Atividade 2 Resolvida-2022 1

Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática – Departamento de Estatística Disciplina: Mat023 Professora: Marisleane Andrade Aluno: 2° Atividade 01. Deseja-se verificar se existe ou não associação entre o sexo e a carreira escolhida por um grupo de alunos de Economia e Administração. Os dados coletados estão na tabela a seguir. a) (0,5 p.t.) Defina a hipótese nula e alternativa. b) (1,0 p.t.) Qual a conclusão ao nível de 1% de significância? 02. Oito programas foram monitorados para estudar a demanda por recursos. Neste trabalho, a variável resposta (dependente) é o tempo de CPU, e a variável independente é o número de acessos ao disco (disk I/O). a) (0,5 p.t.) Observando o diagrama de dispersão para esses dados e o coeficiente de correlação. O tempo de CPU está relacionado com o número de acessos ao disco Explique detalhadamente sua resposta. b) (1,5 p.t.) Ajuste um modelo de regressão linear a esses dados para avaliar o impacto do número de acessos ao disco no tempo de CPU. Interprete os resultados descrevendo a interpretação dos parâmetros. c) (1,0 p.t.) Avalie a significância de β1. Quais suas implicações para o modelo ajustado (α=5%)? Explique detalhadamente sua resposta. d) (0,5 p.t.) O modelo está bem ajustado? Justifique sua resposta RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,97979257 R-Quadrado 0,95999348 R-quadrado ajustado 0,953325727 Erro padrão 0,866629906 Observações 8 ANOVA gl SQ MQ F p-valor Regressão 1 108,1324656 108,1325 143,9756 2,03E-05 Resíduo 6 4,506284364 0,751047 Total 7 112,63875 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P Interseção -0,384442694 0,7830725 -0,49094 0,640906 Número de acessos ao disco (X) 0,261039779 0,021755162 11,99898 2,03E-05 Probabilidade x Resíduos 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 Resíduos Resíduos x Ordem observada 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 14 12 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Número de acessos ao disco Probabilidade Tempo de CPU Resíduos 03. Nova York, Boston e o Vale do Silício na Califórnia estão entre as regiões que apresentam os maiores salários no setor de tecnologia nos Estados Unidos (USA Today, 28 de fevereiro de 2002). Os dados amostrais seguintes apresentam os salários anuais individuais expressos em milhares de dólares. Nova York Boston Vale do Silício 82 85 82 79 80 91 72 74 94 89 78 88 79 75 85 85 80 81 86 79 90 Grupo Contagem Soma Média Variância Nova York 7 572 81,71 31,90 Boston 7 551 78,71 13,24 Vale do Silício 7 611 87,29 23,24 a) (1,0 p.t.) Complete a tabela abaixo ( X ), apresentando os devidos cálculos: Fonte da variação Graus de liberdade Soma dos quadrados Quadrado Médio Estatística F P-VALOR Tratamento 2 X X X 0,01 Erro X 410,29 22,79 Total 20 675,14 ..... ..... ..... a) (1,0 p.t.) Descreva que tipo de hipótese foram testadas a partir desses resultados; b) (2,0 p.t.) E que conclusões podem ser obtida? (Utilize dois critérios para chegar à conclusão). Use α=5%. Obs: conclusão com as justificativas. c) (1,0 p.t.) Caso ache necessário, utilize o teste tuckey. Obs: conclusão com as justificativas e cálculos. Boa Sorte! Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática – Departamento de Estatística Disciplina: Mat023 Professora: Marisleane Andrade Aluno: 2° Atividade 01. Deseja-se verificar se existe ou não associação entre o sexo e a carreira escolhida por um grupo de alunos de Economia e Administração. Os dados coletados estão na tabela a seguir. a) (0,5 p.t.) Defina a hipótese nula e alternativa. H0: não existe associação entre carreira e sexo H1: existe associação entre carreira e sexo b) (1,0 p.t.) Qual a conclusão ao nível de 1% de significância? Tabela 1 - Valores observados e esperados (entre parênteses) Valor Esperado (E) = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑥 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸[1,1] = 120 × 140 200 = 84 𝐸[1,2] = 120 × 60 200 = 36 𝐸[2,1] = 80 × 140 200 = 56 𝐸[2,2] = 80 × 60 200 = 24 Estatística de teste: 𝑋2𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝛴 (𝑂𝑖𝑗−𝐸𝑖𝑗)² 𝐸𝑖𝑗 = (85−84)2 84 + (35−36)2 36 + (55−56)2 56 + (25−24)2 24 = 0,099 𝑋2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 = 6,635 Se temos que 𝑋2𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < 𝑋2𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜, a hipótese nula, ao nível de significância de 1%, não é rejeitada. Conclui-se que não há associação entre o sexo e carreira escolhida. 02. Oito programas foram monitorados para estudar a demanda por recursos. Neste trabalho, a variável resposta (dependente) é o tempo de CPU, e a variável independente é o número de acessos ao disco (disk I/O). a) (0,5 p.t.) Observando o diagrama de dispersão para esses dados e o coeficiente de correlação. O tempo de CPU está relacionado com o número de acessos ao disco Explique detalhadamente sua resposta. Através do diagrama de dispersão e do coeficiente de correlação linear de Pearson, é possível verificar que existe uma forte correlação linear positiva entre o número de acessos ao disco e o tempo de CPU. b) (1,5 p.t.) Ajuste um modelo de regressão linear a esses dados para avaliar o impacto do número de acessos ao disco no tempo de CPU. Interprete os resultados descrevendo a interpretação dos parâmetros. A equação é dada por: y = - 0,3844426940 + 0,2610397790x O coeficiente angular mostra que o tempo de CPU aumenta em 0,2610397790 unidade para cada acesso ao disco. Já o Coeficiente linear não possui interpretação prática, pois informa um tempo negativo (não existe tempo negativo!) para quando não há acessos e para quando há apenas um acesso ao disco. c) (1,0 p.t.) Avalie a significância de β1. Quais suas implicações para o modelo ajustado (α=5%)? Explique detalhadamente sua resposta. O p-valor para o coeficiente β1 (Número de acessos ao disco) é menor que o nível de significância 0,05, logo ele é significante ao nível de 5%. Como se trata de uma regressão linear simples (apenas uma variável explicativa), a significância do coeficiente angular implica que o modelo também é significativo. d) (0,5 p.t.) O modelo está bem ajustado? Justifique sua resposta Sim, pois os gráficos dos resíduos indicam que eles são normais e que a variância é constante. Além disso, o modelo apresenta um alto coeficiente de determinação, R²=0,96, mostrando que tem grande poder explicativo: 96% dar variação total em y (tempo de CPU) é explicada pela variação em x (número de acessos). RESUMO DOS RESULTADOS Estatística de regressão R múltiplo 0,97979257 R-Quadrado 0,95999348 R-quadrado ajustado 0,953325727 Erro padrão 0,866629906 Observações 8 ANOVA gl SQ MQ F p-valor Regressão 1 108,1324656 108,1325 143,9756 2,03E-05 Resíduo 6 4,506284364 0,751047 Total 7 112,63875 Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P Interseção -0,384442694 0,7830725 -0,49094 0,640906 Número de acessos ao disco (X) 0,261039779 0,021755162 11,99898 2,03E-05 Probabilidade x Resíduos Probabilidade Resíduos Resíduos x Ordem observada Resíduo 03. Nova York, Boston e o Vale do Silício na Califórnia estão entre as regiões que apresentam os maiores salários no setor de tecnologia nos Estados Unidos (USA Today, 28 de fevereiro de 2002). Os dados amostrais seguintes apresentam os salários anuais individuais expressos em milhares de dólares. a) (1,0 p.t.) Complete a tabela abaixo ( X ), apresentando os devidos cálculos: Fontes de variação Graus de liberdade Soma dos quadrados Quadrado médio Estatística F P-Valor Tratamento 2 264,85 132,43 5,81 0,01 Erro 18 410,29 22,79 Total 20 675,14 Graus de liberdade do erro: 𝐺𝐿𝑒𝑟𝑟𝑜 = 20 − 2 = 18 Soma dos quadrados dos tratamentos: 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 = 675,14 − 410,29 = 264,85 Quadrado médio dos tratamentos: 𝑄𝑀𝑡𝑟𝑎𝑡 = 264,85 2 = 132,43 Estatística de teste: 𝐹 = 132,43 22,79 = 5,81 b) (1,0 p.t.) Descreva que tipo de hipótese foram testadas a partir desses resultados; H0 = 𝜇𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑌𝑜𝑟𝑘 = 𝜇𝐵𝑜𝑠𝑡𝑜𝑛 = 𝜇𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑜 𝑆𝑖𝑙í𝑐𝑖𝑜 (as médias salariais dos grupos são iguais entre si) H1 = 𝜇𝑖 ≠ 𝜇𝑖∗, 𝑐𝑜𝑚 𝑖 ≠ 𝑖 ∗ (existe alguma diferença entre as médias) c) (2,0 p.t.) E que conclusões podem ser obtida? (Utilize dois critérios para chegar à conclusão). Use α=5%. Obs: conclusão com as justificativas. Pode haver a rejeição por 2 motivos: - P-valor Como o p-valor (0,01) é menor que o nível de significância (0,05), a hipótese nula é rejeitada. - Estatística F Como a Estatística F (5,81) é maior que o F tabelado (3,55), a hipótese nula é rejeitada. d) (1,0 p.t.) Caso ache necessário, utilize o teste tuckey. Obs: conclusão com as justificativas e cálculos. 𝐷𝑀𝑆𝑇𝑢𝑘𝑒𝑦 = 𝑞 × √𝑄𝑀𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑟 = 3,61 × √22,79 7 = 6,51 𝑥̅𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑜 𝑆𝑖𝑙í𝑐𝑖𝑜 − 𝑥̅𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑌𝑜𝑟𝑘 = 87,29 − 81,71 = 5,58 (𝑛ã𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑥̅𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑜 𝑆𝑖𝑙í𝑐𝑖𝑜 − 𝑥̅𝐵𝑜𝑠𝑡𝑜𝑛 = 87,29 − 78,71 = 8,58 (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑥̅𝑁𝑜𝑣𝑎 𝑌𝑜𝑟𝑘 − 𝑥̅𝐵𝑜𝑠𝑡𝑜𝑛 = 81,71 − 78,71 = 3,00 (𝑛ã𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) Tabela de Médias – Teste Tukey GRUPO MÉDIA Vale do Silício 87,29 a Nova York 81,71 ab Boston 78,71 b Médias seguidas de mesma letra não se diferem entre si. Por meio do teste Tukey com 5% de significância, podemos concluir que não há diferença significativa entre as médias salariais de Vale do Silício e Nova York e nem entre as médias salariais de Nova York e Boston, mas há diferença significativa entre as médias salariais de Vale do Silício e Boston.