Slide - Campo Vetorial - 2024-1

Campo Vetorial Um campo vetorial é uma função F que associa a cada ponto em um conjunto D pertencente a ℝ² ou ℝ³ um vetor bidimensional Fx y ou tridimensional Fx y z FIGURA 13 Campo de velocidade do escoamento de um fluido FIGURA 14 Campo de força gravitacional fx y fxx yi fyx yj fx y z fxx y zi fyx y zj fzx y zk Um campo vetorial F é chamado campo vetorial conservativo se existir uma função f tal que F f Nessa situação f é denominada função potencial de F O Teorema Fundamental das Integrais de Linha Seja C uma curva suave dada pela função vetorial vecrt a leq t leq b e f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente abla f é contínuo em C Então intC abla f cdot dvecr fvecrb fvecra Podemos avaliar a integral de linha de um campo vetorial conservativo simplesmente sabendo o valor de f nos pontos finais de C Campos conservativos e independência do caminho Seja vecF Pxyhati Qxyhatj um campo vetorial onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D Se vecF é conservativo então fracpartial Ppartial y fracpartial Qpartial x Se D for uma região simplesmente conexa e fracpartial Ppartial y fracpartial Qpartial x então vecF é conservativo Integrais de linha em campos vetoriais conservativos são independentes do caminho Exemplo Considere o campo vetorial vecF 3 2xyhati x2 3y2hatj Verifique que o campo é conservativo Encontre uma função f tal que vecF abla f Calcule a integral de linha intC vecF cdot dvecr onde C é a curva dada por vecrt et sin t hati et cos t hatj 0 leq t leq pi Exemplo Seja o campo vetorial vecF do exemplo anterior Determine intC vecF cdot dvecr sendo C C1 cup C2 e C1 x t 0 leq t leq 1 e C2 x 2 t 1 leq t leq 2 y 2 t Teorema de Green Seja C uma curva plana simples fechada contínua orientada positivamente e seja D a região delimitada por C Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas então intC Pxydx Qxydy iintD leftfracpartial Qpartial x fracpartial Ppartial yrightdA Exemplo Calcule intC x4dx xydy onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de 00 a 10 de 10 a 01 e de 01 a 00 A D 1dA C Qx Py dA C Pxydx Qxydy Exemplo