Slide - Conceito de Tensão e Deformação - 2023-2

Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Solução: Temos duas situações: 1. Alongamento da haste de aço: δ = \frac{PL}{AE} = \frac{80 \times 10^3 * 0.6}{200 \times 10^9 * \pi \times (5 * 10^{-3})^2} δ = 0.00305m 2. Encurtamento do tubo de alumínio: δ = \frac{PL}{AE} = \frac{80 \times 10^3 * 0.4}{70 \times 10^9 * 400 \times 10^{-6}} δ = 0.00114m Como o alongamento e o encurtamento estão no mesmo sentido: δ_{total} = 0.00305 + 0.00114 = 0.00419m δ_{total} = 4.19mm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Se a área da seção transversal e a força variarem em função de x, temos : δ = \int_{0}^{L} \frac{p(x)dx}{A(x)E} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Molas submetidas à carga axiais respeitam a Lei de Hooke. P = k\delta \quad \text{Onde } k \text{ é a rigidez da mola.} f = \frac{1}{k} \quad \text{Onde } f \text{ é a flexibilidade da mola.} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Conceito de Tensão e Deformação Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão Normal e Deformação Barra de comprimento L: Alongamento da barra : δ (delta) Barra Esticada : Tensões Normais de Tração (+) Barra Comprimida : Tensões Normais de Compressão (-) Tensão Normal e Deformação Deformação Normal Específica: ϵ (épsilon): ϵ = δ/L Tensão Normal: σ (sigma) σ = P/A Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Um poste circular sólido ABC sustenta uma carga P1 de 45 Kg, como ilustrado na figura ao lado. Uma segunda carga P2 está uniformemente distribuída ao redor do chanfro em B. Os diâmetros das partes superior e inferior são 30mm e 60mm respectivamente. Calcule a tensão normal σAB na parte superior do poste. Qual será o valor da carga P2 para que a tensão de compressão σBC seja igual a σAB. Tensão Normal e Deformação Tensão Normal e Deformação Solução: σ_AB = P_1/A_AB = 45 × 9.81/π × (15 × 10^−3)^2 → σ_AB = 624.52kPa σ_BC = σ_AB σ_BC = (P_1 + P_2)/A_BC = (45 × 9.81 + P_2)/π × (30 × 10^−3)^2 = 624.52kPa Resolvendo: P_2 = 1324.33N = 135kg Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Diagramas de Tensão×Deformação Corpo de Prova e Máquina de Tração Ensaio de Tração Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Diagrama de Tensão×Deformação : aço estrutural, em tração Diagramas de Tensão×Deformação Ensaio de Tração Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson • A relação linear entre Tensão e Deformação para uma barra em tração ou compressão é expressa pela Lei de Hooke: σ = Eϵ onde E é chamado de módulo de Elasticidade ou módulo de Young. • Quando uma barra prismática é carregada em tração, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral (ϵ'). Assim, define-se o coeficiente de Poisson (ν) como sendo: ν = −Deformaçãolateral/Deformaçãoaxial = −ϵ'/ϵ Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão e Deformação de Cisalhamento • Quando a força aplicada está na direção transversal da barra, aparece um tipo de tensão diferente da tensão normal, chamada de tensão de cisalhamento, representada pela letra grega τ (tau) e definida como : τ = \frac{P}{A} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensão e Deformação de Cisalhamento • Quando o elemento estiver sujeito a cisalhamento duplo, temos : τ = \frac{P}{2A} Parafuso submetido a cisalhamento duplo Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Um punção é usado para fazer um furo em uma placa como ilustrado abaixo. Se uma força de 110kN é necessária, encontre a tensão de cisalhamento na placa e a tensão normal no punção. Tensão e Deformação de Cisalhamento Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • Um punção é usado para fazer um furo em uma placa como ilustrado abaixo. Se uma força de 110kN é necessária, encontre a tensão de cisalhamento na placa e a tensão normal no punção. Tensão e Deformação de Cisalhamento Tensão e Deformação de Cisalhamento Solução: τ = \frac{P}{A} = \frac{P}{\pi \times d \times t} = \frac{110 \times 10^3}{\pi \times (20 \times 10^{-3}) \times (8 \times 10^{-3})} → τ = 219MPa σ = \frac{P}{A} = \frac{110 \times 10^3}{\pi \times (10 \times 10^{-3})^2} → σ = 350.14MPa Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares • As tensões de cisalhamento tendem a causar uma modificação na forma do elemento, como ilustrado, pelo ângulo γ : Lei de Hooke em Cisalhamento : @ = 2 2(1 + A) Relação entre G, E e νννν : *G é o módulo de elasticidade para cisalhamento ou módulo de rigidez > = @B Tensão e Deformação de Cisalhamento Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Tensões Num Plano Oblíquo ao Eixo Axial Exemplo: Um elemento em tração deve ser construído a partir de duas peças de plástico coladas no plano pq, conforme ilustrado. Para fins de corte e colagem, o ângulo θ deve estar entre 25º e 45º.As tensões admissíveis na junta colada em tração e cisalhamento são 15MPa e 9MPa respectivamente. (a) Determine o ângulo θ de forma que a barra suporte a maior carga P (assuma que a resistência da junta colada controle o dimensionamento). Determine a máxima carga admissível Pmax se a área de seção transversal da barra é 900 mm2. Propriedades Mecânicas Médias de Materiais Típicos de Engenharia (Unidades SI) Densidade γ (t/m³) Módulo de Elasticidade E (GPa) Módulo de Elasticidade Transversal G (GPa) Tensão de Escoamento (MPa) σf e Tração Comp. Cisalha. Limite de Resistência (MPa) σr Tração Comp. Cisalha. % de Alongamento em Corpo de Prova de 50 mm Coeficiente de Poisson ν Coeficiente de Dilitacão Térmica α (10^{-6}/°C) Metálicos Ligas Forjadas de Alumínio — 2014-T6 — 6061-T6 Ligas de Ferro Fundido — Cinza ASTM 20 — Maleável ASTM A-197 Ligas de cobre — Latão Vermelho C83400 — Bronze C86100 Liga de Magnésio — [Am 1004-T61] Ligas de Aço — Estrutural A36 — Inoxidável 304 — Ferramentas L2 Liga de Titânio — [Ti-6Al-4V] Não metálicos Concreto — Baixa Resistência — Alta Resistência Plástico Reforçado — Kevlar 49 — 30% Vidro Madeira Selecionada — Abeto Douglas — Abeto Branco 2,79 2,71 7,19 7,28 8,74 8,83 1,83 7,85 7,86 8,16 4,43 2,38 2,38 1,45 1,45 0,47 3,60 73,1 68,9 67,0 172 101 103 44,7 200 193 200 120 22,1 29,0 131 72,4 13,1 9,65 27 26 27 68 37 38 18 75 75 75 44 — — 131 — — — 414 255 — — 70,0 345 152 250 207 703 924 — — — — — — 250 250 — — — — — — 400 517 703 1,000 12 38 — — 2,1fc 2,5fc 469 290 — 276 241 655 276 400 400 800 1,000 — — 717 90 — — 469 290 — 372 241 655 276 400 800 800 1,000 — — 483 131 2,6^d 3,6^d 290 186 — — — — 152 — — — — — 20,3 — 6,2^d 6,7^d 10 12 0,6 5 35 20 1 30 40 22 16 — — 2,8 — — — 0,35 0,35 0,28 0,28 0,35 0,34 0,30 0,32 0,27 0,32 0,36 0,15 0,15 0,34 0,34 0,29^e 0,31^e 23 24 12 12 18 17 26 12 17 12 9,4 11 11 — — — — Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Para uma barra prismática de comprimento L e sujeita a um carga P, se a tensão atuante não exceder o Limite de Proporcionalidade do material, ele obedece à Lei de Hooke: σ = Eε → ε = σ/E ⇒ ε = P/AE ε = δ/L → δ/L = P/AE → δ = PL/AE P: Força de tração ou compressão no elemento; L: Comprimento do elemento; A: Área da seção transversal do elemento; E: Módulo de Young do material do elemento. Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm² de área de seção transversal. Determinar o deslocamento final do rolete, em C, quando a carga W=10kN. Reações: ΣM_A = 0 → FC * (1.6 + 1.2) = W * 1.6 → FC = 57.24kN Nó C: ΣF_x = 0 → BC * cos(36.86°) = FC → BC = 71.55kN ΣF_y = 0 → BC * sin(36.86°) = AC → AC = 42.92kN Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm² de área de seção transversal. Determinar o deslocamento final do rolete, em C, quando a carga W=10kN. Portanto: 𝛿 = \frac{PL}{AE} = \frac{42.92 \times 10^3 \ast (1.2 + 1.6)}{200 \times 10^9 \ast 400 \ast 10^{-6}} → 𝛿 = 0.0015m = 1.5mm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: A treliça é feita de três elementos de aço A-36, com 400mm2 de área de seção transversal. Determinar a carga W requerida para deslocar o rolete de 0.2mm, para baixo. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Se a barra possui distintas seções axiais ou solicitações, aplica-se a Lei de Hooke por trechos, ou seja : 𝛿 = \sum_{i} \frac{P_iL_i}{A_iE_i} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Para aplicarmos a equação anterior, devemos estabelecer uma convenção de sinais para a força axial interna. Consideraremos força e deslocamento positivos se provocarem tração e alongamento e negativos, caso contrário. Assim, podemos escrever para a barra: 𝛿 = \sum_{i} \frac{P_iL_i}{A_iE_i} = \frac{5L_{AB}}{EA} + \frac{(−3)L_{BC}}{EA} + \frac{(−7)L_{CD}}{EA} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: O conjunto ilustrado abaixo, consiste de um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400mm2. Uma haste de aço de 10mm de diâmetro está acoplada ao colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80kN à haste, qual será o deslocamento da extremidade C? Dado: Eaço=200GPa e Eal=70GPa. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Experimento para o cálculo da rigidez de molas Mola M [g] | x [mm] | P [N] X_0 = k = \frac{P}{x} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: O dispositivo ilustrado abaixo consiste de um ponteiro ABC sustentado por uma mola de rigidez k=1400N/m. A mola está posicionada a uma distância b=200mm da extremidade A do ponteiro presa por um pino. O dispositivo está ajustado de forma que, quando não há nenhuma carga P, o ponteiro mostra zero na escala angular. Se a carga P=12N, a que distância x a carga deve ser posicionada de forma que o ponteiro leia 2o na escala? Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais Solução: Elemento ABC: ΣM_A = 0 → P * x = F_B * b → x = \frac{F_B * b}{P} Força na mola: F_B = kδ Ângulo do ponteiro: tg(2°) = \frac{δ}{b} Assim: x = \frac{k * tg(2°) * b * b}{P} x = \frac{1400 * tg(2°) * 0.2 * 0.2}{12} = 0.162 cm Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Estruturas que não possuem solução através da aplicação das leis da estática, são chamadas estruturas estaticamente indeterminadas. Barra estaticamente determinada : R=P1+P2 Barra estaticamente indeterminada : RA+RB=P Estruturas Estaticamente Indeterminadas Para solucionar este tipo de estrutura, usa-se a equação do alongamento, ou seja, dada a estrutura obtenha as reações em A e B. Equação de Equilíbrio: ΣF_VERT = 0 → R_A - P + R_B = 0 Alongamento da Barra: δ_AB = 0; δ_AC = \frac{R_A a}{EA}; δ_CB = \frac{(R_A - P)b}{EA} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Continuando... \delta_{AB} = 0 \rightarrow \delta_{AC} + \delta_{CB} = 0 \rightarrow \frac{R_A}{E * A} * a + \frac{(R_A-P)}{E * A} * b = 0 \rightarrow R_A * a + R_A * b - Pb = 0 \rightarrow R_A = \frac{Pb}{a+b} R_A + R_B = P \rightarrow \frac{Pb}{a+b} + R_B = P \rightarrow R_B = \frac{Pa}{a+b} Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Exemplo: Uma barra rígida AB de comprimento L=1600mm está articulada em A e sustentada por dois fios verticais nos pontos C e D. Ambos os fios tem área de seção transversal de 16mm2 e são feitos do mesmo material (E=200GPa). O fio em C tem comprimento h=0.4m e o fio em D tem comprimento duas vezes este valor. As distâncias horizontais são c=0.5m e d=1.2m. Determine as tensões de tração σC e σD nos fios devido à carga P=970N agindo na extremidade B da barra. Encontre o deslocamento para baixo δB na extremidade B da barra. Estruturas Estaticamente Indeterminadas Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: Estática: \sum M_A = 0 \rightarrow F_C * c + F_D * d = P * L Equação de compatibilidade: \frac{\delta_C}{c} = \frac{\delta_D}{d} = \frac{\delta_B}{L} \frac{F_C * h}{c * E * A_C} = \frac{F_D * 2h}{d * E * A_d} \rightarrow \frac{F_C}{c} = \frac{F_D * 2}{d} \rightarrow F_C = \frac{2 * c * F_D}{d} \rightarrow F_C = 0.84F_D Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: 0.84F_D * c + F_D * d = P * L \rightarrow 1.62F_D = P * L \rightarrow F_D = \frac{P * L}{1.62} \rightarrow F_D = 958.02N; F_C = 804.74N \sigma_D = \frac{958.02}{16 \times 10^{-6}} \rightarrow \sigma_D = 59.87MPa \sigma_C = \frac{804.74}{16 \times 10^{-6}} \rightarrow \sigma_C = 50.29MPa Retomando: \frac{\delta_C}{c} = \frac{\delta_D}{d} = \frac{\delta_B}{L} \rightarrow \delta_B = L * \frac{\delta_C}{c} = L * \frac{F_C * h}{c * E * A_C} = \frac{1.6 * \frac{804.74*0.4}{0.5 * 200 \times 10^9 * 16 \times 10^{-6}}} \rightarrow \delta_B = 0.0003216m Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares Estruturas Estaticamente Indeterminadas Exemplo: Determine as reações, em A e B, da barra de aço carregada abaixo. Solução: Estática: ΣF_y = 0 → R_A + R_B - 300 - 600 = 0 Equação de compatibilidade: δ_AB = 0 → δ_AD + δ_DC + δ_CK + δ_KB = 0 R_A * 0.15 / (E * 250 x 10^-6) + (R_A - 300) * 0.15 / (E * 250 x 10^-6) + (R_A - 300) * 0.15 / (E * 400 x 10^-6) + (R_A - 300 - 600) * 0.15 / (E * 400 x 10^-6) = 0 Resolvendo: R_A = 333.3185N; R_B = 566.6814N Estruturas Estaticamente Indeterminadas Exemplo: A viga AB rígida, ilustrada abaixo, repousa sobre duas colunas. A coluna AC é de aço e tem um diâmetro de 20mm e a coluna BD é de alumínio e tem diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F sobre AB, se uma carga vertical de 90 kN é aplicada neste ponto. R.: δδδδF=0.225mm Estruturas Estaticamente Indeterminadas Solução: Estática: ΣF_y = 0 → R_A + R_B = 90000 ΣM_A = 0 → R_B * 0.6 = 90000 * 0.2; → R_B = 30000N; R_A = 60000N Equação de alongamento: δ_AC = R_A * 0.3 / (200 x 10^9 * π * (10 x 10^-3)^2) = 2.8647 x 10^-4m δ_BD = R_B * 0.3 / (70 x 10^9 * π * (20 x 10^-3)^2) = 1.0231 x 10^-4m δ_A = δ_AC - δ_BD = 1.8416 x 10^-4 Equação de compatibilidade: δ_A / 0.6 = δ_F / 0.4 → δ_F = 1.2277 x 10^-4 δ_Ftotal = δ_F + δ_BD = 1.2277 x 10^-4 + 1.0231 x 10^-4 = 2.2509 x 10^-4m Estática e Introdução à Resistência dos Materiais - Prof. Álvaro M. S. Soares