Slide - Independência Linear 2022 2

Independência Linear Seção 4.3 - Independência Linear Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Definição. Seja S = {v1, v2, ..., vr} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V e considere a equação vetorial k1·v1 + k2·v2 + ... + kr·vr = 0 sendo k1, k2,..., kr escalares. Se esta equação vetorial tiver apenas a solução trivial, ou seja, se tiver apenas a solução (k1, k2, ..., kr) = (0, 0, ..., 0), então dizemos que o conjunto S é linearmente independente (l.i.). Também dizemos que os vetores v1, v2, ..., vr são linearmente independentes. Se existirem outras (infinitas) soluções, então S é um conjunto linearmente dependente (l.d.). Neste caso, diremos que os vetores v1, v2, ..., vr são linearmente dependentes. Independência Linear elemento neutro da soma de V ! 3 Exemplo (em R4). S = {(2,-1,0,3), (1,2,5,-1), (7,-1,5,8)} é conjunto linearmente independente ou linearmente dependente? Solução. Chame v1 = (2,-1,0,3), v2 = (1,2,5,-1) e v3 = (7,-1,5,8). Para verificarmos se S é l.i. ou l.d. precisamos ver o que acontece quanto ao número de soluções da equação vetorial: k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 = 0 k1·(2,-1,0,3) + k2·(1,2,5,-1) + k3·(7,-1,5,8) = (0,0,0,0) (2k1,-k1,0,3k1) + (k2,2k2,5k2,-k2) + (7k3,-k3,5k3,8k3) = (0,0,0,0) (2k1+k2+7k3, -k1+2k2-k3, 5k2+5k3, 3k1-k2+8k3) = (0,0,0,0) Que corresponde ao sistema linear: 2k1 + k2 + 7k3 = 0 -k1 + 2k2 - k3 = 0 5k2 + 5k3 = 0 3k1 - k2 + 8k3 = 0 Resolvendo o sistema linear seguinte por qualquer método 2k1 + k2 + 7k3 = 0 -k1 + 2k2 - k3 = 0 5k2 + 5k3 = 0 3k1 - k2 + 8k3 = 0 descobrimos que é um sistema com infinitas soluções. Uma solução particular desse sistema, por exemplo, é (k1, k2, k3) = (3, 1, -1) ≠ (0, 0, 0) Isso significa que o conjunto S = {v1, v2, v3} é linearmente dependente. Obs. Substituindo os valores dos escalares encontrados na equação vetorial, obtemos 3v1 + v2 - v3 = 0 O fato de termos encontrado uma solução não nula para (k1, k2, k3) nos mostra uma relação de dependência entre os vetores, pois podemos isolar um vetor em função dos outros: v2 = -3v1 + v3 5 Exemplo (em R3). Mostre que o conjunto S = {e1, e2, e3} é linearmente independente. Solução. Montando a equação vetorial k1·e1 + k2·e2 + k3·e3 = 0 temos: k1·(1,0,0) + k2·(0,1,0) + k3·(0,0,1) = (0,0,0) (k1, 0, 0) + (0, k2, 0) + (0, 0, k3) = (0, 0, 0) (k1+0+0, 0+k2+0, 0+0+k3) = (0, 0, 0) (k1, k2, k3) = (0, 0, 0) que é a solução trivial. Logo, S = {e1, e2, e3} = {i , j , k} é um conjunto linearmente independente. 6 Exemplo (em P3). Sejam p1(x) = 1-x, p2(x) = 5+3x-2x2 e p3(x) = 1+3x-x2. O conjunto S = {p1, p2, p3} é conjunto linearmente independente ou linearmente dependente? Solução. Para verificarmos se S é l.i. ou l.d. precisamos ver o que acontece quanto ao número de soluções da equação vetorial: k1·p1(x) + k2·p2(x) + k3·p3(x) = 0 k1·(1-x) + k2·(5+3x-2x2) + k3·(1+3x-x2) = 0 k1 - k1x + 5k2 + 3k2x - 2k2x2 + k3 + 3k3x - k3x2 = 0 (k1 + 5k2 + k3) + (-k1 + 3k2 + 3k3)·x + (-2k2 - k3)·x2 = 0+0·x+0·x2 que corresponde ao sistema linear: k1 + 5k2 + k3 = 0 -k1 + 3k2 + 3k3 = 0 - 2k2 - k3 = 0 Resolvendo o sistema linear seguinte por qualquer método k1 + 5k2 + k3 = 0 -k1 + 3k2 + 3k3 = 0 - 2k2 - k3 = 0 descobrimos que é um sistema com infinitas soluções. Uma solução particular desse sistema, por exemplo, é (k1, k2, k3) = (3, -1, 2) ≠ (0, 0, 0) Isso significa que o conjunto S = {p1, p2, p3} é linearmente dependente em P3. Obs. Substituindo os valores dos escalares encontrados na equação vetorial, obtemos 3p1 - p2 + 2p3 = 0 O fato de termos encontrado uma solução não nula para (k1, k2, k3) nos mostra uma relação de dependência entre os polinômios, pois podemos isolar um polinômio em função dos outros: p2 = 3p1+2p3 8 Exemplo (em Pn). O conjunto S = {1, x, x2, ..., xn} é linearmente independente, pois: a equação vetorial k0·1 + k1·x + k2·x2 + ... + kn·xn = 0 é o mesmo que k0·1 + k1·x + k2·x2 + ... + kn·xn = 0 + 0·x + 0·x2 + ... + 0·xn Comparando os termos de mesmo grau, observamos que (k0, k1, k2, ..., kn) = (0, 0, 0, ..., 0) que é a solução trivial. Logo, S = {1, x, x2, ..., xn} é um conjunto linearmente independente em Pn, e neste caso, os polinômios 1, x, x2, ..., xn são linearmente independentes em Pn (ou seja, não existe nenhuma relação de dependência entre eles). 9 Exemplo (em F(-∞,∞)). As funções f1(x) = sen2x, f2(x) = cos2x e f3(x) = 1 são linearmente independentes ou linearmente dependentes em F(-∞,∞)? Solução. Como sabemos da relação trigonométrica fundamental que sen2x + cos2x = 1 que é o mesmo que 1 = sen2x + cos2x , então vemos que f3(x) = 1 depende das funções f1(x) = sen2x e f2(x) = cos2x. Essa dependência é linear, pois a relação pode ser escrita como sen2x + cos2x - 1 = 0 que é o mesmo que k1·sen2x + k2·cos2x + k3·1 = 0 sendo (k1, k2, k3) = (1, 1, -1) ≠ (0, 0, 0) Logo, f1(x), f2(x) e f3(x) são l.d.