Exercícios Resolvidos - Ondas Mecânicas - Física 3 2021-2

24 1- μ_1 = 3 g/m μ_2 = 5 g/m M = 500 g a) v em 1 e b) 2? Veja que a eq. de onda em uma corda esticada é ∂^2 y/∂x^2 - (μ/τ) ∂^2 y/∂t^2 = 0 (veja, obtenha a eq. 12 das anotações de aula) Assim, μ/τ = 1/v^2 → v = √(τ/μ) (1) 24 Na Fig. 16-38a, a corda 1 tem uma massa específica linear 3,00 g/m e a corda 2 tem uma massa específica linear 5,00 g/m. As cordas estão submetidas à tensão produzida por um bloco suspenso de massa M = 500 g. Calcule a velocidade da onda (a) da corda 1 e (b) da corda 2. (Sugestão: Quando uma corda envolve metade de uma polia exerce sobre a polia uma força duas vezes maior que a tensão na corda.) Em seguida, o bloco é dividido em dois blocos (com M_1 + M_2 = M) e o sistema é montado como na Fig. 16-38b. Determine (c) M_1 e (d) M_2 para que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ONDAS MECÂNICAS Então v_1 = \sqrt{\frac{T_1}{\mu_1}} \quad e \quad v_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu_2}} \quad (2) As tensões são produzidas por M que está ligada a uma roldana de forma que T = T_1 + T_2 \quad e \quad T_1 = T_2 = \frac{T}{2} \quad (3) e \quad T = Mg \quad (4) Assim (4) e (3) na (2) vem, v_1 = \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_1}} = \sqrt{\frac{500g \cdot 9,8m/s^2}{2 \cdot 2,3g/m}} = 28,6m/s \newline v_2 = \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_2}} = \sqrt{\frac{500g \cdot 9,8m/s^2}{2 \cdot 5,8g/m}} = 22,1m/s c) e d) M_1 e M_2 na segunda figura. Nesse caso \quad v_1 = v_2 \quad (5) \iff \quad \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_1}} = \sqrt{\frac{M_2g}{2\mu_2}} e M = M_1 + M_2 \quad (6) de (6) \quad M_2 = M - M_1 \quad (7) (7) na (5) e na (2) temos: \sqrt{\frac{Mg}{2\mu_1}} = \sqrt{\frac{(M - M_1)g}{2\mu_2}} \implies \sqrt{\frac{M_1}{\mu_1}} \sqrt{\frac{g}{2}} = \sqrt{\frac{(M - M_1)}{\mu_2}} \, \sqrt{\frac{g}{2}} \sqrt{\frac{M_1}{\mu_1}} = \sqrt{\frac{(M_1 - M_1)\mu_1}{\mu_2}} = \sqrt{\frac{M_1 \mu_1}{\mu_2}} \implies M_1 + M_1 = M \implies M_1 \left(1 + \frac{\mu_2}{\mu_1}\right) = M M_1 = \frac{M}{1 + \frac{\mu_2}{\mu_1}} = \frac{500g}{1 + \frac{5}{3}} \approx 188g M_2 = M - \frac{M}{1 + \frac{\mu_2}{\mu_1}} = M \left(1 - \frac{1}{1 + \frac{\mu_2}{\mu_1}}\right) = M \left(1 - \frac{M_1}{M_1 + M_2}\right) M_2 = M \left(\frac{M_1 + M_2 - M_1}{M_1 + M_2}\right) = M\left(\frac{M_2}{M_1 + M_2}\right) M_2 = 500g \left(\frac{5}{3 + 5}\right) \approx 313g •••34 Uma onda senoidal de frequência angular 1200 rad/s e amplitude 3,00 mm é produzida em uma corda de massa específica linear 2,00 g/m e 1200 N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia é transportada pela onda para a extremidade oposta da corda? (b) Se, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em uma corda vizinha, de mesmas características, qual é a taxa média total com a qual a energia é transportada pelas ondas à extremidade oposta das duas cordas? Se, em vez disso, as duas ondas são produzidas ao mesmo tempo na mesma corda, qual é a taxa média total com a qual transportam energia quando a diferença de fase entre elas é (c) 0, (d) 0,4π rad e (e) π rad? ω = 1200 rad/s A = 3 mm µ = 2 g/m τ = 1200 N (a) taxa média de energia = P_média P_média = \frac{1}{2} \sqrt{µ τ} ω^2 A^2 P_média = \frac{1}{2} \sqrt{2x10^{-3} kg/m. 1200 N} (1200 rad/s)^2 (3x10^{-3} m)^2 P_média = 10 W (b) Havendo 2 ondas distintas, P_média = 20 W 2 ondas iguais produzidas simultaneamente na mesma corda. Qual é P_média para: (c) φ = 0 y_1 = A \cos(kx - ωt) (3) y_2 = A \cos(kx - ωt + φ) (4) φ = 0 a onda resultante será y = y_1 + y_2 = 2A \cos(kx - ωt) com isso (2) fica P_média = \frac{1}{2} \sqrt{µ τ} ω^2 (2A)^2 = 4 P_média original = 40 W (d) se φ = 0,4π rad y = y_1 + y_2 = 2A \cos(\frac{φ}{2}) \cos(kx - ωt + \frac{φ}{2}) isso implica que na (2) teremos A' = 2A cos 0,4\pi / 2 A' = 1,618A, ou seja P'médio = (1,618)^2 P(a) médio = 26,2 W d) \phi = \pi rad b) A' = 2A cos \pi / 2 = 0 -> "interferência destrutiva". ∴ P'médio = 0 59 Na Fig. 16-45 um fio de alumínio, de comprimento L_1 = 60,0 cm, seção reta 1,00 x 10^-2 cm^2 e massa específica 2,60 g/cm^3, está soldado a um fio de aço de massa específica 7,80 g/cm^3 e mesma seção reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m = 10,0 kg, está disposto de tal forma que a distância L_2 entre o ponto de solda e a polia é 86,6 cm. Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de frequência variável; um nó está situado na polia. (a) Determine a menor frequência que produz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) Quantos nós são observados para esta frequência? 59 a) f_min p/ onda estacionária? Nesse caso a frequência é a mesma em ambas as cordas e, estando elas conectadas a massa m a Tensão T tb é a mesma, assim temos v_1 = \sqrt{\frac{T}{\mu_1}} = v_2 = \sqrt{\frac{T}{\mu_2}} além disso v_1 = \lambda f = v_2 = \lambda f (3) L1 = 60cm área = 1 x 10^-2 cm^2 f1 = 2,6 g/cm^3 f2 = 7,8 g/cm^3 m = 10 kg L2 = 86,6 cm Vamos supor que L₁ tenha n₁ nós e L₂ tenha n₂. Obs.: Veja que para se ter ondas estacionárias há necessi- dade de sobreposição de ondas geradas por reflexões na parede (que é um nó) na ponta e na polia. Assim, o número de nós é definido tal que, y = y₁ + y₂ = [2A sen kx] cos ωt \\ <- G sen kx = 0 p/ nós kx = nπ -> x = nπ/k = n λ/2 -> λ = 2L/n = n λ/2 (4) Como visto, da (4) vem: L₁ = n₁ λ₁/2 = n₁ v₁/2f (5) e L₂ = n₂ λ₂/2 = n₂ v₂/2f (6) como f₁ = f₂ da (6) e da (5) vem, λ₁ v₁/2L₁ = n₂ v₂/2L₂ -> n₁ v₁/L₁ = n₂ v₂/L₂ (7) Notem que v = √(T/μ) onde μ é a densidade linear de massa das cordas, mas o problema nos dá a massa específica volumétrica! Assim, a massa de L₁ é m₁ = L₁ V₁ = ∫ A₁ L₁ \\ área de seção transversal (8) e μ₁ = m₁/L₁ = ∫ A₁ (9) ² v₁² = (T/ρ₁ A₁) (10) e v₂² = √\(T/ρ₂ A₁) (11) A₁ = A₂ pelo problema (10) e (11) na (7) \\n\n₁/n₂ = v₂ L₁/v₁ L₂ = √(\ρ₁/ρ₂) L₁/L₂ = √(2,610³ kg/m³/7,8·10³ kg/m³) L₁/L₂ = √(0,600 m/0,866 m) n₁/n₂ = 0,4 A menor frequência estará associada ao menor número de nós cuja razão dê 0,4. Isso só dá para n₁ = 2 e n₂ = 5. Com isso \f = \n₁ v₁/2L₁ = \n₂ v₂/2L₂ = n₁/2L₁ √(T/\ρ₁ A₁) = n₂/2L₂ √(T/\ρ₁ A₁) = = 324 Hz \\ <- resposta do \\\ <- item (b)! Total de 8 nós contando os fins! 60 Na Fig. 16-44 uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por um bloco de massa m. A distância entre P e Q é L = 1,20 m, e a frequência do oscilador é f = 120 Hz. A amplitude do deslocamento do ponto P é suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto Q. Uma onda estacionária aparece quando a massa do bloco é 286,1 g ou 447,0 g, mas não aparece para nenhuma massa entre esses dois valores. Qual é a massa específica linear da corda? 60 \mu = ? \nL = 1,2 m \nf = 120 Hz \nonda estacionária para \nm = {286,1 g \n447,0 g \nLembrando a condição para se ter ondas estacionárias \nsen kx = 0 (nós) => kx = n\pi , n = 0,1,2,... (1) \nk = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{v/f} = \frac{2\pi f}{v} (2) \nno caso do problema, x = L (3), então temos \n\frac{2\pi}{L} = n\pi -> f = \frac{nv}{2L} (4) é a freq. de ressonância Ainda, v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} (5) (deduz novamente!); \nentão (4) e (5) temos \nf = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\mu}}, com n = 1,2,3,... (6) \nVê-se que a massa interpé nos onda harmônicas, então, de (6) vêm. \nm = \frac{4L^2f^2\mu}{n^2g} (7) \nSe cada massa mencionada está relacionado com uma onda estacionária, temos. \n\frac{n^2}{\frac{mg}{4L^2f^2\mu}} (8) A massa é inversamente proporcional a n^2. Se, então, há harmônicos para n=286,1g e para m=447g, sem haver ressonância para valores intermediários, então um harmônico é seguido do outro, ou seja, se para m=447g e há n^2 nós, para m=286,1g haverá (n+1)^2 nós. Com isso vem \[ \frac{447g}{286,1g} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2} = 1 + \frac{2n+1}{n^2} \] (9) Assim temos \[ \frac{2n+1}{n^2} = \frac{447}{286,1} - 1 = 0,5624 \] (10) ou \[2n+1 = 0,5624 \cdot n^2 \] (10b) Veja que n sendo inteiro, \(2n+1\) é um número ímpar \[2n+1 = 1, 3, 5, 7, \cdots \] pt \(n = 1, 2, 3, 4, \ldots \] (11) Assim, o harmônico ocorrerá quando \(n^2 \cdot 0,562\) for inteiro, \[1 \cdot 0,5624 = 0,5624\] \[4 \cdot 0,5624 = 2,25\] \[9 \cdot 0,5624 = 5,062\] \[16 \cdot 0,5624 = 8,9984\] \[25 \cdot 0,5624 = 14,06\] {16 \cdot 0,5624 = 8,998409} Assim, n = 4 para m = 447g Esses valores no (8) vem \[\mu = \frac{m g n^2}{4 L^2 f^2} \] = \[0,447 \text{kg} . 9,8 \text{m/s}^2 . 4^2 \] / \[4 \cdot (1,2 \text{m}) \cdot (120 \text{Hz})^2 \] \[\mu = \frac{8,45 \times 10^{-4} \text{kg}}{\text{m}} = 0,845 \text{g/m} \] 86 Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por \[y_1 = 0,050 \cos(\pi x - 4 \pi t)\] \[y_2 = 0,050 \cos(\pi x + 4 \pi t)\] onde x, y_1 e y_2 estão em metros e t está em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó? Começando em t=0, qual é o valor do (b) primeiro, (c) segundo e (d) terceiro instantes em que a partícula situada em x=0 tem velocidade nula? 86 y y1 y1(x,t) = 0,05 cos(πx - 4πt) (1) y y2 y2(x,t) = 0,05 cos(πx + 4πt) (2) Vejam que \nu_1 ⇒ πx - 4πt = C → x = \frac{C + 4t}{π} = \frac{D + 4t}{π} \frac{dx}{dt} = \frac{4 \nu}{π} = \nu_1 ou \vec{\nu}_x = \frac{4 \nu}{π}\hat{i} \nu_2 ⇒ πx + 4πt = C' → x = \frac{C' - 4t}{π} \frac{dx}{dt} = -\frac{4 \nu}{π} = \nu_2 ou \vec{\nu}_x = \frac{4 \nu}{π}(-\hat{i}) y(x,t) = y1 + y2 = A[cos(kx - wt) + cos(kx + wt)] (3) como, cos α + cos β = 2 cos(\frac{α + β}{2}) cos(\frac{α - β}{2}) (4) termos, y(x,t) = 2A cos(\frac{kx - wt + kx + wt}{2}) cos(\frac{kx - wt - kx - wt}{2}) = 2A cos(kx) cos(wt) (5) ou y(x,t) = 0,1 cos(πx) cos(\tilde{4}π t) a) O menor valor de x para um nó, ou seja, o menor valor de x p1 cos πx = 0 → πx = (\tilde{n}π/2) com n=0,1,2... Com isso, o menor valor de x = \frac{1}{2} b) qual o t para, estando em x=0 a partícula tem vy = 0? \nu_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 2A cos(πx) [-sen(wt) \cdot ω] (6) ou \nu_y = 0,1 cos(πx) [-4π \cdot sen(\tilde{4}π t)] (6b) entao y|x=0 \nu_y = 0,1 [-4π \cdot sen(\tilde{4}π t)] = 0 Com isso, os valores de t que dão vy = 0 são a) t = 0 c) sen(4πt) = 0 -> 4πt = nπ t = 1/4 n, n = 0,1,2... t = 1/4 . 1 = 0,25μ d) t = 1/4 .2 = 1/2 = 0,5μ