Slide - Exemplo Excepcional Espaços Vetoriais Arbitrários 2022 2

Espaços Vetoriais Arbitrários (Um exemplo de espaço vetorial maluquinho) Seção 4.1 - Espaços Vetoriais Reais Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Antes de começar a demonstrar, vamos ver um exemplo de como funcionam essas operações: suponha que u = 2, v = 3 e k=-5. Então, pelas definições de soma maluquinha e multiplicação por escalar maluquinha, temos: u  v = 2  3 = 2∙3 = 6 e kv = -53 = 3-5 = 1/(35) = 1/243 Considere V = R*+ com as seguintes operações: Soma maluquinha: se u є V e v є V, então u  v = u∙v Multiplicação por escalar maluquinha: se k é um escalar e se v є V, então kv = vk Mostre que V com essas operações é um espaço vetorial. Exemplo: Um Espaço Vetorial Maluquinho multiplicação normal! Agora vamos demonstrar que os 10 axiomas de espaços vetoriais são verdadeiros para (R*+, , ). Considere V = R*+ com as seguintes operações: Soma maluquinha: se u є V e v є V, então u  v = u∙v Multiplicação por escalar maluquinha: se k é um escalar e se v є V, então kv = vk Mostre que V com essas operações é um espaço vetorial. Exemplo: Um Espaço Vetorial Maluquinho multiplicação normal! O conjunto R*+ munido das operações de soma e multiplicação por escalar maluquinhas definidos no slide anterior é um espaço vetorial, porque satisfaz os 10 axiomas de espaços vetoriais: 1) A soma maluquinha é fechada em R*+, pois se u e v são elementos de R*+, ou seja, se u e v são números reais positivos, então u  v = u∙v є R*+ 2) A soma maluquinha é comutativa em R*+, pois: u  v = u∙v = v∙u = v  u u “somado” com v é igual a u multiplicado por v (multiplicação normal) A multiplicação de dois números reais positivos continua sendo um número real positivo Aqui temos a multiplicação normal de R*+, e em R*+ (assim como em R) a multiplicação é comutativa, logo u∙v = v∙u 4) Existe elemento neutro da soma maluquinha em R*+ ? Vamos ver: se u Є R*+, então suponha que existe v Є R*+ tal que u  v = u e v  u = u u ∙ v = u v ∙ u = u Logo, existe elemento neutro da soma maluquinha  em R*+ , que é vneutro = 1. 3) A soma maluquinha é associativa em R*+, pois se u, v e w são elementos de R*+, então u  (v  w) = u ∙ (v ∙ w) = (u ∙ v ) ∙ w = (u  v )  w A multiplicação nos reais é associativa Nos reais positivos, o único número capaz disso é v = 1 5) Cada elemento de R*+, possui inverso aditivo em R*+? Vamos verificar: se u Є R*+ então suponha que existe v Є R*+ tal que u  v = v  u = elemento neutro da soma maluquinha u ∙ v = v ∙ u = 1 O número real positivo v capaz disso é v = 1/u. Logo, é verdade: cada u Є R*+ possui inverso aditivo na soma maluquinha, que é 1/u . 6) A multiplicação por escalar maluquinha é fechada em R*+, pois se v Є R*+ e se k for um escalar, então kv = vk Є R*+ vk é um número real positivo, pois qualquer número real positivo v elevado a qualquer potência continua sendo um número real positivo. 7) A multiplicação por escalar maluquinha é distributiva com relação à soma maluquinha de elementos de R*+, pois se k é um escalar e se u e v são números de R*+, então k  (u  v) = k  (u ∙ v) = (u ∙ v)k = uk ∙ vk = (uk) ∙ (vk) = (uk)  (vk) = (ku)  (kv) Nos números reais, a potência do produto se distribui no produto das potências 8) A multiplicação por escalar maluquinha por “vetor” é distributiva com relação à soma de escalares, pois se k e m são escalares e se u é um elemento de R*+, então (k+m)  u = uk+m = uk ∙ um = (uk) ∙ (um) = (ku) ∙ (mu) = (ku)  (mu) Propriedade válida nos reais 9) A ordem da multiplicação por escalar com “vetores” de R*+ não importa, pois se k e m são escalares e se u é um elemento de R*+, então: (k∙m)  u = uk∙m = (uk)m = (um)k = m(uk) = k(um) = m(ku) = k(mu) 10) O escalar 1 é neutro na multiplicação por escalar maluquinha pelo “vetor” de R*+, pois se u Є R*+ então: 1u = u1 = u . Como R*+ com essas operações de soma maluquinha  e multiplicação por escalar maluquinha  definidas no início do exemplo satisfez os 10 axiomas de espaços vetoriais, então (R*+,,) é um espaço vetorial, e cada número real positivo dentro desse contexto pode ser chamado de vetor. Nos reais, u elevado a 1 é o próprio u. Nos reais podemos fazer essas equivalências.