Apostila Matematica - Introducao a Funcoes UFFS

UNIVERSIDADE FEDERAL DA FRONTEIRA SUL UFFS MATEMÁTICA C Apostila 2 FUNÇÕES LUCIA MENONCINI Chapecó INTRODUÇÃO A FUNÇÕES Na base do desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral está o conceito de função e daí sua importância já que praticamente toda a ciência e a tecnologia moderna utilizam o Cálculo Mas porque as funções são tão importantes para as ciências Porque elas descrevem qualitativamente o comportamento de partes da realidade com precisão suficiente para que decisões possam ser tomadas Saber o tempo de resfriamento de uma peça fundida é importante para decidir quando manuseála saber o tempo em que a receita e a despesa de um empreendimento serão iguais significa saber quando o lucro se inicia o planejamento econômico de um reflorestamento depende da função de como as árvores crescem a variação da concentração de um medicamento no organismo humano é fundamental para determinar a dose e o intervalo de ingestão a deformação em vigas depende das cargas aplicadas e do material Todos esses e tantos outros fenômenos são expressos na forma de funções cujo conhecimento básico vamos desenvolver a seguir BORGES BRANCHER 2015 Há inúmeras GRANDEZAS nos exemplos acima O que é uma grandeza É tudo o que pode ser medido ou contado como comprimento área volume densidade demográfica temperatura tempo etc Em geral as grandezas dependam de outras grandezas Duas grandezas são diretamente proporcionais se variam na mesma razão ou seja se uma delas duplica a outra também duplica se uma delas é dividida por dois a outra também é dividida por dois Exemplo 1 A partir do nascimento de um bebê registrase o seu comprimento altura em função de sua idade Até uma certa idade em que se estabiliza o crescimento quanto maior a idade maior a sua altura Representando a situação por meio de diagramas Idade meses Altura cm 0 45 1 46 3 50 Exemplo 2 A pressão atmosférica varia com a altitude sendo que quanto maior a altitude menor a pressão atmosférica conforme tabela abaixo Altitude m Pressão mmHg 0 760 1000 674 2000 596 3000 526 Exemplo 3 Em um supermercado o preço de venda do quilograma do feijão é R 700 Se uma pessoa desejar comprar 5 kg de feijão o preço pago será de R 3500 Quantia kg Preço R 1 7 2 14 5 35 Em cada um desses exemplos existe uma relação de dependência entre duas grandezas ou seja a variação de uma grandeza depende da variação da outra Deste modo temse grandezas que variam de forma independente e grandezas que variam de forma dependente A grandeza que varia de modo independente será chamada variável independente e a grandeza que varia de modo dependente será chamada variável dependente Identifique nos exemplos supracitados qual grandeza varia de modo independente e qual varia de modo dependente Variável dependente Variável independente CONCEITO DE FUNÇÃO Podemos definir função de duas formas equivalentes Definição Sejam A e B dois conjuntos não vazios Uma função f de A em B é uma correspondência entre elementos de A e elementos de B denotada por f A B que associa a cada elemento a A um único elemento b B A B 𝑎1 𝑏1 𝑏5 𝑎2 𝑏2 𝑏4 𝑎3 𝑏3 Definição Sejam dois conjuntos Xx1 x2 x3 x4 xn e Yy1 y2 y3 y4 yn Seja 𝑓 uma regra matemática que associa os elementos de X e Y formando um conjunto de pares ordenados xi yi com i 1234 n Y fxi é uma função de X se para qualquer xi f associa um e somente um valor de yi X Y 𝑥1 𝑦1 𝑦5 𝑥2 𝑦2 𝑦4 𝑥3 𝑦3 O conjunto A ou o conjunto X são chamados domínio da função f O conjunto B ou o conjunto Y são o contradomínio de f Se a A o elemento b fa B é chamado imagem de a pela função f Ou se 𝑥𝑖 𝑋 então o elemento 𝑓𝑥𝑖 𝑌 é chamado imagem de 𝑥𝑖 pela função f Nos pares ordenados xy os elementos do conjunto X são chamados de abcissas e os do conjunto Y de ordenadas Vejamos um exemplo de função Fonte httpswwwinstagramcompCEr6GyDVqigshid14owgf9d7nvmz mathonica NOTA Assim para ser função cada elemento a A deve possuir um único elemento b B ou seja nenhum elemento de A pode ficar sem imagem e cada elemento de A só pode ter uma única imagem Exemplo 2 Observando os diagramas abaixo quais representam funções Justifique a c GRÁFICO DE FUNÇÕES Seja f uma função O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos 𝑥 𝑓𝑥 de um plano coordenado onde x pertence ao domínio de f Exemplo 3 Com base na imagem dos gráficos justifique quais deles representam função a b c Exemplo 4 Em um supermercado o preço do quilograma de arroz custa R 500 e os pacotes de arroz são vendidos com as seguintes quantidades 1 kg 2 kg e 5 kg a Encontre uma função que represente o custo do arroz de acordo com a quantidade comprada b Esboce o gráfico desta função usando as quantidades de arroz 1 kg 2 kg e 5 kg e indique os conjuntos Domínio e Imagem nesta situação Quantidades x Custo 𝑪𝒙 1 2 5 0 1 2 3 4 5 Quantidade x 25 20 15 10 5 Custo 𝑦 𝐶𝑥 TIPOS DE FUNÇÕES 1 FUNÇÃO CONSTANTE Exemplo 5 O gráfico abaixo mostra a variação do preço de um equipamento eletrônico entre os meses de janeiro a agosto de 2020 a Com base no gráfico o preço do equipamento sofreu variações em todo o período b Em que período de tempo o preço se manteve constante DEFINIÇÃO Uma função constante é toda função do tipo 𝒇𝒙 𝒌 com 𝑘 𝑅 Exemplo 6 Construa o gráfico das funções indicando domínio e imagem a 𝑓𝑥 2 b 𝑔𝑥 25 2 FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Exemplo 7 Em uma corrida de táxi o motorista cobra R 400 de bandeirada mais R 100 por quilômetro rodado Caso o cliente percorra menos de 1 km só é cobrada a bandeirada a Escreva uma função que representa esta situação b Qual o valor da corrida se for percorrido 10 km c E se ao final do percurso o valor cobrado for de R 3900 quantos km foram percorridos d Em que situação a função descrita anteriormente poderia ser reescrita como uma função constante Representea na forma algébrica justificando sua resposta DEFINIÇÃO Uma função Polinomial do 1º Grau é toda função do tipo 𝒇𝒙 𝒂𝒙 𝒃 com 𝑎 𝑏 𝑅 O termo a é chamado coeficiente angular e b é coeficiente linear ou constante O gráfico da função do 1º grau é uma reta e a interseção da reta com o eixo x determina a raiz ou zero da função Em uma reta a taxa de variação crescimento ou decrescimento é sempre constante Isto significa que para o mesmo incremento 𝑥 em qualquer x o incremento 𝑦 em y será o mesmo O coeficiente angular é a inclinação ou taxa de variação da reta dado pela expressão 𝑎 𝑡𝑔𝜃 𝑦 𝑥 Raiz ou Zero da função Interseção da reta com o eixo ordenado eixo y Exemplo 8 Considere a reta 𝑓𝑥 2𝑥 e a parábola 𝑓𝑥 𝑥2 abaixo Analise a taxa de variação em cada caso Logo a taxa de variação desta reta é 𝑎 𝑡𝑔𝜃 𝑦 𝑥 Notem que a taxa de variação no ponto 𝑥 1 é 𝑡𝑔𝜃 𝑦 𝑥 e no ponto o 𝑥 2 é 𝑡𝑔𝜃 𝑦 𝑥 Logo a variação não é constante 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Exemplo 9 Postar no Moodle Usando o GeoGebra explore os coeficientes da função 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏 Descreva o que você observou nesta atividade e responda as questões a Fixe o valor 𝑏 0 Neste caso o que acontece com a reta quando o coeficiente angular 𝑎 é positivo E quando é negativo b Fixe o valor 𝑏 0 O que acontece com a reta quando o coeficiente angular 𝑎 aumenta seu valor positivamente E quando diminui positivamente c Fixe o valor 𝑎 1 O que acontece com a reta quando o coeficiente linear b é positivo E quando b é negativo Exemplo 10 Construa o gráfico das funções usando a ideia de deslocamentos Também indique os conjuntos domínio 𝐷𝑓 e imagem 𝐼𝑚𝑓 e os pontos em que o gráfico intercepta os eixos Também diga se a função é crescente ou decrescente a 𝑓𝑥 𝑥 b 𝑓𝑥 𝑥 1 c 𝑓𝑥 𝑥 2 d 𝑓𝑥 2𝑥 6 e 𝑓𝑥 4𝑥 3 f 𝑓𝑥 2𝑥 1 Exemplo 11 Uma barra de ferro inicialmente a uma temperatura de 10º C foi aquecida até 30 º C O gráfico abaixo representa a variação da temperatura da barra em função do tempo gasto nesta experiência Calcule em quanto tempo após o início da experiência a temperatura atingiu 0º C Tempo minutos Temperatura º C OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Dadas as funções f e g podemos somar f g calcular a subtração f g calcular o produto f g e o quociente 𝑓𝑔 i f g x f x g x ii f g x f x g x iii f g x f x g x iv 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 com g𝑥 0 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES Dadas duas funções f e g a função composta de g com f denotada por 𝑔 𝑓 é definida por 𝑔 𝑓𝑥 𝑔𝑓𝑥 O domínio de 𝑔 𝑓 é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f x está no domínio de g Ex Sejam 𝑓𝑥 5𝑥2 2𝑥 3 𝑔𝑥 4 7𝑥 e ℎ𝑥 2𝑥6 3𝑥1 Encontre as funções compostas a 𝑔 𝑓𝑥 b 𝑓 𝑔𝑥 c ℎ 𝑔𝑥 ESTUDO DO DOMÍNIO DAS FUNÇÕES O conjunto domínio de uma função f é denotado por 𝑫𝒇 Ele contém todos os valores que a variável independente x pode assumir Ex Encontre o domínio de cada função a 𝑓𝑥 5𝑥 2 b 𝑓𝑥 3𝑥2 5𝑥 12 c 𝑔𝑥 2𝑥1 𝑥4 d 𝑓𝑥 34𝑥2 𝑥25𝑥2 e 𝑓𝑥 3𝑥 𝑥25 f 𝑓𝑥 4𝑥 8 g 𝑓𝑥 𝑥2 𝑥 3 h 𝑓𝑥 𝑥 2 3