Avalliação B Resolvida-2022 1

ATENÇÃO: * Leia o arquivo com as instruções para resolução na Aba Materiais do app. * Trace os diagramas de esforços usando régua e adote alguma escala para que a forma dos diagramas não fique distorcida. NÃO FAÇA GRÁFICOS MINÚSCULOS. * Sempre indique todos os cálculos realizados * Procure deixar um espaço em branco ao lado dos cálculos para fazer a autocorreção. 1) Para o pórtico abaixo, trace os Diagramas de Esforço Normal, Cortante e Momento Fletor. Determine também as equações dos esforços em cada elemento do pórtico. (montar as equações conforme Aula 17, página 18). (2,0 pontos) 2) Para o pórtico atirantado abaixo, trace os Diagramas de Esforço Normal, Cortante e Momento Fletor. Determine também as equações dos esforços em cada elemento do pórtico. (montar as equações conforme Aula 17, página 18). (2,5 pontos) 3) Para a figura abaixo, a qual é composta por outras figuras simples, determine as coordenadas vertical e horizontal de seu centroide em relação ao sistema de coordenadas x,y dado. OBS: Todas as dimensões estão em mm. (2,0 pontos) 4) Para a seção abaixo, cujas dimensões estão em mm: a) Determine seus Momentos de Segunda Ordem (Momentos de Inércia) em relação ao eixo x dado e em relação a um eixo y perpendicular a ele e passando pelo centroide da seção. O eixo x dado, é um eixo de simetria. Os momentos de inércia obtidos serão principais? (0,5 ponto) b) Quais são os valores dos raios de giração kx e ky? (0,5 ponto) c) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia para outros dois eixos rotacionados 45° no sentido horário em relação aos eixos dados. (0,5 ponto) d) A partir dos valores obtidos no item (c), trace em escala o Círculo de Mohr associado a esta seção. Indique no círculo os valores relevantes (como indicado na aula), verificando que os momentos principais obtidos graficamente coincidem com os calculados no item (a) (0,5 ponto) e) Ainda a partir dos valores obtidos no item (c), determine algebraicamente os valores dos momentos de inércia principais e o ângulo que os eixos centroidais principais formam com os eixos associados aos momentos de inércia obtidos no item (c) (este ângulo foi dado, mas aqui pede-se que ele seja obtido agora algebraicamente, devendo coincidir com o valor dado). (0,5 ponto) OBS: A espessura é constante. 4) Para a seção abaixo, cujas dimensões estão em mm: a) Determine seus Momentos de Segunda Ordem (Momentos de Inércia) em relação ao eixo x dado e em relação a um eixo y perpendicular a ele e passando pelo centroide da seção. O eixo x dado, é um eixo de simetria. Os momentos de inércia obtidos serão principais? (0,5 ponto) b) Quais são os valores dos raios de giração kx e ky? (0,5 ponto) c) Calcule os momentos de inércia e o produto de inércia para outros dois eixos rotacionados 45° no sentido horário em relação aos eixos dados. (0,5 ponto) d) A partir dos valores obtidos no item (c), trace em escala o Círculo de Mohr associado a esta seção. Indique no círculo os valores relevantes (como indicado na aula), verificando que os momentos principais obtidos graficamente coincidem com os calculados no item (a) (0,5 ponto) e) Ainda a partir dos valores obtidos no item (c), determine algebraicamente os valores dos momentos de inércia principais e o ângulo que os eixos centroidais principais formam com os eixos associados aos momentos de inércia obtidos no item (c) (este ângulo foi dado, mas aqui pede-se que ele seja obtido agora algebraicamente, devendo coincidir com o valor dado). (0,5 ponto) OBS: A espessura é constante. Isostática Questão 01 - DCL e reações de apoio 5,6 KN 3,4 KN/m ΣM_A=0 => -5,6*4,7 - 3,4*6^2/2 + D_y*6 = 0 => D_y=14,5867 KN ΣF_y=0 => A_y - 3,4*6 + 14,5867 = 0 => A_y=5,8133 KN ΣF_x=0 => A_x + 5,6 = 0 => A_x=-5,6 KN - Equações de esforços internos * Trecho AB ΣF_y=0 => N(y)+5,8133=0 => N(y)=-5,8133 KN ΣF_x=0 => V(y) - 5,6 = 0 => V(y)=5,6 KN ΣM_x=0 => M(y) - 5,6y = 0 => M(y)=-5,6y => M(0)=0 e M(4,7)=26,32 KNm * Trecho BC ΣF_x=0 => -5,6 + 5,6 + N(xc) = 0 => N(xc)=0 ΣF_y=0 => 5,8133 - 3,4 - V(xc) = 0 => => V(x) = 5,8133 - 3,4xc => V(0)=5,8133 KN e V(6)=-14,5867 KN ΣM_x=0 => -5,8133x - 5,6*4,7 + 3,4*x^2/2 + M(xc)=0 => M(xc) = 26,32 + 5,8133x - 1,7x^2 M(0)=26,32 KNm e M(6)=0 * Trecho CD ΣF_y=0 => N(y') + 14,5867 = 0 => N(y')=-14,5867 ΣF_x=0 => V(y') = 0 ΣM_y=0 => -M(y')=0 => M(y')=0 * DEN (KN) * DEC (KN) * DMF (KNm) Questão 02 • DCL e reações de apoio 5,6KN Ax Ay ∑MA=0 => -5,6.4,7 - 3,4.6²/2 + Ey.6 = 0 => Ey = 14,5867 KN ∑Fy=0 => Ay - 3,4.6 + 14,5867 = 0 => Ay = 5,8133 KN ∑Fx=0 => Ax + 5,6 = 0 => Ax = -5,6 KN • Esforços internos * barra BE Por ser biarticulada e sem esforços transversais em seu vão, essa barra está sujeita apenas a esforço normal. Seu valor pode ser obtido com o DCL da barra ABC: NBc.2,6 - 5,6.4,7 = 0 => NBE = 10,1231 KN • Trecho AB ∑Fy=0 => N(y) + 5,8133 = 0 => N(y) = -5,8133 KN ∑Fx=0 => -5,6 + V(x) = 0 => V(x) = 5,6 KN ∑My=0 => -5,6y + M(y) = 0 => M(y) = 5,6y • Trecho BC ∑Fy=0 => N(y) + 5,8133 = 0 => N(y) = -5,8133 KN ∑Fx=0 => -5,6 + 10,1231 + V(x) = 0 => V(x) = -4,5231 KN ∑My=0 => M(y,2) + 11,76 KNm * Trecho CD ∑Fx=0 => -5,6 + 10,1231 + 5,6 + N(x) = 0 => N(x) = -10,1231 KN ∑Fy=0 => (x) 5,8133 - 3,4x} M(y,2,5) - 4,5231y * Trecho CD ΣFx=0 => -5,6 + 10,1231 + 5,6 + N(x) = 0 => N(x) = -10,1231 KN ΣFy=0 => 5,8133 - 3,4x = 0 => V(x) = 5,8133 - 3,4x V(0) = 5,8133 KN e V(6) = -14,5867 KN x = 5,8133/3,4 x = 1,7098 m ΣMx=0 => -5,8133x - 5,6.4,7 + 10,1231.2,6 + 3,4x²/2 + M(x) = 0 M(x) = -2,7x² + 5,8133x M(0) = 0 e M(6) = -26,32 kNm Mmax = M(1,7098) = 4,9689 kNm * Trecho DE ΣFy=0 => N(y1) + 14,5867 = 0 N(y1) = -14,5867 kn ΣFx=0 => -10,1231 + V(y1) = 0 V(y1) = 10,1231 KN ΣMyj=0 => -M(y) - 10,1231x = 0 M(y) = -10,1231x M(0) = 0 e M(2,6) = -36,32 KNm • D.E.N (KN) 5,8133 -10,1231 10,1231 -14,5867 • DEC (kN) 5,8133 FE235 9,6 -41,5867 10,1236 • DMF (kN) 26,32 4,96898 26,32 12,76 Questão 03 286 184 82 204 143 102 102 82 61 143 102 vazio Para cada uma das partes, temos 1) x̄ = \frac{102}{2} = 51mm ȳ = \frac{286}{2} = 143mm A = 102*286 = 29172mm² 2) x̄ = 102 + \frac{204}{2} = 204mm ȳ = 102 + \frac{184}{2} = 194mm A = 204*184 = 37563mm² 3) x̄ = 102 + 204 + \frac{225}{2} = 418,5mm ȳ = \frac{286+102}{2} = 194mm A = 225 * 388= 87300mm² 4) x̄ = 102 + 204 + 225 + \frac{4*143}{3\pi}=592,69mm ȳ = 143mm A = \frac{\pi * 143^2}{2} = 30224,5mm² 5) x̄ = 102 + 204 + \frac{143}{3} = 353,67mm ȳ = 286 + \frac{2*102}{3} = 354mm A = \frac{102 * 143}{2} = 7293mm² 6) x̄ = 102 + 204 + 82 + 61 = 449mm ȳ = 102 + 82 = 184mm A = \pi * 61^2 = 37211,17mm² 7) \bar{x} = \frac{102+204+82}{3} = 333,33mm \bar{y} = \frac{102}{3} = 34mm A = \frac{102*82}{2} = 4182mm² Organizando os dados numa tabela, temos no | \bar{x} (mm) | \bar{y} (mm) | A (mm²) | \bar{x} A (mm³) | \bar{y} A (mm³) 1 | 51 | 143 | 29172 | 1 487 772 | 4 171 596 2 | 204 | 194 | 37536 | 7 657 344 | 9 281 984 3 | 418,5 | 194 | 87300 | 36 535 050 | 16 936 200 4 | 591,69 | 143 | 9658,83 | 5 715 043,60 | 1 381 212,21 5 | 353,67 | 354 | -7293 | -2 579 291 | -2 581 722 6 | 449 | 184 | -11689,87 | -5 248 949,95 | -2 150 935,39 7 | 333,33 | 34 | -4182 | -1 394 000 | -142 188 Σ | - | - | 140 501,96 | 42 173 166,65 | 24 896 146,81 Então \bar{x} = \frac{\Sigma \bar{x}_i A_i}{\Sigma A_i} = \frac{42 173 166,65}{140 501,96} => \bar{x} = 300,16 mm \bar{y} = \frac{\Sigma \bar{y}_i A_i}{\Sigma A_i} = \frac{24 896 146,81}{140 501,96} => \bar{y} = 177,19 mm Questão 04 a) 82 82 143 143 16 ȳ = 0 → eixo x é de simetria X̄ = ∑xᵢAᵢ / ∑Aᵢ = 8(16.143)+57(82.16)+106(16.286)+2.139(82.16)+2.188(16.143) / (16.143)+(82.16)+(16.286)+2(82.16)+2(16.143) X̄ = 147,272 mm Usando o teorema dos eixos paralelos: Iₓ = 16.143³ / 12 + 82.16³ / 12 + 16.286³ / 12 + 2.82.16(143+8)² / 12 + 2.16.143³ / 12 + 2.82.16³ / 12 + 2.82.16(143+8)² + 2.16.143(143.8)² Iₓ = 207 139 537,333 mm⁴ Iᵧ = 143.16³ / 12 + 143.16(8−X̄)² + 16.82³ / 12 + 16.82(57−X̄)² + 286.16³ / 12 + 286.16(106−X̄)² + 2.16.82³ / 12 + 2.16.82(139−X̄)² + 2.143.16³ / 12 + 2.16.143(189−X̄)² Iᵧ = 32 073 716,607 mm⁴ como o eixo x é um eixo de simetria, os valores de Iₓ e Iᵧ serão os principais, já que Iₓᵧ será zero. b) Área = 16(143 + 82 + 286 + (2.82) + (2.143)) = 15 376 mm² Kₓ = √(Iₓ / A) = √(207 139 537,333 / 15 376) => Kₓ = 116,069 mm Kᵧ = √(Iᵧ / A) = √(32 073 716,607 / 15 376) => Kᵧ = 45,692 mm c) Sejam: Iₓ + Iᵧ / 2 = (207 139 537,333 + 32 073 716,607) / 2 = 119 606 626,970 mm⁴ Iₓ - Iᵧ / 2 = (207 139 537,333 - 32 073 716,607) / 2 = 87 532 910,363 mm⁴ Iᵧ = 0 → x e y são eixos principais Para uma rotação de -45º, temos Iₓ₁ = 119 606 626,970 + 87 532 910,363 . cos(2(-45º)) + 0 . sen(2(-45º)) Iₓ₁ = 119 606 626,970 mm⁴ Iᵧ₁ = 119 606 626,970 - 87 532 910,363 . cos(2(-45º)) - 0 . sen(2(-45º)) Iᵧ₁ = 119 606 626,970 mm⁴ Iₓᵧ₁ = -87 532 910,363 sen(2(-45º)) + 0 . cos(2(-45º)) Iₓᵧ₁ = + 87 532 910,636 mm⁴ d) Sejam Iₓ e Iᵧ os momentos principais de inércia. Temos: R = Iₓ - Iᵧ / 2 = 87 532 910,363 mm⁴ C = Iₓ + Iᵧ / 2 = 119 606 626,970 mm⁴ I min = Iᵧ = 32 073 716,607 mm⁴ I máx = Iₓ = 207 139 537,333 mm⁴ Assim: e) Iᵧ₁ = Iᵧ₁ = 119 606 626,970 mm⁴ Iₓᵧ₁ = 87 532 910,363 cm⁴ J máx = (Iᵧ₁ + Iᵧ₁) / 2 + ((Iᵧ₁ - Iᵧ₁) / 2)² + Iₓᵧ₁² J máx = 119 606 626,970 + 87 532 910,363 J máx = 207 139 573,333 mm⁴ J min = (Iᵧ₁ + Iᵧ₁) / 2 - ((Iᵧ₁ - Iᵧ₁) / 2)² + Iₓᵧ₁² J min = 119 606 626,970 - 87 532 910,363 J min = 32 073 716,607 mm⁴ Θ₁ = tg⁻¹( Iₓᵧ₁ / (Iᵧ₁ - Iᵧ₁) ) + como Iₓ₁ - Iᵧ₁ = 0 => Θ₁ = 90º => Θ₁ = 45º Θ₂ = Θ₁ + 90º => Θ₂ = 135º