Lista 3-2021 1

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA MAT023 - ESTATÍSTICA II A SEMESTRE: 2021.1 CURSOS: ADMINISTRAÇÃO / CIÊNCIAS CONTÁBEIS LISTA DE EXERCÍCIOS 3 TESTES DE HIPÓTESES 1. A equipe de vendas atinge uma média de R$ 8 mil em vendas por semana. O vice-presidente da firma propôs um programa de remuneração com novos incentivos de venda. Ele espera que os resultados de um período experimental de vendas lhe possibilitem concluir que o programa de remuneração aumenta a média de vendas por vendedor. Identifique: a. O parâmetro que está sendo testado; b. Defina as hipóteses 0 H e 1 H ; c. Defina os erros tipo I e II no contexto em questão. Resp.: a. Média; b. 8 0 : µ = H versus 8 1 : µ > H ; c. Erro tipo I: Concluir que o programa de remuneração aumentou a média de vendas por vendedor, quando na verdade não aconteceu este aumento. Erro tipo II: Concluir que o programa de remuneração não aumentou a média de vendas por vendedor, quando na verdade aconteceu este aumento. 2. A duração em horas de trabalho de 5 tratores foi 9.420, 8.200, 9.810, 9.290 e 7.030 horas. Sabe-se que a duração dos tratores dessa marca é normal com desvio padrão de 55 horas. Ao nível de 3% testar: a. .8 700 : .8 700 : 1 0 ≠ = µ µ H H b. .8 700 : .8 700 : 1 0 > = µ µ H H c. .8 700 : .8 700 : 1 0 < = µ µ H H Resp.: zcalc = 2,03; a. Não rejeita H0; b. Rejeita H0; c. Não rejeita H0. 3. Suponha que queiramos testar 60 0 : µ = H versus 60 1 : µ > H , onde μ é a média de uma variável aleatória Normal com desvio padrão igual a 10. Extraída uma amostra de n = 36 elementos da população, observou-se média igual a 63. Faça o teste utilizando os níveis (a) 1% e (b) 5% e compare os resultados. Resp.: zcalc = 1,8; a. Não rejeita H0; b. Rejeita H0. 4. O salário dos empregados das indústrias siderúrgicas tem distribuição normal, com média de 4,5 salários mínimos, com desvio padrão de 0,5 salário mínimo. Uma indústria emprega 49 empregados, com um salário médio de 4,3 salários mínimos. Ao nível de 5%, podemos afirmar que essa indústria paga salários inferiores à média? 2 Resp.: .5,4 : 5,4 : 1 0 < = µ µ vs H H A indústria paga salários inferiores, ao nível de 5% (zcalc = - 2,80). 5. A associação de proprietários de indústrias metalúrgicas está preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média nos últimos tempos tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após o mesmo, tomou-se uma amostra aleatória de 9 indivíduos e verificou-se que foram perdidas em média 50 horas/homem, com o desvio padrão de 10 horas/homens. Você diria, ao nível de 5%, que há evidência de melhoria? (Suponha normalidade na distribuição populacional.) Resp.: 60. : 60 : 1 0 < = µ µ vs H H Rejeita H0 (tcalc = -3,0). 6. Uma fábrica de automóveis anunciou que seus carros consomem em média 11 litros de combustível por cada 100 km rodados. Uma revista resolve testar essa afirmação e analisa uma amostra de 25 automóveis dessa marca, obtendo 11,3 litros por 100 km como consumo médio e 0,8 litro por 100 km de desvio padrão. O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica ao nível de significância de 10%? Considere a população com distribuição normal. Resp.: 11. : 11 : 1 0 ≠ = µ µ vs H H O anúncio está incorreto, ao nível de 10% (tcalc = 1,88). 7. A porcentagem anual média da receita municipal empregada em saneamento básico em pequenos municípios de um Estado tem sido 8% (admita que esse índice se comporte segundo um modelo Normal.) O governo pretende melhorar esse índice e, para isso, ofereceu alguns incentivos. Para verificar a eficácia dessa atitude, sorteou 10 cidades e observou as porcentagens investidas no último ano. Os resultados foram (em porcentagem) 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 11 e 12, sendo 106 10 1 = ∑ = i ix e 52 4, ) ( 10 1 − 2 = ∑ = i i x x . Os dados trazem evidência de melhoria, ao nível de 5%? Caso altere a média, dê um intervalo de confiança para a nova média. Resp.: 8%. : 8% : 1 0 > = µ µ vs H H Há evidência de melhoria, ao nível de 5% (tcalc = 3,41). Intervalo com 95% de confiança para a nova média é [8,88%; 12,32%]. 8. No ano de 2005, foi feita uma pesquisa em uma estância turística e constatou-se que somente 40% dos visitantes estavam satisfeitos com a infraestrutura oferecida. Em 2010, com o intuito de verificar se essa proporção se alterou, a prefeitura selecionou e entrevistou uma amostra de 58 turistas dos quais 32 disseram estar satisfeitos com a infraestrutura da cidade. Qual é a conclusão com base em um nível de significância de 10%? 3 Resp.: ,0 40. : ,0 40 : 1 0 ≠ = p vs H p H Houve alteração na proporção dos visitantes satisfeitos com a infraestrutura oferecida do ano de 2005 para o ano de 2010, ao nível de 10% (zcalc = 2,33). 9. Um consumidor de certo produto acusou o fabricante dizendo que mais de 20% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra com 50 peças, onde 27% destas apresentaram defeito. Mostre como o fabricante poderia refutar a acusação utilizando um teste de hipóteses ao nível de 5%. Resp.: ,0 20. : ,0 20 : 1 0 > = p vs H p H Não rejeita H0, ao nível de 5% (zcalc = 1,24). 10. Um fabricante garante que exatamente 90% dos equipamentos que fornece a uma fábrica está de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse equipamento revelou que 25 deles apresentavam defeito. Testar a afirmativa do fabricante ao nível de 5% e ao nível de 1%. Resp.: ,0 90. : ,0 90 : 1 0 ≠ = p vs H p H Não rejeita H0, nem ao nível de 5% e nem ao nível de 1% (zcalc = - 0,94). 11. Suponhamos que a experiência tem mostrado que são reprovados 20% dos alunos que se submetem a determinado tipo de exame. Se, de uma turma de 100 alunos, forem reprovados apenas 13, podemos concluir, em um teste unilateral, ao nível de significância de 5%, que os alunos dessa turma são melhores? Resp.: ,0 20. : ,0 20 : 1 0 < = p vs H p H Rejeita H0, ao nível de 5% (zcalc = - 1,75). 12. A média nacional dos preços de venda de casas novas destinadas a uma única família é R$ 181.900,00. Uma amostra de 40 vendas realizadas no sul do país foi analisada e encontrou-se os resultados abaixo. Variável n Média Desvio padrão Z P-valor Preço 40 166.400,00 33.500,00 -2,93 0,0017 Faça um teste de hipóteses para determinar se os dados amostrais sustentam a conclusão de que a média populacional dos preços de venda de casas novas no sul do país seja menor que a média nacional, ao nível de 1% de significância. Que conclusão você chegou? Justifique sua resposta. Resp.: 181.900. : 181.900 : 1 0 < = µ µ vs H H Rejeita H0, ao nível de 1%. Portanto, a média populacional dos preços de venda de casas novas no sul do país é menor que a média nacional, ao nível de 1%. 13. As mesmas provas de estatística foram aplicadas para 2 turmas de Ciências Contábeis de faculdades diferentes, pelo mesmo professor de ambas. 4 Na turma da faculdade A, os resultados foram: n =10 71 10 1 = ∑ i= ix s = ,1 71 . Na turma da faculdade B, os resultados foram: n =12 63 12 1 = ∑ i= ix s = ,2 85 . As notas das provas de estatística para as duas faculdades seguem uma distribuição normal. Supondo que as variâncias são iguais, testar ao nível de 1% se os alunos da faculdade A são, em média, melhores do que os alunos da faculdade B. Resp.: . : : 1 0 B A B A vs H H µ µ µ µ > = Não rejeita H0. Não há evidência suficientemente forte para afirmar que os alunos de Ciências Contábeis da faculdade A são, em média, melhores do que os alunos da faculdade B, ao nível de 1% (tcalc = 1,8). 14. Diversas políticas salariais em relação às filiais de uma rede de supermercado estão associadas ao gasto médio dos clientes em cada compra. Deseja-se comparar este parâmetro para duas novas filiais, por meio de duas amostras de 50 clientes cada. As médias obtidas foram 62 e 71 reais respectivamente. Sabe-se que o desvio, em ambos os casos, deve ser da ordem de 20 reais. É possível afirmar que o gasto médio nas duas filiais seja o mesmo com 10% de significância? Resp.: . : : 1 0 B A B A vs H H µ µ µ µ ≠ = O gasto médio dos clientes em compra é diferente nas duas filiais, ao nível de 10% (zcalc = - 2,25). 15. Suponha que você pretende verificar se a renda média dos administradores é igual à renda média dos contadores em um determinado Estado. Para isso, você obteve uma amostra de 7 administradores e uma amostra de 10 contadores e chegou aos seguintes resultados: Estatística Profissão Administrador Contador Média R$ 8.012,10 R$ 7.085,24 Desvio padrão R$ 523,87 R$ 347,92 Supondo que as variâncias são diferentes, teste a hipótese de que a renda média das duas profissões é a mesma, contra a hipótese de que os administradores têm, em média, renda mais alta, ao nível de 5% de significância? Resp.: . : : 1 0 C A C A vs H H µ µ µ µ > = A renda média dos administradores é mais alta do que a renda média dos contadores, ao nível de 5% (tcalc = 4,09; gl = 10). 5 16. Em dois anos consecutivos, foi feita uma pesquisa de mercado sobre a preferência de donas de casa por determinada marca de certo produto. Para essa pesquisa foram utilizadas duas amostras independentes de 400 elementos. No primeiro ano, 33% das donas de casa preferiram a marca em estudo e, no ano seguinte, essa porcentagem era 29%. Considerando um nível de significância de 5%, pode-se afirmar que houve mudança na preferência das donas de casa? Resp.: . : : 2 1 1 2 1 0 p p p vs H p H ≠ = Não rejeita H0, ao nível de 5% (zcalc = 1,22). 17. Uma amostra de 100 empresários agrícolas cooperados mostrou que 80 usaram crédito e uma amostra de 400 não-cooperados mostrou que 300 usaram crédito. Verifique se a proporção de cooperados que usam crédito é estatisticamente superior à proporção de não-cooperados que usam crédito, ao nível de significância de (a) 5% e (b) 1%. Resp.: . : : 1 0 B A B A p p p vs H p H > = Não rejeita H0, em ambos os níveis (zcalc = 1,05). 18. Foram feitas entrevistas com duas amostras de 80 pessoas, uma de cada indústria, para testar a hipótese de que a proporção de empregados analfabetos é a mesma nas duas indústrias. Os resultados obtidos são os seguintes: Categoria Indústria A Indústria B Alfabetizado 46 34 Analfabeto 34 46 Faça o teste considerando um nível de 10%. Resp.: . : : 1 0 B A B A p p p vs H p H ≠ = Rejeita H0, ao nível de 10% (zcalc = -1,90). 19. Os compradores são mais propensos a usar o cartão de crédito para “compras de impulso”, que decidem fazer na hora, em oposição a compras que já tinham em mente quando se dirigiram à loja? Para responder esse questionamento, um pesquisador coletou informações de dois grupos: 48 clientes que usaram cartão de crédito e 49 que não utilizaram. Entre os clientes que utilizaram o cartão, 35 fizeram compras planejadas e entre os que não utilizaram o cartão, 31 fizeram compras planejadas. Ao nível de 3% de significância, qual a conclusão do teste? 20. Deseja-se saber se 2 máquinas de empacotar café estão fornecendo o mesmo peso médio em kg. Extraem-se duas amostras, uma de cada máquina (supondo que os pesos das amostras sigam uma distribuição normal): 6 Máquina Nova (A) - 36 amostras, média = 0,81 kg, variância = 0,00020 kg2. Máquina Velha (B) - 39 amostras, média = 0,78 kg, variância = 0,00135 kg2. Supondo variâncias desconhecidas, qual é a sua conclusão a 5% de significância? Resp.: . : : 1 0 B A B A vs H H µ µ µ µ ≠ = Há evidências de diferença entre os pesos médios dos pacotes fornecidos pelas duas máquinas, com 95% de confiança. (tcalc = 4,73) 21. Para verificar as hipóteses de seu trabalho, um pesquisador fez vários testes estatísticos (um para cada hipótese de pesquisa), adotando para cada teste o nível de significância de 5%. Responda os seguintes itens adiante: a. Num dado teste, o p-valor=0,0001. Qual deve ser a conclusão (decide-se pela hipótese nula ou pela hipótese alternativa)? Qual o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta? b. Em outro teste, o p-valor=0,25. Qual deve ser a conclusão? Nesse caso, você consegue avaliar o risco de o pesquisador estar tomando a decisão incorreta? c. Em outros dois testes, os p-valores foram de 0,0001 e 0,01, respectivamente. Em qual dos testes o pesquisador deve estar mais convicto na decisão de qual hipótese deve ser escolhida? Por quê? Resp.: a. Decide-se por H1, pois o p-valor é menor que o nível de significância adotado. Dada a evidência da amostra, o risco dele estar tomando a decisão incorreta é de 0,0001; b. Decide-se por H0, pois p-valor é maior do que o nível de significância adotado. Dada a evidência da amostra, quando se não rejeita H0 o p-valor não oferece qualquer informação sobre o risco de se estar tomando a decisão incorreta; c. Quanto menor o p-valor existe maior evidência para a rejeição de H0. 22. Os seguintes dados vêm de um estudo que examina a eficácia da cotinina na saliva como um indicador para a exposição à fumaça do tabaco. Em uma parte do estudo, sete indivíduos – nenhum dos quais grandes fumantes e todos eles se abstiveram de fumar pelo menos uma semana antes do estudo – foi solicitado fumar um único cigarro. Foram tomadas amostras da saliva de todos os indivíduos 12 e 24 horas depois de terem fumado o cigarro. Os níveis de cotinina obtidos são mostrados adiante*: *DIGIUSTO, E. e ECKHARD, I. Some Properties of Saliva Continine Measurements in Indicating Exposure To Tobacco Smoking, American Journal of Public Health, v. 76, out., 1986, p. 1245-1246. Indivíduo Níveis de Cotinina (mmol/l) Depois de 12 horas Depois de 24 horas 1 73 24 2 58 27 3 67 49 4 93 59 5 33 0 6 18 11 7 147 43 7 A partir da saída de um programa computacional a seguir, teste a hipótese nula de que as médias da população sejam idênticas ao nível de significância de 5%. O que você conclui? Paired T-Test N Mean StDev SE Mean Doze 7 69.8571 42.2154 15.9559 VinteQuatro 7 30.4286 21.1176 7.9817 Difference 7 39.4286 31.3946 11.8660 95% CI for mean difference: (10.3934, 68.4637) T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 3.32 P-Value = 0.016 23. Um assessor de um candidato a governador afirma que a proporção de votos favoráveis no interior do Estado é maior que na capital. Com o objetivo de direcionar melhor sua campanha pela televisão, o candidato encomendou uma pesquisa na capital e outra no interior do Estado, obtendo os dados da tabela abaixo. Teste a afirmação, com α=0,05. Número de entrevistados Número de votos favoráveis Capital 100 40 Interior 200 90 Test and CI for Two Proportions Sample X N Sample p 1 40 100 0,400000 2 90 200 0,450000 Estimate for p(1) - p(2): -0,05 95% upper bound for p(1) - p(2): 0,0492039 Test for p(1) - p(2) = 0 (vs < 0): Z = -0,83 P-Value = 0,204