Slide - Integrais de Linha - 2024-1

Integrais de Linha Comprimento de uma curva Teorema do Valor Médio Existe Ck xk1 Ck xk tal que C fx y ds ab fxt yt dxdt² dydt² dt L αβ 1 dydx² dx αβ dxdt² dydt² dxdt dt st αt dxdt² dydt² dt EXEMPLO 1 Calcule C 2 x²y ds onde C é a metade superior do círculo unitário x² y² 1 EXEMPLO 2 Calcule C 2x ds onde C é formada pelo arco C₁ da parábola y x² de 0 0 a 1 1 seguido pelo segmento de reta vertical C₂ de 1 1 a 1 2 Centro de massa de um fio de arame EXEMPLO 3 Um arame tem o formato de um semicirculo x² y² 1 y 0 é mais grosso perto da base do que perto do topo Ache o centro de massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto for proporcional à sua distância à reta y 1 Integrais de linha de f ao longo de C com relação a x e y Se x xt y yt então dx xt dt e dy yt dt Integral com relação a x C fxydx ab fxtytxtdt Integral com relação a y C fxydy ab fxtytytdt C Pxydx C Qxydy C Pxydx Qxydy EXEMPLO 4 Calcule C y²dx x dy onde a C C₁ é o segmento de reta de 5 3 a 0 2 e b C C₂ é o arco da parábola x 4 y² de 5 3 a 0 2 Veja a Figura 7 EXEMPLO 5 Calcule C y sen z ds onde C é a hélice circular dada pelas equações x cos t y sen t z t 0 t 2π Veja a Figura 9