Estatistica e Probabilidade II - 1a Avaliacao UVA 2023

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO VALE DO ACARAÚ UVA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE II PROFA MS CAMILA RAQUEL CAMARA LIMA 1ª AVALIAÇÃO 07122023 ENTREGA 11122023 1 3 pontos Considere a população 𝑋 2468 Retire todas as amostras possíveis de tamanho 𝑛 2 com reposição Seja 𝑋 1 𝑛 𝑋𝑖 𝑛 𝑖1 a 1 ponto Obtenha a distribuição de probabilidade de 𝑋 b 2 pontos Calcule o valor esperado 𝐸𝑋 e a variância 𝑉𝑎𝑟𝑋 2 2 pontos Considere uma variável aleatória X com media 𝜇 e variância 𝜎2 Sendo 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 uma amostra aleatória simples de X mostre que 𝑆2 1 𝑛1 𝑋𝑖 𝑋2 𝑛 𝑖1 é um estimador não viesado para variância populacional 𝜎2 Obs Um estimador T é não viesado para estimar 𝜃 se 𝐸𝑇 𝜃 3 3 pontos Suponha um experimento consistindo de n ensaios de Bernoulli com probabilidade de sucesso 𝑝 Seja X o número de sucessos e considere o estimador 𝑝 𝑋 𝑛 a 2 pontos Determine a esperança e a variância de 𝑝 b 1 ponto Mostre que o estimador 𝑝 é consistente para estimar 𝑝 Obs Um estimador T é considerado consistente para estimar 𝜃 se lim 𝑛 𝐸𝑇 𝜃 e lim 𝑛 𝑉𝑎𝑟𝑇 0 4 2 pontos Suponha um estudo para avaliar o tempo que os estudantes gastam estudando para a aprazível disciplina de Estatística e Probabilidade II por semana Suponha que o tempo gasto X seja normalmente distribuído com média 15 horas e desvio padrão de 4 horas Selecionase aleatoriamente 30 estudantes da disciplina a 1 ponto Com base na distribuição amostral da média qual é a probabilidade de obter uma média amostral menor que 14 horas b 1 ponto Se aumentarmos o tamanho da amostra para 50 estudantes como isso afetará a largura e a forma da distribuição amostral da média A Omega 2 2 2 3 2 6 2 8 4 2 4 4 4 6 4 8 6 2 6 4 6 6 6 8 8 2 8 4 8 6 8 8 Xbar 2 2 2 f 116 Xbar 3 X 2 3 4 2 f 216 Xbar 4 2 6 4 4 6 2 f 316 Xbar 5 2 8 4 6 6 4 8 2 f 416 Xbar 6 4 8 6 6 8 4 f 316 Xbar 7 6 8 8 6 f 216 Xbar 8 8 8 f 116 Xbar 2 3 4 5 6 7 8 f 116 216 316 416 316 216 116 B EXbar Sigma f Xbar 2 1 3 2 4 3 5 4 6 3 7 2 8 1 216 616 1216 2016 1816 1416 816 8016 5 EXbar2 Sigmai fi Xbari2 221 322 423 524 623 722 821 416 1816 4816 10016 10816 9816 6416 44016 275 varXbar EXbar2 EXbar2 275 52 275 25 25 ES2 E Sigmaxi Xbar2 m 1 1m1 ESigmaxi Xbar2 1m1 ESigmaxi2 2xiXbar Xbar2 1m1 E Sigma xi2 2Xbar Sigma xi m Xbar2 1m1 ESigma xi2 2 Xbar m Xbar m Xbar2 1m1 E Sigma xi2 2 m Xbar2 m Xbar2 1m1 E Sigma xi2 m Xbar2 1m1 m mu2 m sigma2 m mu2 sigma2m 1m1 m sigma2 sigma2 m1m1 sigma2 sigma2 3 X Binomial p logo m lançis de Binomial Sigma xi Binomialm p ESigma xi Sigma Exi Sigma p m p E EXhat EXm 1m EX 1m m p p varXhat varXm 1m2 varX 1m2 mp1p p1pm B Xhat é um estimador consistente para p e o estimador converge em probabilidade para o valor verdadeiro do parâmetro ou seja lim minfty PXhat p epsilon 0 for epsilon 0 Poiso se Xhat é um estimator não viésado para p e para mostrar sua consistencia basta mostrar que lim minfty varXhat 0 lim minfty PXhat p 0 m C PXbar 14 PXbar mu sigmasqrtm 14 mu sigmasqrtm PZ 14 15 4sqrt30 PZ 737 00853 853 B Pelo Teorema Central do Limite TCL na medida que aumentamos o tamanho do conjunto a distribuição do média amostral se aproxima da distribuição normal Para m 30 o desvio padrão da distribuição amostral é 4 sqrt30 para m 50 é 4 sqrt50 ou seja o desvio padrão da distribuição da média amostral diminui quando aumentamos o amostra Portanto para m 50 o intervalo é menor e o intemativo da média tende a ser mais preciso