Resolver as Funções Exponencial Trigonométrica e Racional

Lista de exercícios para a P6 1 Esboce o gráfico das funções indicando domínio imagem assíntotas se existirem e o período se existir a 𝑓𝑥 5𝑥7 2𝑥4 b 𝑓𝑥 23𝑥 2𝑥3 c 𝑓𝑥 1 𝑥 d 𝑓𝑥 1 𝑥2 b 𝑓𝑥 4𝑥 𝑔𝑥 4𝑥 2 e ℎ𝑥 4𝑥2 no mesmo plano cartesiano c 𝑓𝑥 2 3 2𝑥1 1 d 𝑓𝑥 5𝑥 e 𝑔𝑥 5𝑥 no mesmo plano cartesiano e 𝑓𝑥 𝑒𝑥 e 𝑔𝑥 𝑒𝑥 2 no mesmo plano cartesiano f 𝑓𝑥 log3 𝑥 f 𝑓𝑥 2 log1 2 𝑥 g 𝑓𝑥 ln𝑥 e 𝑔𝑥 ln𝑥 1 no mesmo plano cartesiano h 𝑓𝑥 ln 𝑥 2 e 𝑔𝑥 ln2𝑥 1 no mesmo plano cartesiano i 𝑓𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑔𝑥 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜋no mesmo plano cartesiano j 𝑓𝑥 cos 𝑥 𝜋 𝑔𝑥 2cos𝑥 𝜋 e ℎ𝑥 cos𝑥 𝜋 2 no mesmo plano cartesiano k 𝑓𝑥 2 cos 𝑥 𝜋 2 l 𝑓𝑥 𝑡𝑔𝑥 1 Aplicações 1 Sabemos que o cálculo de juros compostos é dado através de uma função exponencial ft em que t é o tempo de aplicação de um certo capital Considere uma quantia de R220000 aplicada em um banco a uma taxa de 08 ao mês no sistema de juros compostos Pedese a A função ft que representa o montante acumulado após t meses M C 1 it onde C Capital i taxa de juros t tempo M montante final b Qual é o montante no final de 18 meses M 22001 000818 M R 253929 c Quanto se ganhou em juros no período de 2 anos M 22001 000824 M R 266364 Ganho em juros 2663642200 46364 2 Em uma determinada colônia o número de bactérias de uma cultura cresce em função do tempo obedecendo à seguinte função Bt 2t3 Considerando t medido em horas determinar a quantidade de bactérias na colônia após a 12 horas b 2 dias c Uma semana 3 Seja a função fx a 3bx em que a e b são constantes Se f0 900 e f10 300 calcule k tal que fk 100 4 Nas alternativas seguintes assinale V para verdadeiro e F para falso justificando as falsas através de um contraexemplo a A principal característica de uma função exponencial é o aparecimento da variável no denominador b A função logarítmica é a função inversa da função exponencial c Em uma função exponencial fx ax se a 1 a função é decrescente Caso 0 a 1 a função é crescente d Em uma função exponencial fx ax com a 0 e a 1 fx 0 para todo x R e log 30 log 20 log30 20 f log 30 log 20 log30 20 g A função logarítmica é crescente se a base for maior que 1 h Seno cosseno e tangente são funções periódicas i O período da função y sem π2 x é igual a 2π j O período da função y tgπ x é igual a 2π k A amplitude da função y 2 cos x3 é igual a 2 m y 1x x N não é uma função periódica n As funções seno e cosseno são funções ímpares o No triângulo retângulo a tangente de um dos ângulos agudos é igual ao cateto oposto dividido pelo cateto adjacente 6 UFSCarSP A altura média de um tronco de certa espécie de árvore que se destina à produção de madeira evolui desde que é plantada segundo o seguinte modelo matemático ht 15 log3t 1 com ht em metros e t em anos Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 35m de altura o tempo em anos transcorrido do momento da plantação até a do corte foi de a 9 b 8 c 5 d 4 e 2 7 Um médico após fazer um estudo sobre o crescimento das crianças de uma determinada escola com idades que variam de 1 a 13 anos obteve a fórmula hi log1023i em que h é a altura em metros e i é a idade em anos Pedese a a altura de uma criança de 11 anos b a altura de uma criança de 8 anos c quantos centímetros uma criança cresce em média dos 7 aos 10 anos 8 Alguns produtos agrícolas têm seu preço de venda com variação periódica Esses produtos apresentam épocas de safra e épocas de entressafra Suponhamos que o preço médio de venda da saca de feijão do produtor ao atacadista numa determinada região possa ser representado pela equação px 30 10 sen π6 t sendo p o preço médio da saca 60kg de feijão em reais e x o mês do ano Pedese a Qual o valor máximo obtido na venda de uma saca de feijão b Em qual mês foi obtido esse valor c Qual o pior valor de venda da saca d Qual o período de variação do preço da saca e Faça o gráfico da função 9 Imagine uma corda presa a uma parede e na outra extremidade um garoto vibrando essa corda A equação que descreve o movimento da corda provocado pelo garoto é yt 80 20cosπt π2 em que y é o deslocamento vertical da onda em cm e t é o tempo em segundos Pedese a O gráfico da função b Os tempos em que há altura máxima e mínima da corda no primeiro período 10 A energia elétrica que usamos no cotidiano resulta no movimento ordenado de elétrons que é chamado de corrente elétrica Essa corrente é alternada e pode ser representada pelo gráfico abaixo em que t0 é o instante inicial da medida da corrente a Qual o valor máximo da corrente elétrica b Qual é o período da onda c Qual é a equação utilizando a função cosseno que representa essa onda 1 Esboce o gráfico das funções indicando domínio imagem assíntotas se existirem e o período se existir Domínio ℝ 2 Imagem ℝ 52 Assíntota vertical 2 Assíntota horizontal 52 Domínio ℝ 32 Imagem ℝ 32 Assíntota vertical 32 Assíntota horizontal 32 Domínio ℝ 0 Imagem ℝ 0 Assíntota vertical 0 Assíntota horizontal 0 Domínio ℝ 2 Imagem ℝ 0 Assíntota vertical 2 Assíntota horizontal 0 Domínio ℝ Imagem 2 Domínio ℝ Imagem 1 Domínio ℝ Imagem 0 Domínio ℝ Imagem 0 Domínio 0 Imagem ℝ Domínio 1 Imagem ℝ Domínio 0 Imagem ℝ Domínio ℝ Imagem 3 3 Período 2π Domínio ℝ Imagem 2 3 Período 2π Domínio ℝ Imagem 1 3 Período 2π Domínio x R x de π2 kπ 1 K Z Imagem R Período π 2 123 2 416bactérias 2 dias 48 horas 2 4832 16 65536bactérias 7 dias 724 horas 168 horas 2 1683 2 5672057594 x 10 16bactérias f 0a3 0b a1900 a900 f 109003 10b300 dividimos ambos os lados por 300 33 10b1 O expoente precisa de 0 para resultar em 1 110b0 b110 f k9003 110k100 dividimos ambos os lados por 100 f k93 110k1 f k3 23 110k1 f k3 2110k1 O expoente precisa de 0 para resultar em 1 2110k0 110k2 k2110 k20 a F Aparece no expoente b V c F é o contrário se a 1 é crescente e se 0a1 é decrescente d V e F f F g V h V i V j F o período é π k F é 4 m F é periódica com período 2 n F cosseno é par o V 15log 3t 135 log 3t13515 log 3t12 3 2t 1 t8 Resposta b 8 R 118069m R 111814m R 7 anos 108914m 10 anos 116666m Cresce 007752m dos 7 aos 10 anos R O valor máximo da função seno é 1 portanto o valor máximo é 40 30101 R O seno é 1 em π 2 π 6 xπ 2 2π x6 π x3 Foi obtido no mês de março R O valor mínimo da função seno é 1 portanto o valor mínimo é 20 30101 π 6 x2π π x12π x12 R O período é de 12 meses e Faça o gráfico da função 30 10 sinπ6 x 9 Imagine uma corda presa a uma parede e na outra extremidade um garoto vibrando essa corda A equação que descreve o movimento da corda provocado pelo garoto é yt 80 20cosπt π2 em que y é o deslocamento vertical da onda em cm e t é o tempo em segundos Pedese a O gráfico da função R Máximo no primeiro período 1 segundo Mínimo no primeiro período 2 segundos R 8 A R 160s R ft 8cos120π t 1 Esboce o gráfico das funções indicando domínio imagem assíntotas se existirem e o período se existir Domínio ℝ 2 Imagem ℝ 52 Assíntota vertical 2 Assíntota horizontal 52 Domínio ℝ 32 Imagem ℝ 32 Assíntota vertical 32 Assíntota horizontal 32 Domínio ℝ 0 Imagem ℝ 0 Assíntota vertical 0 Assíntota horizontal 0 Domínio ℝ 2 Imagem ℝ 0 Assíntota vertical 2 Assíntota horizontal 0 Domínio ℝ Imagem 2 Domínio ℝ Imagem 1 Domínio ℝ Imagem 0 Domínio ℝ Imagem 0 Domínio 0 Imagem ℝ Domínio 1 Imagem ℝ Domínio 0 Imagem ℝ Domínio ℝ Imagem 3 3 Período 2π Domínio ℝ Imagem 2 3 Período 2π Domínio ℝ Imagem 1 3 Período 2π Domínio x Rx de π2 kπ 1 K Z Imagem ℝ Período π M C 1 it onde C Capital i taxa de juros t tempo M montante final M 22001 000818 M R 253929 M 22001 000824 M R 266364 Ganho em juros 2663642200 46364 2 123 2 4 16 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 2 dias 48 horas 2 483 2 16 65536 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 7 dias 724 horas 168 horas 2 1683 2 56 7 2057594 𝑥 10 16 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑓0 𝑎 3 0𝑏 𝑎 1 900 𝑎 900 dividimos ambos os lados por 300 𝑓10 900 3 10𝑏 300 O expoente precisa de 0 para resultar em 1 3 3 10𝑏 1 1 10𝑏 0 𝑏 110 dividimos ambos os lados por 100 𝑓𝑘 900 3 110𝑘 100 𝑓𝑘 9 3 110𝑘 1 𝑓𝑘 3 2 3 110𝑘 1 O expoente precisa de 0 para resultar em 1 𝑓𝑘 3 2 110𝑘 1 2 110 𝑘 0 110 𝑘 2 𝑘 2 110 𝑘 20 a F Aparece no expoente b V c F é o contrário se a 1 é crescente e se 0a1 é decrescente d V e F f F g V h V i V j F o período é π k F é 4 m F é periódica com período 2 n F cosseno é par o V 1 5 𝑙𝑜𝑔3 𝑡 1 3 5 𝑙𝑜𝑔3 𝑡 1 3 5 1 5 𝑙𝑜𝑔3 𝑡 1 2 3 2 𝑡 1 𝑡 8 Resposta b 8 R 118069m R 111814m R 7 anos 108914m 10 anos 116666m Cresce 007752m dos 7 aos 10 anos R O valor máximo da função seno é 1 portanto o valor máximo é 40 30101 R O seno é 1 em π 2 π 6 𝑥 π 2 2π𝑥 6π 𝑥 3 Foi obtido no mês de março R O valor mínimo da função seno é 1 portanto o valor mínimo é 20 30101 π 6 𝑥 2π π𝑥 12π 𝑥 12 R O período é de 12 meses e Faça o gráfico da função 30 10 sinπ6 x 9 Imagine uma corda presa a uma parede e na outra extremidade um garoto vibrando essa corda A equação que descreve o movimento da corda provocado pelo garoto é yt 80 20cosπt π2 em que y é o deslocamento vertical da onda em cm e t é o tempo em segundos Pedese a O gráfico da função R Máximo no primeiro período 1 segundo Mínimo no primeiro período 2 segundos R 8 A R 160s c Qual é a equação utilizando a função cosseno que representa essa onda R ft 8cos120πt