de probabilidade a área sob a curva normal é 1 sendo a frequência total sob a curva igual a 100 A v a X tem distribuição normal com parâmetros 𝜇 e 𝜎2 se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 1 2𝜋𝜎2 𝑒𝑥𝑝 1 2 𝑥 𝜇 𝜎 2 𝑥 em que 𝜇 é o valor esperado média de X 𝜇 𝜎2 é a variância de X 𝜎2 0 Notação X𝑁𝜇 𝜎2 EX 𝜇média ou valor esperado VarX 𝜎2 e portanto DPX 𝜎 x 𝜇 é ponto de máximo de f x f x 0 quando x 𝜇 𝜎 e 𝜇 𝜎 são pontos de inflexão de f x a curva Normal é simétrica em torno da média 𝜇 Padronização da distribuição normal Nµ 𝜎2 Se X𝑁𝜇 𝜎2 então Z𝑁01 Z 𝑋 𝜇 𝜎 𝑓 𝑧 𝑓 𝑥 1 2𝜋 𝑒𝑥𝑝 1 2 𝑧2 Sempre que X assume um valor x o valor correspondente de Z é dada por z 𝑥𝜇 𝜎 Portanto se X cai entre os valores x x1 e x x2 a variável aleatória Z será entre os valores correspondentes a 𝑧1 𝑥1𝜇 𝜎 e 𝑧2 𝑥2𝜇 𝜎 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑋𝜇 𝜎 𝑥2𝜇 𝜎 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑍 𝑥2𝜇 𝜎 Exemplo A altura dos alunos da FAFIDAM são distribuídos normalmente com média 170 cm e desvio padrão 10 cm Selecionase aleatoriamente um aluno qual a probabilidade dele ter altura X altura dos alunos X𝑁170 102 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑋𝜇 𝜎 𝑥2𝜇 𝜎 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑍 𝑥2𝜇 𝜎 a Entre 168 e 171 cm 𝑃 168 𝑋 171 𝑃 168 170 10 𝑍 171 170 10 𝑃02 𝑍 01 b Menor que 159cm 𝑃 𝑋 159 𝑃 𝑍 159 170 10 𝑃𝑍 11 a Maior que 172 cm 𝑃 𝑋 172 𝑃 𝑍 172 170 10 𝑃𝑍 02 a Entre 159 e 168 cm 𝑃 159 𝑋 168 𝑃 159 170 10 𝑍 168 170 10 𝑃11 𝑍 02 Tabela Normal Padrão P0 Z 𝑧0 P0 Z 122 1º inteiro 1º decimal 2º decimal P1 Z 2 P1 Z 2 P0 Z 2P0 Z 1 P0 Z 2 04772 P0 Z 1 03413 Logo P1 Z 2 01359 PZ1 Note que PZ 0 é igual a 05 pois a média µ 0 é o eixo de simetria e a área total é 1 Logo PZ1 05 P0Z1 0503413 015787 PZ 1 Note que PZ 0 é igual a 05 pois a média µ 0 é o eixo de simetria e a área total é 1 Logo PZ1 05 P0Z1 05 03413 08413 PZ 05 PZ 0 P05 Z 0 PZ 0 P0 Z 05 05 01915 06915 P2 1 Z 1 4 P14 Z 21 P0 Z 21 P0 Z 1 4 047780419200586 Exemplo Dada uma variável aleatória X e uma distribuição normal com μ 50 e σ 10 encontre a probabilidade de X assumir valores entre 45 e 62 X𝑁 𝜇 𝜎2 X𝑁50 102 𝑃 45 𝑋 62 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑋𝜇 𝜎 𝑥2𝜇 𝜎 P 𝑥1𝜇 𝜎 𝑍 𝑥2𝜇 𝜎 𝑃 45 𝑋 62 𝑃 4550 10 𝑍 6250 10 𝑃 05 𝑍 12 𝑃 05 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 12 Pela simetria 𝑃 05 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 05 𝑃 0 𝑍 05 𝑃 0 𝑍 12 01915 03849 05764 Seja X𝑁10 64 𝜇 10 𝜎2 64 𝜎 8 Calcule a 𝑃 6 𝑋 12 𝑃 6 10 8 𝑍 12 10 8 𝑃 05 𝑍 025 𝑃 05 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 025 Pela Simetria 𝑃 05 𝑍 0 𝑃 0 𝑍 05 𝑃 0 𝑍 05 𝑃 0 𝑍 025 01915 0098702902 b k tal que 𝑃 𝑋 𝑘 005 𝑃 𝑋 𝑘 005 P Z 𝑘 10 8 005 z é tal que 𝑃 𝑍 𝑧 005 isto é 𝑃 0 𝑍 𝑧 045 Pela tabela 𝑧 164 Então 𝑘10 8 164 𝑘 10 164 8 2312 Exemplo O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal com média 120 min e desvio padrão 15 min X tempo gasto no exame X𝑁120 152 a Sorteando um aluno ao acaso qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos 𝑃 𝑋 100 P Z 100120 15 PZ 133 Pela simetria P Z 133 P Z 133 05 P 0 Z 133 05 04082 00918 X tempo gasto no exame X𝑁120 152 b Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95 dos vestibulandos terminem no prazo estipulado 𝑃 𝑋 𝑥1 095 𝑃 𝑍 𝑥1 120 15 095 Z é tal que 𝑃 𝑍 𝑧 095 isto é 𝑃 0 𝑍 𝑧 045 Pela tabela z 164 Então 𝑥1120 15 164 𝑥1 1446 𝑚𝑖𝑛