Slide - Bases - Álgebra Linear 2022 2

Bases Seção 4.4 - Coordenadas e Bases Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Definição. Se V é um espaço vetorial qualquer e se S = {v1, v2, ..., vn} é um conjunto de vetores em V, dizemos que S é uma base de V se valerem as seguintes condições: (a) S é linearmente independente (l.i.); (b) S gera V. Bases Exemplo. Sejam v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0) e v3 = (3,3,4). Mostre que o conjunto S = {v1, v2, v3} é uma base de R3. Solução. 1º) Devemos mostrar que S é linearmente independente; 2º) Devemos mostrar que S gera R3. 1º) S será l.i. se a equação vetorial a seguir tiver solução única k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 = 0 k1·(1,2,1) + k2·(2,9,0) + k3·(3,3,4) = (0,0,0) (k1, 2k1, k1) + (2k2, 9k2, 0) + (3k3, 3k3, 4k3) = (0,0,0) (k1+2k2+3k3, 2k1+9k2+3k3, k1+4k3) = (0,0,0) É o sistema linear k1+2k2+3k3 = 0 homogêneo: 2k1+9k2+3k3 = 0 k1 +4k3 = 0 Elemento neutro da soma de R3 1 2 3 k1 0 2 9 3 ∙ k2 = 0 1 0 4 k3 0 A k 0 = · v1 v2 v3 Precisamos ver se esse sistema tem solução única ou infinitas soluções. Calculando o determinante de A, verificamos que: det(A) = 7. Como det(A) ≠ 0, então o sistema homogêneo tem solução única E daí, S = {v1, v2, v3} é um conjunto l.i.. 1 2 3 k1 0 2 9 3 ∙ k2 = 0 1 0 4 k3 0 A k 0 = · k1 0 k2 = 0 k3 0 2º) Para que S = {v1, v2, v3} gere o espaço R3, é necessário que todo vetor w = (a,b,c) de R3 seja uma combinação linear de v1, v2 e v3. Ou seja, é necessário que para todo w = (a,b,c) Є R3, existam escalares k1, k2 e k3 tais que w = k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 = w k1·(1,2,1) + k2·(2,9,0) + k3·(3,3,4) = (a,b,c) (k1, 2k1, k1) + (2k2, 9k2, 0) + (3k3, 3k3, 4k3) = (a,b,c) (k1+2k2+3k3, 2k1+9k2+3k3, k1+4k3) = (a,b,c) É o sistema linear: k1+2k2+3k3 = a 2k1+9k2+3k3 = b k1 +4k3 = c 1 2 3 k1 a 2 9 3 ∙ k2 = b 1 0 4 k3 c A k w = · v1 v2 v3 Precisamos verificar se esse sistema tem solução para qualquer que sejam os valores de a, b e c em w. Calculando o determinante de A, verificamos que: det(A) = 7. Como det(A) ≠ 0, então independente dos valores das componentes do vetor w = (a,b,c), este sistema sempre terá solução (única). Logo, S = {v1, v2, v3} gera o espaço R3, pois, para qualquer w = (a,b,c) Є R3, w será combinação linear de v1, v2 e v3. Ou seja, vão existir escalares k1, k2, k3 tais que w = k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 Como mostramos que S é l.i. e S gera R3, então: S é base de R3. 1 2 3 k1 a 2 9 3 ∙ k2 = b 1 0 4 k3 c A k w = · Teorema. Seja V um espaço vetorial e suponha que V contenha uma base finita B = {v1, v2, ..., vn}. Então: (a) Um conjunto com mais que n vetores é l.d.; (b) Um conjunto com menos que n vetores não gera V; (c) Qualquer outra base de V contém n vetores. 7 Obs. 1. Qualquer conjunto de geradores de um espaço vetorial V é um conjunto de “representantes” de qualquer vetor de V. 2. Toda base de V é um conjunto de geradores de V, mas nem todo conjunto de geradores de V é uma base de V. 3. Todas as bases de V possuem o mesmo número n de vetores. 4. Uma base de V é o menor conjunto possível de geradores de V. 5. Por outro lado, uma base de V é a maior quantidade de vetores l.i. em V. 8 Exemplo. Já vimos no exemplo anterior que S = {v1, v2, v3}, sendo v1 = (1,2,1), v2 = (2,9,0) e v3 = (3,3,4) é uma base de R3. O teorema anterior diz que todas as bases de um espaço vetorial possuem a mesma quantidade de vetores. Logo, pelo exemplo anterior, vemos que todas as bases de R3 possuem exatamente 3 vetores. Já vimos também na aula de espaços gerados (aula 55) que os vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o espaço R3. Como {i, j, k}, tem 3 vetores e são l.i., então {i, j, k} também é uma base de R3. B = {i, j, k} é chamada base canônica de R3. 9 Exemplo. O conjunto S = {v1, v2, v3 , v4, v5} é l.d. ou l.i. em R3? v1 = (1,3,-1), v2 = (2,1,4), v3 = (0,1,0), v4 = (3,-1,1) e v5 = (2,1,7) Solução. Como cada base de R3 possui 3 vetores e como S tem 5 vetores e 5 > 3 , então S é um conjunto linearmente dependente (l.d.). 10 Exemplo. Sejam v1 = (1,2,7) e v2 = (0,3,1) vetores de R3. Responda os itens a seguir. a) O conjunto S = {v1, v2} gera R3? b) O conjunto S = {v1, v2} é base de R3? c) O conjunto S = {v1, v2} é l.d. ou l.i.? Solução. a) Como cada base de R3 possui 3 vetores e como S tem 2 vetores e 2 < 3, então S não gera R3. b) Como cada base de R3 possui 3 vetores e como S tem 2 vetores e 2 < 3, então S não é base de R3. c) Como não há forma de escrever v1 como múltiplo de v2, então v1 e v2 são linearmente independentes (l.i.). 11