Exame Final de Álgebra Linear UNESP - Resolução Detalhada e Gabarito

UNESP Universidade Estadual Paulista Júlio Mesquita Filho ICT Instituto de Ciência e Tecnologia Professora Líliam Medeiros Curso Engenharia Ambiental Data 2021 Nome Nota Exame Final de Álgebra Linear do 2º semestre de 2020 10 pontos 1 Sejam A 1 0 2 3 2 1 0 3 0 4 3 2 2 2 0 0 B 2 0 1 0 0 3 1 5 0 0 1 0 0 0 0 1 e c 4 1 0 3 a 1 ponto Calcule o determinante de A por expansão em cofactores b 05 ponto O que você pode dizer quanto ao número de soluções do sistema linear AB2Tx c 2 2 pontos Considere que A 1 0 2 3 1 1 2 1 0 3 8 6 0 4 3 2 2 6 2 2 0 0 2 6 é a matriz aumentada de algum sistema linear Resolvao pelo método de eliminação de Gauss 3 Sejam A 2 0 1 1 1 1 0 0 1 B 2 0 0 0 12 0 0 0 13 e c 4 2 1 Responda os itens a seguir a 05 ponto Encontre a equação característica de A e os autovalores de A b 1 ponto Encontre as bases dos autoespaços de A e identifique os autovetores de A associados aos respectivos autovalores c 05 ponto A é diagonalizável Se sim encontre uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tal que P1AP D d 1 ponto Encontre a matriz P1 pelo método da redução por linhas via operações elementares e confirme que P1AP D e 05 ponto Utilizando que P1AP D calcule A6 f 05 ponto Calcule os autovalores de A6 e seus autovetores linearmente independentes associados g 05 ponto Resolva o sistema linear P1B3x c 4 2 pontos Sejam p1x x3 2x2 2 p2x x2 4x 2 p3x 2x3 3x p4x 3x3 3x2 2x p5x x3 8x2 2x 2 e px x3 6x2 6x 6 Sendo A gerp1 p2 p3 p4 p5 responda as perguntas a seguir justificando as respostas a O conjunto p1 p2 p3 p4 p5 é linearmente dependente ou linearmente independente b Qual é a dimensão do espaço vetorial A O conjunto p1 p2 p3 p4 p5 gera o espaço P3 c p1 p2 p3 p4 p5 forma uma base para P3 Se não é possível extrair uma base de P3 dentro deste conjunto Se sim qual d p A Caso a resposta seja afirmativa expresse p como uma combinação linear de p1 p2 p3 p4 e p5 Obs TODAS as questões feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS