Variáveis Aleatórias Discretas: Distribuição Bernoulli e Binomial

Variáveis aleatórias discretas Distribuição Bernoulli e Binomial Variáveis aleatórias Definição variável aleatória va é uma função que associa cada elemento de Ω a um número Propriedades de uma va Cada elemento de Ω deve estar associado a um único número Todos os elementos de Ω devem estar associados a algum número Vários elementos de Ω podem estar associados ao mesmo número O termo aleatório indica que a cada possível valor da va atribuímos uma probabilidade de ocorrência Uma função X que associa a cada elemento do espaço amostral um valor num conjunto enumerável de pontos da reta é denominada variável aleatória discreta Exemplo Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos ΩMMM MMF MFM FMM MFF FMF FFMFFF Defina X nº de crianças do sexo masculino M Então X é uma va discreta que assume valores no conjunto 0 1 2 3 Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de números reais X é denominada variável aleatória contínua Exemplo Observar o tempo de reação a um certo medicamento Defina X tempo de reação ao medicamento X é uma va contínua que assume qualquer valor real positivo Variável aleatória discreta Função de probabilidade É a função que atribui a cada valor 𝑥𝑖 da v a discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada pela tabela Uma função de probabilidade deve satisfazer 0 p𝑥𝑖 1 𝑖1 𝑛 p𝑥𝑖 1 x 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝒏 PXx PX𝒙𝟏 PX𝒙𝟐 PX𝒙𝒏 Exemplo Jogar um dado Considere X ponto obtido no dado X1 2 3 4 5 6 PX1 16 PX2 16 PX6 16 x 1 𝟐 3 𝟒 5 6 Total PXx 16 16 16 16 16 16 1 Exemplo Jogar 2 dados Ω 1112 13 14 15 16 2122 23 24 25 26 3132 33 34 35 36 4142 43 44 45 46 5152 53 54 55 56 6162 63 64 65 66 Defina X soma das faces X2 3 4 5 12 PX2 P11 136 PX3 P12P21 236 PX12 P66 136 x PXx 2 136 3 236 4 336 5 436 6 536 7 636 8 536 9 436 10 336 11 236 12 136 Total 1 Y valor máximo obtido dentre os dois lançamentos Y123456 Z diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento Z54321012345 y 1 𝟐 3 𝟒 5 6 Total PYy 136 336 536 736 936 1136 1 z 5 𝟒 3 𝟐 1 0 1 2 3 4 5 Total PZz 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136 1 Função distribuição acumulada Fx PX 𝑥 x ℜ Exemplo X número obtido no lançamento de um dado comum X123456 PX 𝑥𝑖16 i 1 6 F1 PX1PX1 16 F2 PX2PX1 PX2 26 F3 PX3 PX1 PX2 PX3 36 F4 PX446 F5 PX556 F6 PX61 Valor esperado 𝜇 EX 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑃𝑋 𝑥𝑖 Variância 𝜎2 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 sendo 𝐸 𝑋2 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖2 𝑃𝑋 𝑥𝑖 Exemplo Lançamento de um dado X ponto obtido no dado EX 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 116 216 616 35 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑃 𝑋 𝑥 1216 2216 6216 152 VarX 𝐸 𝑋2 EX2 152 352 295 x 1 𝟐 3 𝟒 5 6 Total PXx 16 16 16 16 16 16 1 x PXx 16 26 36 46 56 66 216 35 𝑥2 PXx 16 46 96 166 256 366 916 152 Exemplo Jogar 2 dados X soma das faces EX 25236 7 VarX 197436 72 583 DPX242 x PXx x PXx 𝑥2 PXx 2 136 236 436 3 236 636 1836 4 336 1236 4836 5 436 2036 10036 6 536 3036 18036 7 636 4236 29436 8 536 4036 32036 9 436 3636 32436 10 336 3036 30036 11 236 2236 24236 12 136 1236 14436 Total 1 25236 197436 Propriedades Valor Esperado seja X e Y va e a e b constantes Ea a EaX aEX Demonstração EaX 𝑖1 𝑛 𝑎 𝑥𝑖 PX𝑥𝑖 𝑎 𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 PX𝑥𝑖 aEX EXY EXEY EaXb aEXb Variância seja X e Y va e a e b constantes Vara 0 VaraX 𝑎2VarX VarXY VarXVarY se X e Y são independentes VaraXb 𝑎2VarX Distribuição Bernoulli Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados Exemplos 1 Uma peça é classificada como boa ou defeituosa 2 O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa 3 Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita 4 No lançamento de um dado ocorre ou não face 6 5 No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas genericamente por resposta do tipo sucessofracasso Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma va com distribuição de Bernoulli Definição Uma VA X de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso S e 0 se ocorrer fracasso F com probabilidade de sucesso p 0 p 1 X 1 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 0 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜 x 0 1 PXx 1p p Notação X Bernoulli p PXx 𝒑𝒙𝟏 𝒑𝟏𝒙 x 0 1 Exemplo Suponha que a probabilidade de óbito de um paciente ao dar entrada na terapia intensiva seja de 25 risco de morte Seja X uma variável binária indicadora de óbito se um paciente der entrada no CTI Obtenha a distribuição de probabilidade X 1 ó𝑏𝑖𝑡𝑜 0 𝑛ã𝑜 𝑜𝑏𝑖𝑡𝑜 X Bernoulli 025 PXx 𝟎 𝟐𝟓𝒙𝟏 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒙 x 0 1 PXx 075 025 Exemplo Suponha que em um rebanho há 120 animais em que 90 são fêmeas Um animal é selecionado aleatoriamente qual a probabilidade dele ser macho X 1 𝑚𝑎𝑐ℎ𝑜 0 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑎 X Bernoulli p p30120025 PXx 𝟎 𝟐𝟓𝒙𝟏 𝟎 𝟐𝟓𝟏𝒙 x 0 1 PXx 075 025 Bernoulli valor esperado e variância X Bernoulli p Valor esperado EX 0 1 𝑝 1 𝑝 𝐸𝑋 p Variância E𝑋2 02 1 𝑝 12 𝑝 p VarX E𝑋2 𝐸𝑋2 p 𝑝2 VarX p1p x 0 1 PXx 1p p Distribuição Binomial Para que a variável aleatória de um experimento tenha distribuição binomial é necessário atender as seguintes condições supor uma série de n realizações independentes o resultado de um experimento não é afetado pelo resultado dos outros de Bernoulli a probabilidade de sucesso em cada realização é sempre constante e igual a p o número de sucessos observado é um número inteiro entre 0 e n Definição Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma probabilidade de sucesso p A variável aleatória que conta o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por PX x 𝑓 𝑥 𝑛 𝑥 𝑝𝑥1 𝑝𝑛𝑥 𝑥 0 1 2 3 𝑛 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Notação XBnp EX np VarX np1p Exemplo Lançar uma moeda 4 vezes e observar as faces voltadas para cima Ω kkkk ckkk kckk kkck kkkc cccc ccara e kcoroa Seja X o número de caras nos 4 lançamentos X0 1 2 3 4 Usando a distribuição Binomial X Bin 4 12 PX0 4 0 05005400625 PX1 4 1 051053025 PX2 4 2 0520520375 PX3 4 3 053051025 PX4 4 4 05405000625 x 0 1 2 3 4 kkkk ckkk cckk ccck cccc kkkc kkcc kccc PXx 116 416 616 416 116 a Qual a probabilidade de se obter exatamente 2 caras PX 2 0375 b Qual a probabilidade de se obter no máximo 2 caras PX 2 PX0 PX1 PX2 006250250375 c Qual a probabilidade de se obter no mínimo 1 cara PX 1 1 PX0 1 00625 09375 Exemplo O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla escolha consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada questão Suponha que os estudantes não estudaram para a prova O aluno é aprovado se acertar no mínimo 6 questões Qual a probabilidade de um aluno acertar 6 questões Sucesso acertar questão X número de questões que o aluno acerta nas 10 X012 10 n10 questões p1502 XB10 15 PXx 10 𝑥 02𝑥0810𝑥 PX6 10 6 02608106 00055 a Qual a probabilidade do aluno ser aprovado PX 6 PX6PX7PX8PX9PX10 10 6 026084 10 10 0210080 b Qual a probabilidade do aluno ser reprovado PX 6 1 PX 6 c Qual o número esperado de questões que o aluno acerta EX np 1002 2 Agora suponha que a prova contém questões do tipo certo ou errado Qual a probabilidade de o aluno ser aprovado E o número esperado de questões que o aluno acerta XB10 05 PX 6 PX6PX7PX8PX9PX10PX11PX12 10 6 056054 10 10 0510050 EX 10 05 5 questões Exemplo Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas extraímos da urna consecutivamente e com reposição 12 bolas Encontre a probabilidade de se obter 5 bolas brancas Sucesso obter bola branca X número de bolas brancas nas 12 retiradas X012 12 n12 bolas p2035057 XB12 47 PXx 12 𝑥 057𝑥04312𝑥 PX5 12 5 0575043125 013