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Agronomia ·
Matemática Aplicada
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Universidade Federal da Fronteira Sul UFFS Matemática C Lucia Menoncini Chapecó SC CONJUNTOS NUMÉRICOS 1 Conjunto dos Números Naturais Chamase conjunto dos números naturais símbolo N o seguinte conjunto N 0 1 2 3 4 Denotamos por N o conjunto N 1 2 3 4 Vejamos alguns exemplos de números que pertencem e não pertenecem ao conjunto dos números naturais 0 N 2 N 2 3 N 2 Conjunto dos números Inteiros Chamase conjunto dos números inteiros símbolo Z o seguinte conjunto Z 3 2 1 0 1 2 3 No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis Z N 0 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não negativos Z 0 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não positivos Z 3 2 1 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não nulos 3 Conjunto dos números Racionais Chamase conjunto dos números racionais símbolo Q o seguinte conjunto Q a b a Z e b Z No conjunto dos números racionais destacamos os seguintes subconjuntos Q é o conjunto dos racionais não negativos Q é o conjunto dos racionais não positivos Q é o conjunto dos racionais não nulos Exemplo Q 72 3 2 32 1 25 0 13 1 2 52 3 2 Representação decimal Todo número racional a b pode ser representado por um número decimal Para isto basta dividir o inteiro a pelo inteiro b Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos 1 o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero isto é um decimal exato Exemplo 1 2 0 5 37 100 0 37 2 o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente isto é é uma dízima periódica Exemplo 1 3 0 33333 4 Conjunto dos números Irracionais Existem números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica Números como esses são chamados números irracionais Exemplo π 3 14159265 2 1 414213 5 Conjunto dos números Reais Este conjunto é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais Exemplo A π 3 3 2 0 12 1 52 3 π 3 FRAÇÕES 1 Soma e subtração de frações 11 Fraçõess com denominadores iguais Sejam a b e c números inteiros então vale a b c b a c b para b 0 12 Frações com denominadores diferentes Se os denominadores das frações são diferentes transformamos as frações de tal forma que os denominadores sejam iguais Usar o menor múltiplo comum MMC dos denominadores das frações dadas como denominador das novas frações é uma estratégia bem eficiente 2 Multiplicação de frações Considere a b c e d números inteiros Então vale a bc d ac bd para b d 0 Propriedade do cancelamento Algumas multiplicações podem ser simplificadas diminuindo os números a serem operados Ex Simplificando a expressão 25 164 37 42 34 obtemos 2524437 2434 22137 2434 21733 4 3 Divisão de frações Na divisão seguese a regra invertese a segunda fração e multiplicase pela primeira ab cd ab dc adbc A regra dos sinais é idêntica à regra da divisão dos números inteiros POTENCIAÇÃO Seja a ℝ a 0 e n ℤ Então an 1 se n0 an1 a se n 0 1an se n 0 Se a 0 então an 0 para todo n ℤ n 0 Dados a b ℝ e m n ℤ são válidas as seguintes propriedades i am an amn ii am an amn iii a bn an bn iv abn an bn v amn amn RADICIAÇÃO Dados a b R m ℤ e n p ℕ valem as propriedades a ⁿab ⁿa ⁿb b ⁿab ⁿa ⁿb c ⁿam ⁿam d ⁿpa npa Temos também I Dado a ℝ e n ℕ temos que an 1an II Dados a ℝ e pq ℚ p ℤ e q ℕ temos que apq qap NOTAS a Dados a ℝ a 0 e n ℕ dizemos que um número real b b 0 é raiz nésima de a se bn a Notação b ⁿa bn a b Em geral x y x y Ex 16 9 25 5 Porém 16 9 4 3 7 5 c ⁿan a para todo a 0 d x2 x Note que x2 x é Falso Exemplo 36 6 52 5 5 Produtos Notáveis Produtos notáveis são produtos especiais de polinômios São chamados no táveisporque aparecem com frequência em problemas matemáticos Quadrado da soma de dois termos a b2 a2 2ab b2 Quadrado da diferença de dois termosa b2 a2 2ab b2 Produto da soma pela diferença a ba b a2 b2 Cubo da soma de dois termos a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 Cubo da diferença de dois termos a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 Ex Resolva os produtos notáveis a 2x 32 b 2x 53 c x 1x 3 d 2a b2a b 7 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO Dado a R o valor de a ou módulo de a é dado por a a se a 0 a se a 0 O módulo de a ou seja a é a distância do número a até a origem Ex a 2 2 b 3 3 3 Propriedades Dados a b R são válidas as seguintes propriedades i x a a x a em que a 0 ii x a x a ou x a em que a 0 iii a b a b iv a b a b em que b 0 v a b a b vi a b a b vii a b a b 8 Intervalos em R Sejam a b R com a b Um intervalo em R é um subconjunto infinito de R que tem uma das seguintes formas a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a x R x a a x R x a b x R x b b x R x b Exercícios Represente de 3 formas distintas cada intervalo a 2 5 b 1 3 c 10 14 d 2 e 7 f x R x 3 g x R x 5 h i 9 Equações e Inequações Uma equação é uma relação de igualdade entre duas expressões matemáticas e envolve o símbolo de igualdade enquanto que uma inequação representa um desequilíbrio usase símbolos como Ex Resolver as equações a 3 4x 2x 15 b 2x 4 5x 2 3 c2x 3 8 d 5x 1 2x 3 10 ESTUDO DO SINAL DE UMA EQUAÇÃO Estudar o sinal de uma equação significa determinar os valores da variável para qual a equação é positiva negativa ou nula Se a equação é do primeiro grau podemos representála geometricamente por meio de uma reta Se a equação é do segundo grau representamos geometricamente a equação por meio de uma parábola Ex Estudar o sinal das equações a 3x 6 0 b 2x 8 15 c x2 3x 1 1 11 INEQUAÇÕES Vamos agora resolver algumas inequações Inicialmente vejamos o que acontece com a inequação ao operarmos sobre ela 2 3 Propriedades Sejam u v e w números reais ou variáveis e c um número real 1 Transitiva i Se u v e v w então u w ii Se u v e v w então u w 2 Adição i Sejam x e y núumeros reais quaisquer Então x y se e somente se x z y z para todo z R ii Sejam x e y núumeros reais quaisquer Então x y se e somente se x z y z para todo z R 3 Multiplicação i Sejam x e y números reais quaisquer Então x y se e somente se xz yz para todo real positivo z ii Sejam x e y números reais quaisquer Então x y se e somente se xz yz para todo real negativo z 12 Exemplos de Inequações 1 x 3 2x 4 Inequação Simultânea 2 7 5x 3 9 Inequações Produto e Quociente 3 x 5x 3 0 13 4 3 x 3 x 4 5 Verifique se cada passo da solução das inequações abaixo está correto e justifique a 7x 5 2x 1 3 7x 5 6x 3 x 8 b 6x2 x 2x2 1 3 6x2 x 6x2 3 x 3 14 6 Sejam a b c d 0 tais que ab cd Mostre que ab acbd cd Interprete este resultado no caso em que a b c d são inteiros positivos isto é o que significa somar numeradores e denominadores de duas frações 7 Sejam a b números reais não negativos Mostre que a b22 a2 b22 Interprete geometricamente esta desigualdade Inequações Modulares 8 7x 2 4 9 x 3 x 1 16 10 7 2x4 x 2 x 4 11 Os números racionais x e y são tais que 0 x 1 e 0 y 1 Prove que x1 y y1 x 1 12 Para que valores inteiros de x a área do retângulo é menor que a área do triângulo 13 Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá los a um cliente O transporte pode ser feito por caminh oes ou por trem Para cada tonelada transportada por trem pagase R 8 00 de custo fixo e R 0 015 por quilômetro rodado O transporte rodoviário exige 25 caminhões Para cada caminhão utilizado pagase R 125 00 de custo fixo além de R 0 50 por quilô metro rodado Suponha que x seja a distância em quilâmetros entre o armazém e o cliente Para que intervalo de variação de x o transporte por trem é mais vantajoso que o transporte por caminh oes R 175 18 Exercícios 1 Um certo número foi somado com 8 e o resultado foi multiplicado por 6 No final obtevese 30 Qual é esse número Resposta 3 2 Em uma lanchonete um pastel e um suco custam 7 90 reais Se o suco é 1 70 reais mais caro que o pastel quanto custa o suco R480 3 Um ônibus saiu da estação com x pessoas Se na primeira parada desceram 2 pessoas e subiram 4 na segunda desceram 6 pessoas e subiu uma quantidade de pessoas que dobrou o número de pessoas no ônibus na terceira desceu 1 pessoa e n ao subiu ninguém por fim na última parada desceram todas as 53 pessoas do ônibus Quantas pessoas havia no ônibus no começo da viagem R 31 4 Em um hotel um terço dos hóspedes são homens 2 5 são mulheres e 44 são crianças Quantos são os hóspedes do hotel R165 5 Qual das equações abaixo resolve o problema a seguir Uma quantidade de amigos resolveu fazer uma viagem juntos dividindo igual mente suas despesas no total de 6000 reais Entretanto na última hora 3 dos amigos desistiram e cada um dos que foram viajar teve que arcar com uma des pesa extra de 100 reais Incluindo os que desistiram quantos amigos eram Justifique R b ax2 12x 0 bx2 3x 180 0 c x2 144 d x2 100x 6000 0 6 Que condições um quadrado deve satisfazer para que sua área seja numericamente maior que seu perímetro R x 4 19 7 Resolva as equações a 2x 3 5x 1 b 32x 4 x2 34 c 7 34x 3 44 2x 5 8 Uma estrada mede 120 Km Você percorreu 25 dela Quanto você andou Quanto falta andar 9 Você deve estudar no mínimo 4 horas por dia Ontem você estudou 34 do tempo Quantas horas você estudou Quantos horas falta estudar 10 Encontre o valor das expressões a 42 31 20 b 23 32 52 c 42 ³56 10 d 32 32 32 11 Expresse as potências sob forma de radicais a 512 b 713 c 232 d 223 e 624 12 Expresse os radicais sob forma de potência a 12 b ³7 c ⁵125 d 36 e ⁴32 f ³x6 13 Qual o valor da metade dos números 212 410 86 14 Calcule o valor da expressão 1605 813 13202 15 Encontre a solução das inequações a 3 x 5 3x R 12 b 2 3 3x 7 R 53 43 c x2 9 R 3 3 d x2 3x 2 0 R 1 2 e 1 x 2x2 0 R 1 12 f x x 3 4 R 3 4 g x 1 4 x2 0 h x2 1x 4 0 i 1 x 1 3 x 2 R 52 1 2 j 3 x2 5 0 k x2 25 0 l x 3 2x 1 0 m x3 3x 2 0 R 2 1 16 Resolver as inequações a x 2 3 x 1 2 x R x 1 b x 1 2 x 3 4 1 R x 3 c 2x 3 2 5 3x 3 3x 1 6 R x 3 d 2 3x 1 4 R 13 x 53 e 3x 4 5 6 2x R x 13 f 3x 35x 3 0 R x 1 ou x 35 g 5x 22 x4x 3 0 R x 34 ou 25 x 2 h 5x 3 3x 4 1 R x 78 ou x 43 i 1 2x3 4x 4 x 0 R 34 x 12 ou x 4 j 3x 1 2x 55x 3 0 R x 52 ou 35 x 13 k 1 x 4 2 x 3 R 3 x 4 ou x 11 l x2 2x 2 0 R R 21 m x2 2x 1 0 R x 1 n x2 3x 2 0 R x 1 ou x 2 o x2 x 6 0 R 2 x 3 p 1 4x22x2 3x 0 R 32 x 12 ou 0 x 12 q 2x2 7x 62x2 7x 5 0 R 1 x 32 ou 2 x 52 r 4x2 x 52x2 3x 2 0 R x 54 ou 12 x 1 ou x 2 s 9x2 9x 23x2 7x 2 0 R x 2 ou 13 x 13 ou x 23 t 2 3x2x2 3x 2 0 R 2 x 12 ou x 23 17 Resolva as equações e inequações modulares a 3x 1 2 R 1 13 b 2x 3 1 R c x2 5x2 14 54 R 12 122 3 d 4x 1 2x 3 0 R 13 2 e x2 x 5 4x 1 R 6 1 1 4 f x 2 2x 1 R 13 g 3x 2 2x 3 R h x2 x 6 0 Use x y R 2 2 i 3x 2 4 R 23 x 2 j 1 x 1 3 R 2 x 0 ou 2 x 4 k 2x 33x 1 2 R 14 x 58 e x 13
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Universidade Federal da Fronteira Sul UFFS Matemática C Lucia Menoncini Chapecó SC CONJUNTOS NUMÉRICOS 1 Conjunto dos Números Naturais Chamase conjunto dos números naturais símbolo N o seguinte conjunto N 0 1 2 3 4 Denotamos por N o conjunto N 1 2 3 4 Vejamos alguns exemplos de números que pertencem e não pertenecem ao conjunto dos números naturais 0 N 2 N 2 3 N 2 Conjunto dos números Inteiros Chamase conjunto dos números inteiros símbolo Z o seguinte conjunto Z 3 2 1 0 1 2 3 No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis Z N 0 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não negativos Z 0 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não positivos Z 3 2 1 1 2 3 chamado conjunto dos inteiros não nulos 3 Conjunto dos números Racionais Chamase conjunto dos números racionais símbolo Q o seguinte conjunto Q a b a Z e b Z No conjunto dos números racionais destacamos os seguintes subconjuntos Q é o conjunto dos racionais não negativos Q é o conjunto dos racionais não positivos Q é o conjunto dos racionais não nulos Exemplo Q 72 3 2 32 1 25 0 13 1 2 52 3 2 Representação decimal Todo número racional a b pode ser representado por um número decimal Para isto basta dividir o inteiro a pelo inteiro b Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos 1 o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero isto é um decimal exato Exemplo 1 2 0 5 37 100 0 37 2 o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente isto é é uma dízima periódica Exemplo 1 3 0 33333 4 Conjunto dos números Irracionais Existem números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica Números como esses são chamados números irracionais Exemplo π 3 14159265 2 1 414213 5 Conjunto dos números Reais Este conjunto é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais Exemplo A π 3 3 2 0 12 1 52 3 π 3 FRAÇÕES 1 Soma e subtração de frações 11 Fraçõess com denominadores iguais Sejam a b e c números inteiros então vale a b c b a c b para b 0 12 Frações com denominadores diferentes Se os denominadores das frações são diferentes transformamos as frações de tal forma que os denominadores sejam iguais Usar o menor múltiplo comum MMC dos denominadores das frações dadas como denominador das novas frações é uma estratégia bem eficiente 2 Multiplicação de frações Considere a b c e d números inteiros Então vale a bc d ac bd para b d 0 Propriedade do cancelamento Algumas multiplicações podem ser simplificadas diminuindo os números a serem operados Ex Simplificando a expressão 25 164 37 42 34 obtemos 2524437 2434 22137 2434 21733 4 3 Divisão de frações Na divisão seguese a regra invertese a segunda fração e multiplicase pela primeira ab cd ab dc adbc A regra dos sinais é idêntica à regra da divisão dos números inteiros POTENCIAÇÃO Seja a ℝ a 0 e n ℤ Então an 1 se n0 an1 a se n 0 1an se n 0 Se a 0 então an 0 para todo n ℤ n 0 Dados a b ℝ e m n ℤ são válidas as seguintes propriedades i am an amn ii am an amn iii a bn an bn iv abn an bn v amn amn RADICIAÇÃO Dados a b R m ℤ e n p ℕ valem as propriedades a ⁿab ⁿa ⁿb b ⁿab ⁿa ⁿb c ⁿam ⁿam d ⁿpa npa Temos também I Dado a ℝ e n ℕ temos que an 1an II Dados a ℝ e pq ℚ p ℤ e q ℕ temos que apq qap NOTAS a Dados a ℝ a 0 e n ℕ dizemos que um número real b b 0 é raiz nésima de a se bn a Notação b ⁿa bn a b Em geral x y x y Ex 16 9 25 5 Porém 16 9 4 3 7 5 c ⁿan a para todo a 0 d x2 x Note que x2 x é Falso Exemplo 36 6 52 5 5 Produtos Notáveis Produtos notáveis são produtos especiais de polinômios São chamados no táveisporque aparecem com frequência em problemas matemáticos Quadrado da soma de dois termos a b2 a2 2ab b2 Quadrado da diferença de dois termosa b2 a2 2ab b2 Produto da soma pela diferença a ba b a2 b2 Cubo da soma de dois termos a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 Cubo da diferença de dois termos a b3 a3 3a2b 3ab2 b3 Ex Resolva os produtos notáveis a 2x 32 b 2x 53 c x 1x 3 d 2a b2a b 7 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO Dado a R o valor de a ou módulo de a é dado por a a se a 0 a se a 0 O módulo de a ou seja a é a distância do número a até a origem Ex a 2 2 b 3 3 3 Propriedades Dados a b R são válidas as seguintes propriedades i x a a x a em que a 0 ii x a x a ou x a em que a 0 iii a b a b iv a b a b em que b 0 v a b a b vi a b a b vii a b a b 8 Intervalos em R Sejam a b R com a b Um intervalo em R é um subconjunto infinito de R que tem uma das seguintes formas a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a x R x a a x R x a b x R x b b x R x b Exercícios Represente de 3 formas distintas cada intervalo a 2 5 b 1 3 c 10 14 d 2 e 7 f x R x 3 g x R x 5 h i 9 Equações e Inequações Uma equação é uma relação de igualdade entre duas expressões matemáticas e envolve o símbolo de igualdade enquanto que uma inequação representa um desequilíbrio usase símbolos como Ex Resolver as equações a 3 4x 2x 15 b 2x 4 5x 2 3 c2x 3 8 d 5x 1 2x 3 10 ESTUDO DO SINAL DE UMA EQUAÇÃO Estudar o sinal de uma equação significa determinar os valores da variável para qual a equação é positiva negativa ou nula Se a equação é do primeiro grau podemos representála geometricamente por meio de uma reta Se a equação é do segundo grau representamos geometricamente a equação por meio de uma parábola Ex Estudar o sinal das equações a 3x 6 0 b 2x 8 15 c x2 3x 1 1 11 INEQUAÇÕES Vamos agora resolver algumas inequações Inicialmente vejamos o que acontece com a inequação ao operarmos sobre ela 2 3 Propriedades Sejam u v e w números reais ou variáveis e c um número real 1 Transitiva i Se u v e v w então u w ii Se u v e v w então u w 2 Adição i Sejam x e y núumeros reais quaisquer Então x y se e somente se x z y z para todo z R ii Sejam x e y núumeros reais quaisquer Então x y se e somente se x z y z para todo z R 3 Multiplicação i Sejam x e y números reais quaisquer Então x y se e somente se xz yz para todo real positivo z ii Sejam x e y números reais quaisquer Então x y se e somente se xz yz para todo real negativo z 12 Exemplos de Inequações 1 x 3 2x 4 Inequação Simultânea 2 7 5x 3 9 Inequações Produto e Quociente 3 x 5x 3 0 13 4 3 x 3 x 4 5 Verifique se cada passo da solução das inequações abaixo está correto e justifique a 7x 5 2x 1 3 7x 5 6x 3 x 8 b 6x2 x 2x2 1 3 6x2 x 6x2 3 x 3 14 6 Sejam a b c d 0 tais que ab cd Mostre que ab acbd cd Interprete este resultado no caso em que a b c d são inteiros positivos isto é o que significa somar numeradores e denominadores de duas frações 7 Sejam a b números reais não negativos Mostre que a b22 a2 b22 Interprete geometricamente esta desigualdade Inequações Modulares 8 7x 2 4 9 x 3 x 1 16 10 7 2x4 x 2 x 4 11 Os números racionais x e y são tais que 0 x 1 e 0 y 1 Prove que x1 y y1 x 1 12 Para que valores inteiros de x a área do retângulo é menor que a área do triângulo 13 Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá los a um cliente O transporte pode ser feito por caminh oes ou por trem Para cada tonelada transportada por trem pagase R 8 00 de custo fixo e R 0 015 por quilômetro rodado O transporte rodoviário exige 25 caminhões Para cada caminhão utilizado pagase R 125 00 de custo fixo além de R 0 50 por quilô metro rodado Suponha que x seja a distância em quilâmetros entre o armazém e o cliente Para que intervalo de variação de x o transporte por trem é mais vantajoso que o transporte por caminh oes R 175 18 Exercícios 1 Um certo número foi somado com 8 e o resultado foi multiplicado por 6 No final obtevese 30 Qual é esse número Resposta 3 2 Em uma lanchonete um pastel e um suco custam 7 90 reais Se o suco é 1 70 reais mais caro que o pastel quanto custa o suco R480 3 Um ônibus saiu da estação com x pessoas Se na primeira parada desceram 2 pessoas e subiram 4 na segunda desceram 6 pessoas e subiu uma quantidade de pessoas que dobrou o número de pessoas no ônibus na terceira desceu 1 pessoa e n ao subiu ninguém por fim na última parada desceram todas as 53 pessoas do ônibus Quantas pessoas havia no ônibus no começo da viagem R 31 4 Em um hotel um terço dos hóspedes são homens 2 5 são mulheres e 44 são crianças Quantos são os hóspedes do hotel R165 5 Qual das equações abaixo resolve o problema a seguir Uma quantidade de amigos resolveu fazer uma viagem juntos dividindo igual mente suas despesas no total de 6000 reais Entretanto na última hora 3 dos amigos desistiram e cada um dos que foram viajar teve que arcar com uma des pesa extra de 100 reais Incluindo os que desistiram quantos amigos eram Justifique R b ax2 12x 0 bx2 3x 180 0 c x2 144 d x2 100x 6000 0 6 Que condições um quadrado deve satisfazer para que sua área seja numericamente maior que seu perímetro R x 4 19 7 Resolva as equações a 2x 3 5x 1 b 32x 4 x2 34 c 7 34x 3 44 2x 5 8 Uma estrada mede 120 Km Você percorreu 25 dela Quanto você andou Quanto falta andar 9 Você deve estudar no mínimo 4 horas por dia Ontem você estudou 34 do tempo Quantas horas você estudou Quantos horas falta estudar 10 Encontre o valor das expressões a 42 31 20 b 23 32 52 c 42 ³56 10 d 32 32 32 11 Expresse as potências sob forma de radicais a 512 b 713 c 232 d 223 e 624 12 Expresse os radicais sob forma de potência a 12 b ³7 c ⁵125 d 36 e ⁴32 f ³x6 13 Qual o valor da metade dos números 212 410 86 14 Calcule o valor da expressão 1605 813 13202 15 Encontre a solução das inequações a 3 x 5 3x R 12 b 2 3 3x 7 R 53 43 c x2 9 R 3 3 d x2 3x 2 0 R 1 2 e 1 x 2x2 0 R 1 12 f x x 3 4 R 3 4 g x 1 4 x2 0 h x2 1x 4 0 i 1 x 1 3 x 2 R 52 1 2 j 3 x2 5 0 k x2 25 0 l x 3 2x 1 0 m x3 3x 2 0 R 2 1 16 Resolver as inequações a x 2 3 x 1 2 x R x 1 b x 1 2 x 3 4 1 R x 3 c 2x 3 2 5 3x 3 3x 1 6 R x 3 d 2 3x 1 4 R 13 x 53 e 3x 4 5 6 2x R x 13 f 3x 35x 3 0 R x 1 ou x 35 g 5x 22 x4x 3 0 R x 34 ou 25 x 2 h 5x 3 3x 4 1 R x 78 ou x 43 i 1 2x3 4x 4 x 0 R 34 x 12 ou x 4 j 3x 1 2x 55x 3 0 R x 52 ou 35 x 13 k 1 x 4 2 x 3 R 3 x 4 ou x 11 l x2 2x 2 0 R R 21 m x2 2x 1 0 R x 1 n x2 3x 2 0 R x 1 ou x 2 o x2 x 6 0 R 2 x 3 p 1 4x22x2 3x 0 R 32 x 12 ou 0 x 12 q 2x2 7x 62x2 7x 5 0 R 1 x 32 ou 2 x 52 r 4x2 x 52x2 3x 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