Testes de Hipóteses em Inferência Estatística

Universidade Estadual do Ceará Faculdade de Filosofia Dom Aureliano Matos Camila Raquel Câmara Lima Testes de hipóteses Introdução a Estatística Na inferência estatística os dois principais objetivos são 1 Estimar um parâmetro populacional 2 Testar uma hipótese ou afirmativa sobre um parâmetro populacional Hipótese É uma afirmativa sobre uma propriedade da população Teste de hipótese É um procedimento para se testar uma afirmativa sobre uma propriedade da população Permite tomar decisões sobre a população com base em informações de dados amostrais Tipos de hipóteses Hipótese nula H0 É uma afirmativa de que o valor de um parâmetro populacional é igual a algum valor especificado O termo nula é usado para indicar nenhuma mudança nenhum efeito Exemplo µ 170 cm p 0 5 Hipótese alternativa H1 É uma afirmativa de que o parâmetro tem um valor que de alguma forma difere da hipótese nula Ex µ 170 µ 170 µ 170 Quando fazemos um teste de hipótese chegamos a um dos dois possíveis resultados Rejeitar H0 em favor da hipótese alternativa Ha Não rejeitar H0 e concluise que não existem diferenças Atenção O termo aceitar a hipótese nula é filosoficamente incorreto pois não se pode aceitar uma hipótese baseada apenas em evidências amostrais mesmo em um teste de hipótese formal E ainda existe um erro associado a todo teste de hipótese Erro tipo I e Erro tipo II Erro do tipo I rejeitar uma hipótese nula verdadeira A probabilidade de cometer esse erro é dada por α Erro do tipo II não rejeitar uma hipótese nula falsa A probabilidade de cometer esse erro é dada por β Portanto o valor de α determina a chance de erro do teste de hipótese H0 verdadeira H0 falsa Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta Nível de significância O nível de significância α é a probabilidade de cometermos um erro do tipo I Este valor é determinado antes de se iniciar o teste e determina o nível de risco que pode ser tolerado ao se rejeitar uma hipótese nula que é verdadeira Valores comuns de α são 010 005 e 001 Testes unilaterais e bilaterais Bilateral H0 H1 Unilateral a esquerda H0 H1 Unilateral a direita H0 H1 Região crítica A região crítica de um teste de hipótese é a área de rejeição da hipótese nula O valor crítico é o valor que divide a área de rejeição da área de não rejeição de H0 Depende da distribuição amostral da estimativa testada do valor de α Estatística do teste A estatística de teste é um valor usado para tomar a decisão sobre a hipótese nula É encontrada pela conversão da estatística amostral em um escore z ou t com a suposição de que a hipótese nula seja verdadeira Se A estatística de teste cair dentro da região crítica rejeita H0 A estatística de teste cair fora da região crítica não rejeita H0 Procedimento geral Formular as hipóteses nula e alternativa Escolher a distribuição amostral adequada teste Z ou T O uso do teste Z ou T depende da quantidade das amostras e será usado na tomada de decisão Definir o nível de significância α e determinar os valores críticos ou seja a região crítica ou região de decisão Se o valor ficar na área crítica estabelecido pelo nível de significância α rejeitar Ho caso contrário não rejeitar Ho Testes de hipótese para a média σ conhecido Definir a hipótese nula H0 e a alternativa H1 Bilateral H0 𝜇 𝜇0 H1 𝜇 𝜇0 Definir um nível de significância α ex α 0 05 que irá determinar o nível de confiança 1001 α do teste Unilateral a esquerda H0 𝜇 𝜇0 H1 𝜇 𝜇0 Unilateral a direita H0 𝜇 𝜇0 H1 𝜇 𝜇0 Determinar a região de rejeição com base no nível de significância 𝑧𝑡𝑎𝑏 Calcular a estatística de teste sob a hipótese 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑥 𝜇0 𝜎 𝑛 Rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste calculada estiver dentro da região de rejeição crítica Bilateral Unilateral a direita Unilateral a esquerda Exemplo Uma linha de produção está calibrada para colocar em média 160 ml por frasco com 𝜎 8 ml Valores acima ou abaixo dessa média são considerados críticos e a linha de produção deve ser suspensa se qualquer um dos dois ocorrer Um inspetor do controle de qualidade retira 30 amostras a cada 2 horas e precisa tomar a decisão de parar ou não a linha de produção para calibragem Se a média amostral for de 15820 ml o que o inspetor deveria recomendar aos responsáveis pela área de produção Use α5 Dados 𝜇0 160ml 𝜎 8 ml n 30 𝑥 15820𝑚𝑙 Hipóteses H0 𝜇 160 𝑚𝑙 H1 𝜇 160 𝑚𝑙 Nível de significância 5005 Estatística do teste 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝜎 𝑛 Dados𝜇0 160ml 𝜎 8 ml n 30 𝑥 15820𝑚𝑙 𝑧𝑐𝑎𝑙 1582160 8 30 123 Região crítica 𝑧𝑡𝑎𝑏 196 Regra de decisão Rejeitar Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏196 ou 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏196 Logo não rejeita H0 Conclusão Podese afirmar com 95 de confiabilidade que a linha de produção não deve ser suspensa Exemplo O rótulo de um fabricante informa que o conteúdo líquido das latas de seu produto é em média de 2000 gramas A norma técnica permite desvio padrão de 40 gramas O INMETRO recolheu aleatoriamente 64 latas O peso médio encontrado foi de 1990 gramas Fixando o nível de significância em 5 o fabricante deve ser multado por efetuar a venda do produto abaixo do especificado Dados 𝜇0 2000 gramas 𝜎 40 gramas n64 𝑥 1990 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 Hipóteses H0 𝜇 2000 gramas H1 𝜇 2000 gramas Nível de significância 5 005 Estatística do teste 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝜎 𝑛 Dados 𝜇0 2000 gramas 𝜎 40 gramas n64 𝑥 1990 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑧𝑐𝑎𝑙 19902000 40 64 2 Região crítica 𝑧𝑡𝑎𝑏 164 Regra de decisão Rejeitar Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 164 Logo rejeita H0 Conclusão Rejeita Ho isto é podese afirmar com 95 de confiabilidade que o fabricante deve ser multado Testes de hipótese para a média σ desconhecido Usamos a distribuição t como estatística de teste dada por 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑥 𝜇0 𝑠 𝑛 com n 1 graus de liberdade Usar o mesmo procedimento do testes para média com σ conhecido trocando o 𝑧𝑡𝑎𝑏 por 𝑡𝑡𝑎𝑏 obtido na tabela da distribuição tStudent Exemplo A vida média das lâmpadas produzidas por uma empresa era de 1120 horas Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 1070 horas com desviopadrão de 125 horas e distribuição próxima da normal Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não tenha se alterado ao nível de 1 de significância Dados 𝜇0 1120 horas n8 𝑥 1070 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 s 125 horas Hipóteses H0 𝜇 1120 horas H1 𝜇 1120 horas Nível de significância 1001 Estatística do teste 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝑠 𝑛 Dados 𝜇0 1120 horas n8 𝑥 1070 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 s 125 horas 𝑡𝑐𝑎𝑙 10701120 125 8 11314 Região crítica 𝑡𝑡𝑎𝑏3499 Regra de decisão Rejeitar Ho se 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝑡𝑎𝑏3499 ou 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝑡𝑎𝑏3499 Logo não rejeita H0 Conclusão Podese afirmar com 99 de confiabilidade que a vida média das lâmpadas não se alterou Exemplo Querendo determinar a quantidade média de nicotina dos cigarros uma empresa retirou uma amostra de 25 cigarros e obteve os seguintes resultados 𝑥 38 mg 𝑠2 0 25 𝑚𝑔2 Ao nível de 5 teste se a quantidade média de nicotina pode ser considerada inferior a 40 mg Dados 𝜇0 40 mg n25 𝑥 38 𝑚𝑔 s 025 05 𝑚𝑔 Hipóteses H0𝜇 40 mg H1 𝜇 40 mg Nível de significância 𝛼 5 005 Estatística do teste 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑥𝜇0 𝑠 𝑛 Dados 𝜇0 40 mg n25 𝑥 38 𝑚𝑔 s 025 05 𝑚𝑔 𝑡𝑐𝑎𝑙 3840 05 25 20 Região crítica 𝑡𝑡𝑎𝑏 1711 Regra de decisão Rejeitar Ho se 𝑡𝑐𝑎𝑙 𝑡𝑡𝑎𝑏1729 Logo rejeita H0 Conclusão Rejeita H0 isto é podese afirmar com 95 de confiabilidade a quantidade média de nicotina pode ser considerada inferior a 40 mg Testes de hipótese para a proporção p Hipóteses Bilateral H0 p 𝑝0 H1 p 𝑝0 Estatística de teste 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑝 𝑝0 𝑝0 1 𝑝0 𝑛 onde 𝑝0 é o valor de proporção de teste na hipótese nula Unilateral a esquerda H0 p 𝑝0 H1 p 𝑝0 Unilateral a direita H0 p 𝑝0 H1 p 𝑝0 Determinar a região de rejeição com base no nível de significância Bilateral Unilateral a direita Unilateral a esquerda Rejeita Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 ou 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 Rejeita Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 Rejeita Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 Exemplo Numa linha de produção 10 dos itens de certo artigo apresentam defeitos de fabricação Com o objetivo de reduzir este percentual o produtor investiu na melhoria da qualidade do artigo Para verificar se houve redução do percentual de itens defeituosos na linha de produção foi observada uma amostra de 200 itens da produção constatandose que 12 itens são defeituosos Podese afirmar que houve redução do percentual de itens defeituosos na linha de produção Considere um nível de significância de 5 p proporção de itens defeituosos da população 𝑝 proporção de itens defeituosos da amostra Dados 𝑝010 01 n200 itens 𝑝 12 200 006 Hipóteses H0 p 10 01 H1 𝑝 10 Nível de significância 5 005 Estatística do teste 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑝 𝑝0 𝑝01𝑝0 𝑛 Dados 𝑝0 01 n200 itens 𝑝 006 𝑧𝑐𝑎𝑙 006 01 01101 200 188 Região crítica 𝑧𝑡𝑎𝑏 164 Regra de decisão Rejeitar Ho se 𝑧𝑐𝑎𝑙 𝑧𝑡𝑎𝑏 164 Logo rejeita H0 Conclusão Rejeita Ho isto é podese afirmar com 95 de confiabilidade que houve redução do percentual de itens defeituosos na linha de produção