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Física Médica ·
Física 4
· 2022/2
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“I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something”. Richard Feynman, Prémio Nobel de Física 1965 Fótons e Ondas de Matéria 1-(0,3 ponto) Construa o gráfico da radiância espectral em função do comprimento de onda de um corpo negro proposta por Planck para as temperaturas T1= 1000 K, T2 = 1200 K, T3=1300 K e T4= 1400 K . Verifique que as posições dos máximos satisfazem a lei do deslocamento de Wien. Baseado nos gráficos, proponha um método que permita verificar que a relação entre as áreas é proporcional a quarta potência da relação entre as temperaturas (Lei de Stefan-Boltzmann). 2- (0,3 ponto) Construa um gráfico da energia do fóton espalhado Ef no efeito Compton, como função do ângulo de emissão do fóton θ para uma energia incidente de Ei = 50 MeV. Explique, considerando a conservação da energia e do momento linear, o que acontece quando o fóton é espalhado formando um ângulo de 180º. Qual você acha que pode ser o papel deste tipo de cálculo para a segurança radiológica? 3- (0,2 ponto) No seguinte potencial degrau, defina o sistema de equações para resolução da equação de Schrodinger baseado na continuidade da função de onda e da sua derivada para uma partícula que se desloca de esquerda para direita com E<V0. 4- (0,2 ponto) Poço quadrado infinito Resolva (obter função de onda e valores de energia), utilizando a equação de Schrodinger, o problema do elétron confinado num poço quadrado infinito unidimensional de largura a . Construa o gráfico da função de onda dos primeiros 6 estados considerando a=10 nm. Elabore um gráfico dos níveis de energia correspondentes. Explique o que acontecerá com o espaçamento entre os níveis de energia se o poço diminuir a sua largura para a metade do tamanho original. Átomo 1- (0,2 ponto) Descreva, com as suas palavras, as semelhanças e diferenças entre o modelo de Bohr e a formulação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio. 2- (0,2 ponto) Construa os gráficos da parte radial e do quadrado da função de onda do átomo de hidrogênio para n=3. Faça alguns comentários relevantes com relação aos gráficos. 3- (0,2 ponto) Como você explicaria para uma pessoa “leiga” o significado dos números quânticos n, l, ml, s e ms do átomo de hidrogênio? 4- (0,2 ponto) Explique, para alguém que não tem nenhum conhecimento de física, o experimento de Stern e Gerlach. 5- (0,2 ponto) Coloque a seguir tudo o que você “entendeu” com relação ao conceito de spin. Física Nuclear 1- (0,2 ponto) Para os radioisótopos a seguir (que são produzidos em reatores nucleares) construa uma tabela com as seguintes propriedades: Meia vida Modo de decaimento Energia de ligação do próton 𝑆𝑝 Energia de ligação do nêutron 𝑆𝑛 Energia de ligação da partícula 𝑄𝛼 Energia de ligação por núcleon. Utilize este link: https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html Isótopos: 137Cs, 60Co, 51Cr, 131I, 59Fe, 99Mo, 42K e 223Ra 2- (0,2 ponto) Pesquise ao menos uma aplicação médica de cada radioisótopo do exercício anterior. 3- (0,6 ponto) A energia de ligação de um próton (energia necessária para remover um próton do núcleo) pode ser calculada empregando a expressão: 𝑆𝑝 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍−1,𝐴𝑐2 + 𝑀𝑝𝑐2). Uma expressão semelhante pode ser definida para energia de ligação do nêutron: 𝑆𝑛 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍,𝐴−1𝑐2 + 𝑀𝑛𝑐2). Para clusters de partículas, também pode ser definida esta magnitude. No caso da partícula , teremos: 𝑄𝛼 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍−2,𝐴−4𝑐2 + 𝑀2,4𝑐2). Calcule a energia de ligação de próton, nêutron e da partícula nos isótopos solicitados. Utilize os valores de massas nucleares calculados empregando a fórmula de Weizsacker: 2 , ) ( c E M Z A Z M M Lig n p Z A − − + = , onde ( ) ( , ), 2 , ) ( 2 / 3 1 2 2/ 3 Z A A Z A a A Z a A a A a Z A E A C S V Lig + − − − − = − = = = = = par par e 12 ímpar 0 ímpar ímpar e 12 , ) ( ,285 23 697 ,0 17,23 ,56 15 N Z MeV A A MeV N Z MeV A A Z MeV a MeV a MeV a MeV a A C S V Compare com os resultados da tabela do exercício 1. Os gráficos foram obtidos de https://phet.colorado.edu/sims/html/blackbody- spectrum/latest/blackbody-spectrum_en.html Para 1000 K: Para 1200 K Para 1300 K Para 1400 K Verificando a Lei de Wien: 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 𝑇 (𝑒𝑚 𝜇𝑚) Para 𝑇 = 1000 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1000 = 2.898 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1200𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1200 = 2.415 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1300 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1300 = 2.229 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1400 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1400 = 2.070 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico. Os dados obtidos correspondem com a Lei de Deslocamento de Wien. Uma maneira de verificar a relação entre áreas e temperaturas na curva de radiância espectral de um corpo negro proposta por Planck é através do uso de trapezoides. 1. Trace o gráfico da radiância espectral em função do comprimento de onda para dois corpos negros com temperaturas diferentes, 𝑇1 e 𝑇2. 2. Escolha uma faixa de comprimentos de onda, digamos entre 𝜆1 e 𝜆2, e trace trapezóides abaixo dessa faixa para os dois corpos negros. 3. Calcule as áreas dos trapezóides e divida a área do trapezóide do corpo negro com temperatura 𝑇1 pela área do trapezóide do corpo negro com temperatura 𝑇2. 4. Calcule a relação entre as temperaturas 𝑇1 e 𝑇2 e eleva-o a quarta potência. 5. Compare o resultado obtido do passo 3 com o resultado obtido do passo 4. Se eles são próximos, isso sugere que a relação entre as áreas dos trapezóides é proporcional a quarta potência da relação entre as temperaturas, confirmando a lei de Stefan-Boltzmann. É importante lembrar que esse é apenas um método experimental para verificação da lei de Stefan-Boltzmann e que existem diversas formas de se aplicar essa lei. A fórmula comum do efeito Compton é : 𝜆 = 𝜆0 + ℎ 𝑚𝑒𝑐 (1 − cos 𝜃) Porém, o enunciado fornece a energia incidente. Então precisamos manipular a equação acima para que tenhamos a energia do fóton em função de 𝜃 com uma energia inicial 𝐸0 igual a 50 𝑀𝑒𝑉 Dividindo a equação por ℎ𝑐: 𝜆 ℎ𝑐 = 𝜆0 ℎ𝑐 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 Mas: 𝐸 = ℎ𝑐 𝜆 1 𝐸 = 1 𝐸0 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 𝐸 = 1 1 𝐸0 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 Substituindo com os seguintes dados: 𝐸0 = 50 𝑀𝑒𝑉 = 8.011 · 10−12 𝐽 𝑚𝑒 = 9.109 · 10−31 𝑘𝑔 𝑐 = 2.998 · 108 𝑚 𝑠 Então: 𝐸 = 1 1 8.011 · 10−12 + 1 − cos 𝜃 9.109 · 10−31 · (2.998 · 108) Simplificando: 𝐸 = 1 3.662 · 1021(1 − cos 𝜃) + 1.248 · 1011 Plotando para 0 < 𝜃 < 2𝜋: O cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento no Efeito Compton é importante para entender como a energia de um fóton é transferida para um elétron. Isso tem implicações na segurança radiológica porque a quantidade de energia transferida para os elétrons em um material pode afetar a sua estabilidade e potencialmente causar danos celulares. Entender como a energia de um fóton é transferida para os elétrons em um material é crucial para avaliar a dose de radiação que um indivíduo pode receber e como essa dose pode afetar a saúde. Isso é importante para estabelecer limites de segurança para a exposição à radiação e para desenvolver medidas de proteção contra a exposição à radiação. Além disso, o cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento também é importante para aplicações de diagnóstico médico, como tomografia computadorizada, onde a precisão da medida de energia é importante para obter imagens de alta qualidade. Em resumo, o cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento no Efeito Compton é uma ferramenta importante para entender como a radiação afeta os materiais e os organismos vivos, o que é fundamental para a segurança radiológica e para o desenvolvimento de técnicas de diagnóstico médico. Dando uma olhada da Equação de Schrödinger independente do tempo é: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 + 𝑉(𝑥)𝜓 = 𝐸𝜓 Cujas soluções são, para 𝑉𝑛 > 𝐸 são: 𝜓0(𝑥) = 𝐶1 cosh(𝑘0𝑥) + 𝐶2 sinh(𝑘0𝑥) Onde: 𝑘0 = √2𝑚(𝑉0 − 𝐸) ℏ2 Então, para 0 < 𝑥 < 𝑎, podemos escrever: ( 𝜓0(𝑥) 𝑑𝜓0(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘0𝑥) 𝑘0 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘0𝑥) ) ( 𝜓0(0) 𝑑𝜓0(0) 𝑑𝑥 ) Porém, temos um potencial maior ainda em 𝑥 = 𝑎 Nesse caso, a solução é: 𝜓𝑎(𝑥) = 𝐶1 cosh(𝑘𝑎𝑥) + 𝐶2 sinh(𝑘𝑎𝑥) Onde: 𝑘𝑎 = √2𝑚(2𝑉0 − 𝐸) ℏ2 Então, para 𝑥 > 𝑎, podemos escrever: ( 𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘0𝑥) 𝑘0 𝑘𝑛 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘0𝑥) ) ( cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘𝑛 sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) ) ( 𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝑥 ) Fundindo as duas matrizes quadradas em uma só: ( 𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( 𝑘0 cosh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + sinh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘0 𝑘0 cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘0𝑘𝑎 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + cosh(𝑘0𝑥) 𝑘𝑎 sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + cosh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘𝑎 ) ( 𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝑥 ) Essas são as expressões requeridas. Usando a equação de Schrödinger independente do tempo: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 + 𝑉(𝑥)𝜓 = 𝐸𝜓 A solução para 𝑉0 > 𝐸 𝜓(𝑥) = 𝜓0𝑒−𝑘𝑥 Com 𝑘 = √2𝑚(𝑉0 − 𝐸) ℏ Porém, para potencial infinito, 𝑉0 → ∞ e consequentemente, 𝑘 → ∞ e 𝜓(𝑥) → 0. Então, fora da caixa, a função de onda é nula. Para dentro da caixa: 𝑉0 = 0 E a equação de Schrödinger fica: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 = 𝐸𝜓 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 = −𝑘2𝜓(𝑥) Onde: 𝑘2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 Ao se resolver essa equação diferencial, tem-se: 𝜓𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Com: 𝑛 = 1,2,3, … Como existe a condição de normalização: ∫ |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥 ∞ −∞ = 1 Então: 𝐴 = √2 𝐿 Então: 𝜓𝑛(𝑥) = √2 𝐿 sin (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Plotando, para 𝐿 = 10𝑚𝑚 e 𝑛 = 1 𝑛 = 2 𝑛 = 3 𝑛 = 4 𝑛 = 5 𝑛 = 6 Quanto aos níveis de energia. Lembrando que 𝑘𝑛 2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 𝑛2𝜋2 𝐿2 = 2𝑚𝐸𝑛 ℏ2 𝐸𝑛 = 𝑛2𝜋2ℏ2 2𝑚𝐿2 Mas: ℏ = ℎ 2𝜋 logo: 𝐸𝑛 = 𝑛2𝜋2ℎ2 2𝑚𝐿2(2𝜋)2 𝐸𝑛 = 𝑛2ℎ2 8𝑚𝐿2 Para 𝑛 = 1 𝐸1 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 6.02 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 2 𝐸2 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 24.1 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 3 𝐸3 = 32(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 54.2 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 4 𝐸4 = 42(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 96.4 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 5 𝐸5 = 52(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 151 · 10−34𝐽 Para 𝑛 = 6 𝐸6 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 217 · 10−34 𝐽 Colocando no gráfico: O espaçamento entre energia será: ∆𝐸𝑛 = (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚𝐿² Então, se o espaçamento diminuir pela metade, o novo espaçamento é: ∆𝐸𝑛 ′ = (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚 (𝐿 2) 2 = 4 (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚𝐿2 = 4∆𝐸𝑛 Então, o espaçamento energético aumenta em 4 vezes. O modelo de Bohr e a formulação de Schrödinger são ambos teorias científicas que tentam explicar como os elétrons se comportam no átomo de hidrogênio. O modelo de Bohr, proposto por Niels Bohr em 1913, sugere que os elétrons orbitam o núcleo do átomo em níveis de energia discretos, chamados de níveis de quantização. Ele também propõe que a transição de um elétron de um nível de energia para outro é acompanhada pela emissão ou absorção de uma fóton de energia específica. Já a formulação de Schrödinger, proposta por Erwin Schrödinger em 1926, descreve o elétron como uma onda matemática, conhecida como função de onda. A função de onda pode ser usada para calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma dada posição no espaço ao redor do núcleo do átomo. As semelhanças entre esses dois modelos são que ambos propõem a quantização da energia e a existência de níveis de energia discretos. Porém, a principal diferença é que o modelo de Bohr descreve os elétrons como partículas e a formulação de Schrödinger descreve os elétrons como ondas. A primeira observação é que existem 3 soluções para a função de onda quando 𝑛 = 3 A primeira ocorre quando o número quântico do momento angular ℓ é igual a 0 (ℓ = 0) 𝜓30(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 2 81√3 (27 − 18𝑟 𝑎0 + 2𝑟2 𝑎0 ) 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 Onde 𝑎0 = 5.29 · 10−11 𝑚 é o raio de Bohr. Logo, o gráfico da função de onda para ℓ = 0 é: E o gráfico da densidade de probabilidade |𝜓(𝑟)|² é (não normalizado): Para ℓ = 1: 𝜓31(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 4 81√6 (6 − 𝑟 𝑎0 ) 𝑟 𝑎0 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 O gráfico da função de onda é: O gráfico da densidade de probabilidade é muito complexo para que meu programa de gráfico consiga executar: Para ℓ = 2 𝜙32(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 4 81√30 𝑟² 𝑎0² 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 Plotando o gráfico da função de onda: E a densidade de probabilidade não pode ser poltada pelo meu programa de gráficos. Os números quânticos são usados para descrever a distribuição espacial dos elétrons em um átomo. Eles são designados por letras, como n, l, ml, s e ms. O número quântico principal, n, descreve o nível de energia do elétron. Quanto maior o valor de n, maior é a energia do elétron e mais longe ele está do núcleo do átomo. O número quântico angular, l, descreve a forma da órbita do elétron. Ele pode assumir valores de 0 até n-1. Quanto maior o valor de l, maior é a distorção da órbita em relação a uma esfera. O número quântico magnético, ml, descreve a orientação da órbita do elétron no espaço. Ele pode assumir valores de -l até l. O número quântico spin, s, descreve a orientação do spin do elétron. Ele pode assumir valores de 1/2. O número quântico spin magnético, ms, descreve a orientação do spin magnético do elétron. Ele pode assumir valores de -1/2 ou 1/2. O experimento de Stern-Gerlach é um experimento clássico na física quântica que ilustra a natureza dual dos elétrons, como partículas e ondas ao mesmo tempo. O experimento consiste em passar um feixe de elétrons através de um campo magnético não-uniforme. Antes de passar pelo campo magnético, os elétrons têm um spin (uma espécie de "giro" que os elétrons possuem) que é desconhecido. Quando os elétrons passam pelo campo magnético, o spin dos elétrons interage com o campo magnético, fazendo com que os elétrons sejam desviados em diferentes direções. O resultado é que os elétrons não mais se comportam como uma única onda, mas sim como duas ondas distintas, que são desviadas para diferentes direções. Isso mostra que os elétrons possuem uma propriedade chamada spin, que é uma propriedade quantizada, ou seja, pode assumir apenas valores discretos. Em termos gerais, o experimento de Stern-Gerlach mostrou que os elétrons possuem propriedades quânticas, ou seja, propriedades que só podem ser descritas por números inteiros e não por valores contínuos. O spin é uma propriedade quântica dos elétrons, que descreve a orientação do elétron no espaço. Ele é descrito como uma espécie de "giro" que os elétrons possuem. O spin dos elétrons pode ser medido como 1/2 ou -1/2, isso significa que ele é quantizado e só pode assumir valores discretos. O spin interage com campos magnéticos, causando desvios na trajetória dos elétrons. O experimento de Stern-Gerlach é um exemplo clássico de como o spin dos elétrons pode ser medido e mostra a natureza quântica dos elétrons. Isótopo Meia vida (s) Modo de decaimento Energia de ligação do próton 𝑆𝑝 (keV) Energia de ligação do nêutron 𝑆𝑛 (𝑘𝑒𝑉) Energia de ligação da partícula 𝛼 𝑄𝛼 (keV) Energia de ligação por núcleon (keV) 𝐶𝑠 137 949232333 𝛽− 7405,6 8278,2 −3113 8388,958 𝐶𝑜 60 166344192 𝛽− 8274.5 7491.92 −7163.7 8746.769 𝐶𝑟 51 2393626 Captura de elétron 9516.45 9260.67 −8938.02 8711.992 𝐼 131 693377 𝛽− 7378.7 8578 −2231.7 8422.298 𝐹𝑒 59 3843936 𝛽− 12126.4 6581.00 −7979.5 8754.775 𝑀𝑜 99 237326 𝛽− 9734 5925.44 −2735.1 8607.798 𝐾 42 44478 𝛽− 9243.5 7533.80 −7648.83 8551.257 𝑅𝑎 223 987552 𝛼 6434 5158 5978.99 7685.310 • 𝐶𝑠 − 137adioisót O césio-137 é um radioisótopo que é amplamente utilizado em várias aplicações, incluindo a medicina, a indústria e a ciência. Alguns exemplos de aplicações médicas incluem: Medição de densidade óssea: O césio-137 é usado para medir a densidade mineral óssea, que é importante para avaliar o risco de fraturas ósseas. Isso é realizado através de uma técnica chamada densitometria óssea, que usa uma pequena quantidade de césio-137 para medir a densidade óssea em diferentes partes do corpo. Tratamento de tumores: O césio-137 também é usado para tratar tumores cancerígenos. Ele é colocado no tumor através de uma sonda ou injeção, e sua radiação é usada para matar as células cancerígenas. Radioimunoensaio: O césio-137 é usado em testes laboratoriais conhecidos como radioimunoensaios (RIA) para medir a quantidade de certas proteínas, hormônios e outras substâncias no sangue. É um método muito sensível e específico. Além disso, o césio-137 também é usado em várias aplicações industriais e de pesquisa, como a medição de espessura de materiais e a detecção de vazamentos em tubulações. • 𝐶𝑜 − 60 Radioterapia: O Cobalto-60 é usado para tratar câncer através da radioterapia externa. Ele é colocado em uma fonte de radiação externa que é direcionada para o tumor. A radiação é usada para matar as células cancerígenas e reduzir o tamanho do tumor. Esterilização de equipamentos médicos: O Cobalto-60 é usado para esterilizar equipamentos médicos, como seringas, instrumentos cirúrgicos, e até mesmo alimentos, como frutas e verduras. A radiação é usada para matar bactérias e outros microrganismos presentes nos equipamentos e alimentos. Produção de radiofármacos: O Cobalto-60 é usado para produzir radiofármacos, que são substâncias radioativas que são usadas em exames de imagem médicos, como a tomografia por emissão de pósitrons (PET). • 𝐶𝑟 − 51 Estudos de fluxo sanguíneo: O cromo-51 é usado para medir o fluxo sanguíneo em diferentes partes do corpo, como o coração e os rins. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia, que usa uma pequena quantidade de cromo-51 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo cromo-51 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização do fluxo sanguíneo. Estudos de função renal: O cromo-51 é usado para medir a função renal, ou seja, como os rins estão funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada nefrocintilografia, que usa uma pequena quantidade de cromo-51 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo cromo-51 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função renal. • 𝐼 − 131 Diagnóstico e tratamento de doenças da tireoide: O iodo-131 é usado para diagnosticar e tratar doenças da tireoide, como o hipertireoidismo e o câncer de tireoide. Ele é administrado oralmente e é absorvido pela tireoide, permitindo que os médicos visualizem a tireoide com imagens de medicina nuclear e, em casos de câncer, tratar o tumor com radiação. Tratamento de doenças metastáticas: O iodo-131 é usado para tratar câncer metastático, quando o câncer se espalhou para outras partes do corpo. Ele é administrado oralmente e é absorvido pelas células cancerígenas, permitindo que a radiação matar as células cancerígenas. Eliminação de cistos tireoidianos: O iodo-131 é utilizado para eliminar cistos tireoidianos, que são tumores benignos da tireoide, ele é administrado oralmente e é absorvido pelo cisto, permitindo que a radiação matar as células do cisto. • 𝐹𝑒 − 59 Estudos de fluxo sanguíneo: O ferro-59 é usado para medir o fluxo sanguíneo em diferentes partes do corpo, como o coração e os rins. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia, que usa uma pequena quantidade de ferro-59 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo ferro-59 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização do fluxo sanguíneo. Estudos de função hepática: O ferro-59 é usado para medir a função hepática, ou seja, como o fígado está funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia hepática, que usa uma pequena quantidade de ferro-59 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo ferro-59 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função hepática. Estudos de função muscular: O ferro-59 é usado para medir a função muscular, como no caso do estudo de miocintilografia que permite detectar alterações na musculatura, como danos, infartos, entre outros. • 𝑀𝑜 − 99 Estudos de função renal: O molibdênio-99 é usado para medir a função renal, ou seja, como os rins estão funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada nefrocintilografia, que usa uma pequena quantidade de molibdênio-99 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo molibdênio-99 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função renal. Estudos de função do sistema cardiovascular: O molibdênio-99 é usado para medir a função do sistema cardiovascular, como no caso do estudo de miocárdio, que permite detectar alterações na musculatura cardíaca, como danos, infartos, entre outros. Estudos de função pulmonar: O molibdênio-99 é usado para medir a função pulmonar, como no caso do estudo de ventilação/perfusão, que permite detectar alterações na função pulmonar e detectar possíveis problemas como embolismos pulmonares e doenças pulmonares obstrutivas. • 𝐾 − 42 Até o ano de 2020 (desconheço se houve algum avanço na área após esse ano), o potássio-42 é um radioisótopo raro e não é amplamente utilizado em aplicações médicas, até o meu conhecimento atual, não há aplicações médicas conhecidas para o potássio-42 (já o potássio-40 tem várias aplicações na medicina nuclear). • 𝑅𝑎 − 223 O rádio-223 é um radioisótopo alfa-emissor utilizado em aplicações médicas para tratar certos tipos de câncer, como o câncer de próstata resistente à castração. Ele é administrado por via intravenosa e se liga aos ossos, onde o câncer de próstata frequentemente se espalha. A radiação emitida pelo rádio- 223 é absorvida pelas células cancerígenas, matando-as e aliviando dor óssea. O rádio-223 também pode ser usado para tratar outros tipos de câncer, como o câncer de mama e o câncer colorretal. Calculando a energia de ligação de cada isótopo pela fórmula: 𝐸𝑙𝑖𝑔 = 𝑎𝑉𝐴 − 𝑎𝑆𝐴 2 3 − 𝑎𝐶 𝑍2 𝐴 1 3 − 𝑎𝐴 (𝐴 − 2𝑍)2 𝐴 + 𝛿(𝑍, 𝐴) dado e fornecendo os dados em uma tabela: Isótopo A Z delta E_lig (MeV) 137-Cs 137 55 0 1140,926894 60-Co 60 27 -1,02523 524,7429455 51-Cr 51 24 0 444,2368485 131-I 131 53 0 1097,338731 59-Fe 59 26 0 516,5430256 99-Mo 99 42 0 853,0109525 42-K 42 19 -1,02523 363,0519344 223-Ra 223 88 0 1715,531383 A massa atômica usando a fórmula de Weizsacker: Isótopo A Z delta M_Z,A (MeV/c²) 137-Cs 137 55 0 127508,3631 60-Co 60 27 -1,02523 55814,24605 51-Cr 51 24 0 47442,54615 131-I 131 53 0 121917,1473 59-Fe 59 26 0 54884,17397 99-Mo 99 42 0 92109,61805 42-K 42 19 -1,02523 39074,11107 223-Ra 223 88 0 207693,6796 A energia de ligação do próton é: Isótopo A Z delta S_p (MeV) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -2081,517123 60-Co 60 27 -1,02523 -1464,307946 51-Cr 51 24 0 -1382,776619 131-I 131 53 0 -2037,92896 59-Fe 59 26 0 -1455,082796 99-Mo 99 42 0 -1791,550723 42-K 42 19 -1,02523 -1302,616934 223-Ra 223 88 0 -2654,071153 A energia de ligação do nêutron é: Isótopo A Z delta S_n (MeV) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -1139,901665 60-Co 60 27 -1,02523 -524,7429455 51-Cr 51 24 0 -445,2620777 131-I 131 53 0 -1096,313502 59-Fe 59 26 0 -517,5682548 99-Mo 99 42 0 -854,0361817 42-K 42 19 -1,02523 -362,0267052 223-Ra 223 88 0 -1716,556612 A energia de ligação da partícula alfa é: Isótopo A Z delta Q_a (MeV/c²) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -3759,285229 60-Co 60 27 -1,02523 -3759,285229 51-Cr 51 24 0 -3759,285229 131-I 131 53 0 -3759,285229 59-Fe 59 26 0 -3759,285229 99-Mo 99 42 0 -3759,285229 42-K 42 19 -1,02523 -3759,285229 223-Ra 223 88 0 -3759,285229
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“I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something”. Richard Feynman, Prémio Nobel de Física 1965 Fótons e Ondas de Matéria 1-(0,3 ponto) Construa o gráfico da radiância espectral em função do comprimento de onda de um corpo negro proposta por Planck para as temperaturas T1= 1000 K, T2 = 1200 K, T3=1300 K e T4= 1400 K . Verifique que as posições dos máximos satisfazem a lei do deslocamento de Wien. Baseado nos gráficos, proponha um método que permita verificar que a relação entre as áreas é proporcional a quarta potência da relação entre as temperaturas (Lei de Stefan-Boltzmann). 2- (0,3 ponto) Construa um gráfico da energia do fóton espalhado Ef no efeito Compton, como função do ângulo de emissão do fóton θ para uma energia incidente de Ei = 50 MeV. Explique, considerando a conservação da energia e do momento linear, o que acontece quando o fóton é espalhado formando um ângulo de 180º. Qual você acha que pode ser o papel deste tipo de cálculo para a segurança radiológica? 3- (0,2 ponto) No seguinte potencial degrau, defina o sistema de equações para resolução da equação de Schrodinger baseado na continuidade da função de onda e da sua derivada para uma partícula que se desloca de esquerda para direita com E<V0. 4- (0,2 ponto) Poço quadrado infinito Resolva (obter função de onda e valores de energia), utilizando a equação de Schrodinger, o problema do elétron confinado num poço quadrado infinito unidimensional de largura a . Construa o gráfico da função de onda dos primeiros 6 estados considerando a=10 nm. Elabore um gráfico dos níveis de energia correspondentes. Explique o que acontecerá com o espaçamento entre os níveis de energia se o poço diminuir a sua largura para a metade do tamanho original. Átomo 1- (0,2 ponto) Descreva, com as suas palavras, as semelhanças e diferenças entre o modelo de Bohr e a formulação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio. 2- (0,2 ponto) Construa os gráficos da parte radial e do quadrado da função de onda do átomo de hidrogênio para n=3. Faça alguns comentários relevantes com relação aos gráficos. 3- (0,2 ponto) Como você explicaria para uma pessoa “leiga” o significado dos números quânticos n, l, ml, s e ms do átomo de hidrogênio? 4- (0,2 ponto) Explique, para alguém que não tem nenhum conhecimento de física, o experimento de Stern e Gerlach. 5- (0,2 ponto) Coloque a seguir tudo o que você “entendeu” com relação ao conceito de spin. Física Nuclear 1- (0,2 ponto) Para os radioisótopos a seguir (que são produzidos em reatores nucleares) construa uma tabela com as seguintes propriedades: Meia vida Modo de decaimento Energia de ligação do próton 𝑆𝑝 Energia de ligação do nêutron 𝑆𝑛 Energia de ligação da partícula 𝑄𝛼 Energia de ligação por núcleon. Utilize este link: https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html Isótopos: 137Cs, 60Co, 51Cr, 131I, 59Fe, 99Mo, 42K e 223Ra 2- (0,2 ponto) Pesquise ao menos uma aplicação médica de cada radioisótopo do exercício anterior. 3- (0,6 ponto) A energia de ligação de um próton (energia necessária para remover um próton do núcleo) pode ser calculada empregando a expressão: 𝑆𝑝 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍−1,𝐴𝑐2 + 𝑀𝑝𝑐2). Uma expressão semelhante pode ser definida para energia de ligação do nêutron: 𝑆𝑛 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍,𝐴−1𝑐2 + 𝑀𝑛𝑐2). Para clusters de partículas, também pode ser definida esta magnitude. No caso da partícula , teremos: 𝑄𝛼 = 𝑀𝑍,𝐴𝑐2 − (𝑀𝑍−2,𝐴−4𝑐2 + 𝑀2,4𝑐2). Calcule a energia de ligação de próton, nêutron e da partícula nos isótopos solicitados. Utilize os valores de massas nucleares calculados empregando a fórmula de Weizsacker: 2 , ) ( c E M Z A Z M M Lig n p Z A − − + = , onde ( ) ( , ), 2 , ) ( 2 / 3 1 2 2/ 3 Z A A Z A a A Z a A a A a Z A E A C S V Lig + − − − − = − = = = = = par par e 12 ímpar 0 ímpar ímpar e 12 , ) ( ,285 23 697 ,0 17,23 ,56 15 N Z MeV A A MeV N Z MeV A A Z MeV a MeV a MeV a MeV a A C S V Compare com os resultados da tabela do exercício 1. Os gráficos foram obtidos de https://phet.colorado.edu/sims/html/blackbody- spectrum/latest/blackbody-spectrum_en.html Para 1000 K: Para 1200 K Para 1300 K Para 1400 K Verificando a Lei de Wien: 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 𝑇 (𝑒𝑚 𝜇𝑚) Para 𝑇 = 1000 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1000 = 2.898 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1200𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1200 = 2.415 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1300 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1300 = 2.229 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico obtido. Para 𝑇 = 1400 𝐾 𝜆𝑚á𝑥 = 2.898 · 103 1400 = 2.070 𝜇𝑚 Corresponde com o gráfico. Os dados obtidos correspondem com a Lei de Deslocamento de Wien. Uma maneira de verificar a relação entre áreas e temperaturas na curva de radiância espectral de um corpo negro proposta por Planck é através do uso de trapezoides. 1. Trace o gráfico da radiância espectral em função do comprimento de onda para dois corpos negros com temperaturas diferentes, 𝑇1 e 𝑇2. 2. Escolha uma faixa de comprimentos de onda, digamos entre 𝜆1 e 𝜆2, e trace trapezóides abaixo dessa faixa para os dois corpos negros. 3. Calcule as áreas dos trapezóides e divida a área do trapezóide do corpo negro com temperatura 𝑇1 pela área do trapezóide do corpo negro com temperatura 𝑇2. 4. Calcule a relação entre as temperaturas 𝑇1 e 𝑇2 e eleva-o a quarta potência. 5. Compare o resultado obtido do passo 3 com o resultado obtido do passo 4. Se eles são próximos, isso sugere que a relação entre as áreas dos trapezóides é proporcional a quarta potência da relação entre as temperaturas, confirmando a lei de Stefan-Boltzmann. É importante lembrar que esse é apenas um método experimental para verificação da lei de Stefan-Boltzmann e que existem diversas formas de se aplicar essa lei. A fórmula comum do efeito Compton é : 𝜆 = 𝜆0 + ℎ 𝑚𝑒𝑐 (1 − cos 𝜃) Porém, o enunciado fornece a energia incidente. Então precisamos manipular a equação acima para que tenhamos a energia do fóton em função de 𝜃 com uma energia inicial 𝐸0 igual a 50 𝑀𝑒𝑉 Dividindo a equação por ℎ𝑐: 𝜆 ℎ𝑐 = 𝜆0 ℎ𝑐 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 Mas: 𝐸 = ℎ𝑐 𝜆 1 𝐸 = 1 𝐸0 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 𝐸 = 1 1 𝐸0 + 1 − cos 𝜃 𝑚𝑒𝑐2 Substituindo com os seguintes dados: 𝐸0 = 50 𝑀𝑒𝑉 = 8.011 · 10−12 𝐽 𝑚𝑒 = 9.109 · 10−31 𝑘𝑔 𝑐 = 2.998 · 108 𝑚 𝑠 Então: 𝐸 = 1 1 8.011 · 10−12 + 1 − cos 𝜃 9.109 · 10−31 · (2.998 · 108) Simplificando: 𝐸 = 1 3.662 · 1021(1 − cos 𝜃) + 1.248 · 1011 Plotando para 0 < 𝜃 < 2𝜋: O cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento no Efeito Compton é importante para entender como a energia de um fóton é transferida para um elétron. Isso tem implicações na segurança radiológica porque a quantidade de energia transferida para os elétrons em um material pode afetar a sua estabilidade e potencialmente causar danos celulares. Entender como a energia de um fóton é transferida para os elétrons em um material é crucial para avaliar a dose de radiação que um indivíduo pode receber e como essa dose pode afetar a saúde. Isso é importante para estabelecer limites de segurança para a exposição à radiação e para desenvolver medidas de proteção contra a exposição à radiação. Além disso, o cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento também é importante para aplicações de diagnóstico médico, como tomografia computadorizada, onde a precisão da medida de energia é importante para obter imagens de alta qualidade. Em resumo, o cálculo da energia por fóton em função do ângulo de espalhamento no Efeito Compton é uma ferramenta importante para entender como a radiação afeta os materiais e os organismos vivos, o que é fundamental para a segurança radiológica e para o desenvolvimento de técnicas de diagnóstico médico. Dando uma olhada da Equação de Schrödinger independente do tempo é: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 + 𝑉(𝑥)𝜓 = 𝐸𝜓 Cujas soluções são, para 𝑉𝑛 > 𝐸 são: 𝜓0(𝑥) = 𝐶1 cosh(𝑘0𝑥) + 𝐶2 sinh(𝑘0𝑥) Onde: 𝑘0 = √2𝑚(𝑉0 − 𝐸) ℏ2 Então, para 0 < 𝑥 < 𝑎, podemos escrever: ( 𝜓0(𝑥) 𝑑𝜓0(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘0𝑥) 𝑘0 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘0𝑥) ) ( 𝜓0(0) 𝑑𝜓0(0) 𝑑𝑥 ) Porém, temos um potencial maior ainda em 𝑥 = 𝑎 Nesse caso, a solução é: 𝜓𝑎(𝑥) = 𝐶1 cosh(𝑘𝑎𝑥) + 𝐶2 sinh(𝑘𝑎𝑥) Onde: 𝑘𝑎 = √2𝑚(2𝑉0 − 𝐸) ℏ2 Então, para 𝑥 > 𝑎, podemos escrever: ( 𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘0𝑥) 𝑘0 𝑘𝑛 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘0𝑥) ) ( cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘𝑛 sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) ) ( 𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝑥 ) Fundindo as duas matrizes quadradas em uma só: ( 𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝜓𝑎(𝑥) 𝑑𝑥 ) = ( 𝑘0 cosh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + sinh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘0 𝑘0 cosh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘0𝑘𝑎 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + cosh(𝑘0𝑥) 𝑘𝑎 sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘0 sinh(𝑘0𝑥) sinh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) + cosh(𝑘0𝑥) cosh(𝑘𝑎(𝑥 − 𝑎)) 𝑘𝑎 𝑘𝑎 ) ( 𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝜓𝑎(𝑎) 𝑑𝑥 ) Essas são as expressões requeridas. Usando a equação de Schrödinger independente do tempo: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 + 𝑉(𝑥)𝜓 = 𝐸𝜓 A solução para 𝑉0 > 𝐸 𝜓(𝑥) = 𝜓0𝑒−𝑘𝑥 Com 𝑘 = √2𝑚(𝑉0 − 𝐸) ℏ Porém, para potencial infinito, 𝑉0 → ∞ e consequentemente, 𝑘 → ∞ e 𝜓(𝑥) → 0. Então, fora da caixa, a função de onda é nula. Para dentro da caixa: 𝑉0 = 0 E a equação de Schrödinger fica: − ℏ2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 = 𝐸𝜓 𝑑2𝜓 𝑑𝑥2 = −𝑘2𝜓(𝑥) Onde: 𝑘2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 Ao se resolver essa equação diferencial, tem-se: 𝜓𝑛(𝑥) = 𝐴𝑛 sin (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Com: 𝑛 = 1,2,3, … Como existe a condição de normalização: ∫ |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥 ∞ −∞ = 1 Então: 𝐴 = √2 𝐿 Então: 𝜓𝑛(𝑥) = √2 𝐿 sin (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Plotando, para 𝐿 = 10𝑚𝑚 e 𝑛 = 1 𝑛 = 2 𝑛 = 3 𝑛 = 4 𝑛 = 5 𝑛 = 6 Quanto aos níveis de energia. Lembrando que 𝑘𝑛 2 = 2𝑚𝐸 ℏ2 𝑛2𝜋2 𝐿2 = 2𝑚𝐸𝑛 ℏ2 𝐸𝑛 = 𝑛2𝜋2ℏ2 2𝑚𝐿2 Mas: ℏ = ℎ 2𝜋 logo: 𝐸𝑛 = 𝑛2𝜋2ℎ2 2𝑚𝐿2(2𝜋)2 𝐸𝑛 = 𝑛2ℎ2 8𝑚𝐿2 Para 𝑛 = 1 𝐸1 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 6.02 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 2 𝐸2 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 24.1 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 3 𝐸3 = 32(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 54.2 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 4 𝐸4 = 42(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 96.4 · 10−34 𝐽 Para 𝑛 = 5 𝐸5 = 52(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 151 · 10−34𝐽 Para 𝑛 = 6 𝐸6 = 12(6.626 · 10−34)2 8 · 9.109 · 10−31 · (0.01)2 = 217 · 10−34 𝐽 Colocando no gráfico: O espaçamento entre energia será: ∆𝐸𝑛 = (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚𝐿² Então, se o espaçamento diminuir pela metade, o novo espaçamento é: ∆𝐸𝑛 ′ = (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚 (𝐿 2) 2 = 4 (𝑛𝑓 2 − 𝑛𝑖 2)ℎ2 8𝑚𝐿2 = 4∆𝐸𝑛 Então, o espaçamento energético aumenta em 4 vezes. O modelo de Bohr e a formulação de Schrödinger são ambos teorias científicas que tentam explicar como os elétrons se comportam no átomo de hidrogênio. O modelo de Bohr, proposto por Niels Bohr em 1913, sugere que os elétrons orbitam o núcleo do átomo em níveis de energia discretos, chamados de níveis de quantização. Ele também propõe que a transição de um elétron de um nível de energia para outro é acompanhada pela emissão ou absorção de uma fóton de energia específica. Já a formulação de Schrödinger, proposta por Erwin Schrödinger em 1926, descreve o elétron como uma onda matemática, conhecida como função de onda. A função de onda pode ser usada para calcular a probabilidade de encontrar o elétron em uma dada posição no espaço ao redor do núcleo do átomo. As semelhanças entre esses dois modelos são que ambos propõem a quantização da energia e a existência de níveis de energia discretos. Porém, a principal diferença é que o modelo de Bohr descreve os elétrons como partículas e a formulação de Schrödinger descreve os elétrons como ondas. A primeira observação é que existem 3 soluções para a função de onda quando 𝑛 = 3 A primeira ocorre quando o número quântico do momento angular ℓ é igual a 0 (ℓ = 0) 𝜓30(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 2 81√3 (27 − 18𝑟 𝑎0 + 2𝑟2 𝑎0 ) 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 Onde 𝑎0 = 5.29 · 10−11 𝑚 é o raio de Bohr. Logo, o gráfico da função de onda para ℓ = 0 é: E o gráfico da densidade de probabilidade |𝜓(𝑟)|² é (não normalizado): Para ℓ = 1: 𝜓31(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 4 81√6 (6 − 𝑟 𝑎0 ) 𝑟 𝑎0 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 O gráfico da função de onda é: O gráfico da densidade de probabilidade é muito complexo para que meu programa de gráfico consiga executar: Para ℓ = 2 𝜙32(𝑟) = 1 𝑎0 3 2 · 4 81√30 𝑟² 𝑎0² 𝑒 − 𝑟 3𝑎0 Plotando o gráfico da função de onda: E a densidade de probabilidade não pode ser poltada pelo meu programa de gráficos. Os números quânticos são usados para descrever a distribuição espacial dos elétrons em um átomo. Eles são designados por letras, como n, l, ml, s e ms. O número quântico principal, n, descreve o nível de energia do elétron. Quanto maior o valor de n, maior é a energia do elétron e mais longe ele está do núcleo do átomo. O número quântico angular, l, descreve a forma da órbita do elétron. Ele pode assumir valores de 0 até n-1. Quanto maior o valor de l, maior é a distorção da órbita em relação a uma esfera. O número quântico magnético, ml, descreve a orientação da órbita do elétron no espaço. Ele pode assumir valores de -l até l. O número quântico spin, s, descreve a orientação do spin do elétron. Ele pode assumir valores de 1/2. O número quântico spin magnético, ms, descreve a orientação do spin magnético do elétron. Ele pode assumir valores de -1/2 ou 1/2. O experimento de Stern-Gerlach é um experimento clássico na física quântica que ilustra a natureza dual dos elétrons, como partículas e ondas ao mesmo tempo. O experimento consiste em passar um feixe de elétrons através de um campo magnético não-uniforme. Antes de passar pelo campo magnético, os elétrons têm um spin (uma espécie de "giro" que os elétrons possuem) que é desconhecido. Quando os elétrons passam pelo campo magnético, o spin dos elétrons interage com o campo magnético, fazendo com que os elétrons sejam desviados em diferentes direções. O resultado é que os elétrons não mais se comportam como uma única onda, mas sim como duas ondas distintas, que são desviadas para diferentes direções. Isso mostra que os elétrons possuem uma propriedade chamada spin, que é uma propriedade quantizada, ou seja, pode assumir apenas valores discretos. Em termos gerais, o experimento de Stern-Gerlach mostrou que os elétrons possuem propriedades quânticas, ou seja, propriedades que só podem ser descritas por números inteiros e não por valores contínuos. O spin é uma propriedade quântica dos elétrons, que descreve a orientação do elétron no espaço. Ele é descrito como uma espécie de "giro" que os elétrons possuem. O spin dos elétrons pode ser medido como 1/2 ou -1/2, isso significa que ele é quantizado e só pode assumir valores discretos. O spin interage com campos magnéticos, causando desvios na trajetória dos elétrons. O experimento de Stern-Gerlach é um exemplo clássico de como o spin dos elétrons pode ser medido e mostra a natureza quântica dos elétrons. Isótopo Meia vida (s) Modo de decaimento Energia de ligação do próton 𝑆𝑝 (keV) Energia de ligação do nêutron 𝑆𝑛 (𝑘𝑒𝑉) Energia de ligação da partícula 𝛼 𝑄𝛼 (keV) Energia de ligação por núcleon (keV) 𝐶𝑠 137 949232333 𝛽− 7405,6 8278,2 −3113 8388,958 𝐶𝑜 60 166344192 𝛽− 8274.5 7491.92 −7163.7 8746.769 𝐶𝑟 51 2393626 Captura de elétron 9516.45 9260.67 −8938.02 8711.992 𝐼 131 693377 𝛽− 7378.7 8578 −2231.7 8422.298 𝐹𝑒 59 3843936 𝛽− 12126.4 6581.00 −7979.5 8754.775 𝑀𝑜 99 237326 𝛽− 9734 5925.44 −2735.1 8607.798 𝐾 42 44478 𝛽− 9243.5 7533.80 −7648.83 8551.257 𝑅𝑎 223 987552 𝛼 6434 5158 5978.99 7685.310 • 𝐶𝑠 − 137adioisót O césio-137 é um radioisótopo que é amplamente utilizado em várias aplicações, incluindo a medicina, a indústria e a ciência. Alguns exemplos de aplicações médicas incluem: Medição de densidade óssea: O césio-137 é usado para medir a densidade mineral óssea, que é importante para avaliar o risco de fraturas ósseas. Isso é realizado através de uma técnica chamada densitometria óssea, que usa uma pequena quantidade de césio-137 para medir a densidade óssea em diferentes partes do corpo. Tratamento de tumores: O césio-137 também é usado para tratar tumores cancerígenos. Ele é colocado no tumor através de uma sonda ou injeção, e sua radiação é usada para matar as células cancerígenas. Radioimunoensaio: O césio-137 é usado em testes laboratoriais conhecidos como radioimunoensaios (RIA) para medir a quantidade de certas proteínas, hormônios e outras substâncias no sangue. É um método muito sensível e específico. Além disso, o césio-137 também é usado em várias aplicações industriais e de pesquisa, como a medição de espessura de materiais e a detecção de vazamentos em tubulações. • 𝐶𝑜 − 60 Radioterapia: O Cobalto-60 é usado para tratar câncer através da radioterapia externa. Ele é colocado em uma fonte de radiação externa que é direcionada para o tumor. A radiação é usada para matar as células cancerígenas e reduzir o tamanho do tumor. Esterilização de equipamentos médicos: O Cobalto-60 é usado para esterilizar equipamentos médicos, como seringas, instrumentos cirúrgicos, e até mesmo alimentos, como frutas e verduras. A radiação é usada para matar bactérias e outros microrganismos presentes nos equipamentos e alimentos. Produção de radiofármacos: O Cobalto-60 é usado para produzir radiofármacos, que são substâncias radioativas que são usadas em exames de imagem médicos, como a tomografia por emissão de pósitrons (PET). • 𝐶𝑟 − 51 Estudos de fluxo sanguíneo: O cromo-51 é usado para medir o fluxo sanguíneo em diferentes partes do corpo, como o coração e os rins. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia, que usa uma pequena quantidade de cromo-51 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo cromo-51 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização do fluxo sanguíneo. Estudos de função renal: O cromo-51 é usado para medir a função renal, ou seja, como os rins estão funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada nefrocintilografia, que usa uma pequena quantidade de cromo-51 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo cromo-51 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função renal. • 𝐼 − 131 Diagnóstico e tratamento de doenças da tireoide: O iodo-131 é usado para diagnosticar e tratar doenças da tireoide, como o hipertireoidismo e o câncer de tireoide. Ele é administrado oralmente e é absorvido pela tireoide, permitindo que os médicos visualizem a tireoide com imagens de medicina nuclear e, em casos de câncer, tratar o tumor com radiação. Tratamento de doenças metastáticas: O iodo-131 é usado para tratar câncer metastático, quando o câncer se espalhou para outras partes do corpo. Ele é administrado oralmente e é absorvido pelas células cancerígenas, permitindo que a radiação matar as células cancerígenas. Eliminação de cistos tireoidianos: O iodo-131 é utilizado para eliminar cistos tireoidianos, que são tumores benignos da tireoide, ele é administrado oralmente e é absorvido pelo cisto, permitindo que a radiação matar as células do cisto. • 𝐹𝑒 − 59 Estudos de fluxo sanguíneo: O ferro-59 é usado para medir o fluxo sanguíneo em diferentes partes do corpo, como o coração e os rins. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia, que usa uma pequena quantidade de ferro-59 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo ferro-59 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização do fluxo sanguíneo. Estudos de função hepática: O ferro-59 é usado para medir a função hepática, ou seja, como o fígado está funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada cintilografia hepática, que usa uma pequena quantidade de ferro-59 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo ferro-59 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função hepática. Estudos de função muscular: O ferro-59 é usado para medir a função muscular, como no caso do estudo de miocintilografia que permite detectar alterações na musculatura, como danos, infartos, entre outros. • 𝑀𝑜 − 99 Estudos de função renal: O molibdênio-99 é usado para medir a função renal, ou seja, como os rins estão funcionando. Isso é realizado através de uma técnica chamada nefrocintilografia, que usa uma pequena quantidade de molibdênio-99 marcado com radioisótopo, que é injetado no paciente. A radiação emitida pelo molibdênio-99 é detectada por uma câmera especial, permitindo a visualização da função renal. Estudos de função do sistema cardiovascular: O molibdênio-99 é usado para medir a função do sistema cardiovascular, como no caso do estudo de miocárdio, que permite detectar alterações na musculatura cardíaca, como danos, infartos, entre outros. Estudos de função pulmonar: O molibdênio-99 é usado para medir a função pulmonar, como no caso do estudo de ventilação/perfusão, que permite detectar alterações na função pulmonar e detectar possíveis problemas como embolismos pulmonares e doenças pulmonares obstrutivas. • 𝐾 − 42 Até o ano de 2020 (desconheço se houve algum avanço na área após esse ano), o potássio-42 é um radioisótopo raro e não é amplamente utilizado em aplicações médicas, até o meu conhecimento atual, não há aplicações médicas conhecidas para o potássio-42 (já o potássio-40 tem várias aplicações na medicina nuclear). • 𝑅𝑎 − 223 O rádio-223 é um radioisótopo alfa-emissor utilizado em aplicações médicas para tratar certos tipos de câncer, como o câncer de próstata resistente à castração. Ele é administrado por via intravenosa e se liga aos ossos, onde o câncer de próstata frequentemente se espalha. A radiação emitida pelo rádio- 223 é absorvida pelas células cancerígenas, matando-as e aliviando dor óssea. O rádio-223 também pode ser usado para tratar outros tipos de câncer, como o câncer de mama e o câncer colorretal. Calculando a energia de ligação de cada isótopo pela fórmula: 𝐸𝑙𝑖𝑔 = 𝑎𝑉𝐴 − 𝑎𝑆𝐴 2 3 − 𝑎𝐶 𝑍2 𝐴 1 3 − 𝑎𝐴 (𝐴 − 2𝑍)2 𝐴 + 𝛿(𝑍, 𝐴) dado e fornecendo os dados em uma tabela: Isótopo A Z delta E_lig (MeV) 137-Cs 137 55 0 1140,926894 60-Co 60 27 -1,02523 524,7429455 51-Cr 51 24 0 444,2368485 131-I 131 53 0 1097,338731 59-Fe 59 26 0 516,5430256 99-Mo 99 42 0 853,0109525 42-K 42 19 -1,02523 363,0519344 223-Ra 223 88 0 1715,531383 A massa atômica usando a fórmula de Weizsacker: Isótopo A Z delta M_Z,A (MeV/c²) 137-Cs 137 55 0 127508,3631 60-Co 60 27 -1,02523 55814,24605 51-Cr 51 24 0 47442,54615 131-I 131 53 0 121917,1473 59-Fe 59 26 0 54884,17397 99-Mo 99 42 0 92109,61805 42-K 42 19 -1,02523 39074,11107 223-Ra 223 88 0 207693,6796 A energia de ligação do próton é: Isótopo A Z delta S_p (MeV) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -2081,517123 60-Co 60 27 -1,02523 -1464,307946 51-Cr 51 24 0 -1382,776619 131-I 131 53 0 -2037,92896 59-Fe 59 26 0 -1455,082796 99-Mo 99 42 0 -1791,550723 42-K 42 19 -1,02523 -1302,616934 223-Ra 223 88 0 -2654,071153 A energia de ligação do nêutron é: Isótopo A Z delta S_n (MeV) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -1139,901665 60-Co 60 27 -1,02523 -524,7429455 51-Cr 51 24 0 -445,2620777 131-I 131 53 0 -1096,313502 59-Fe 59 26 0 -517,5682548 99-Mo 99 42 0 -854,0361817 42-K 42 19 -1,02523 -362,0267052 223-Ra 223 88 0 -1716,556612 A energia de ligação da partícula alfa é: Isótopo A Z delta Q_a (MeV/c²) 137-Cs 137 55 1,025229 0 -3759,285229 60-Co 60 27 -1,02523 -3759,285229 51-Cr 51 24 0 -3759,285229 131-I 131 53 0 -3759,285229 59-Fe 59 26 0 -3759,285229 99-Mo 99 42 0 -3759,285229 42-K 42 19 -1,02523 -3759,285229 223-Ra 223 88 0 -3759,285229