Teorema dos Homomorfismos

‘Teorema dos Homomorfismos Prof. Sérgio Luiz Silva Teorema 9.1(Teorema dos Homomorfismos) Sejam (G,x*) e(G,x) grupsef:G—>G um homomorfismo. Entao f : G/Kerf — Imf, definida por f(g * Kerf) = f(g), Vg € G, € um isomorfismo. Além do mais, se A e B sao, respectivamente, os conjuntos dos subgrupos de G que contém Kerf e dos subgrupos de Im f = f(G) entdo a aplicagao A + B ~ BOA H - f(H) H — f-\(H) sao bijegdes tais que = y~!. Também y ew levam subgrupos normais em subgrupos normais, ou sejam, seH € A com HG entao p(H)<f(G) eseH € B comH< f(G) entdo W(H) «AG. Prova Inicialmente, devemos provar que f esté bem definida, ou seja, que nio depende do representante da classe lateral 4 esquerda. De fato, se g; * Ker f = go * Ker f entao g) «gi € Ker f. Logo, podemos escrever f (92)' x f(g) = f (92) x Fm) = f (92 * 91) = es. Consequentemente, f (91) = f(g2) e f(g1* Kerf) = f (g2* Kerf), mostrando que f nao depende do representante da classe lateral a esquerda. e f é6um homomorfismo: Dados gi, g2 € G, temos Ff ((g1 * Ker f) * (go * Ker f)) = f ( (gi * ga) * Ker f) = f (91 * 92) = f (a1) x f (92) = f(g * Ker f) x f (go * Ker f), provando que f é um homomorfismo. ef 6 injetivo: Se eg = f(g. * Ker f) = f (g1) entao gi € Ker f. Dat, g; * Ker f = Ker f. Isto mostra que Ker f = { Ker f } e, por HMG5 da Aula 8, que f é injetivo. e A sobrejetividade de f é imediata. Assim, terminamos a prova de que f é um isomorfismo. Pelo Exercicio 8.3, item (a), dado H € A, vale u(y(H)) = f-'(f(H)) = H* Kerf = H = idy(A). Lembre-se que se H € A entao H D Ker f ese H € B entao H C f(G). Jao item (b) do Exercicio 8.3 permite escrever y(u(H)) = f (f-'(H)) = HN f(G) =H = idg(H). Ou sejam, oy = ide pow = idg onde id, e idg sao, respectivamente, as aplicacdes identidades em Ae 6. As duas tltimas igualdades mostram que y e w sao bijecdes e y = yt. Suponhamos H € A com H<G. Entao, parageé Gehe H, vale f(g)’ x f(r) x f(g) = f(g) x Fh) x f(g) = f(g *h*g). Devido 4 H <G, temos g’ *h «xg € H. Consequentemente, f(g)’ x f(h) x f(g) = f (g! *h *g) € elemento de f(H). Isto mostra que y(H) = f(H) é subgrupo normal de f(G). Agora, suponhamos H € B com H< f(G). Parag € Gea € w(H) = f-'(H), podemos escrever f(g *a*g) =f (9) x f@ x f(g) = F(a) x F(@) x f(g). Tendo em vista que f(a) € H e H< f(G), podemos concluir que f(g’ *a*g) = f(g)! x f(a) x f(g) 6 um elemento de H. Assim, g’ *a*g € f-'(H) = ¥(H). Isto mostra que ~(H) = f~!(H) é subgrupo normal de G. Oo 1 Corolario 9.1 Sejam (G, *) um grupo e H um subgrupo normal de G. Entdo, existe uma bijegao do conjunto dos subgrupos normais de G que contém H no conjunto dos subgrupos normais de G/H. Prova Consideremos a projegao canonica y: G > G/H(veja Exercicio 8.1, item (b)). Se g € Ker y entao H = y(g) =9* H. Dati, g € H. Por outro lado, para h € H, vale y(h) = hx H = H e, consequentemente, h € Kery. Lembre-se que H é 0 elemento neutro de G/H. Acabamos de provar que H = Kery. Agora, o Coroldrio 9.1 é uma consequéncia direta do Teorema 9.1, tendo em vista que y é um homomorfismo sobrejetivo Corolario 9.2 Sejam (G, *) um grupo, H e K subgrupos de G tais que KAGeH<G com K C H. Entao, (G/K)/(H/K) e (G/H) sao isomorfos. Prova Consideremos o homomorfismo 6: G/K — G/H, dado por 0(g * K) = g * H para todo g € G(verifique que @ esta bem definido). E imediato que 6 6 um homomorfismo sobrejetivo. Se g * K € Ker entao H = 0(g* K) =g* H. Dai, g € Hegx*K é uma classe lateral 4 esquerda de K em H. Por outro lado, se h € H entao 0(h x K) =h* H = H ehxH € Ker@. Logo, provamos que Ker? = H/K. Agora, o Corolario 9.2 6 uma consequéncia do Teorema 9.1. Exemplo 9.1. Fixado n € N, n 4 0, considere o homomorfismo f : Z — Tp, dado por f(k) = cos (27*) + isen (27) para todo k € Z(verifique que f é, de fato, um homomorfismo). Lembrando que(veja Exemplo 5.2) k; ; k; T, = < cos | 2n— ) +isen(27—}], Kk=0,...,n—-—1 >, n n temos que f é um homomorfismo sobrejetivo. Um inteiro k pertence a Ker f se, e somente se, f(k) = 1. Vemos facilmente que f(k) = 1 se, e somente se, k é um multiplo inteiro de n, ou seja, Ker f = nZ. Logo, pelo Teorema dos Homomorfismos, obtemos que Z, = Z/nZ eT, sao isomorfos. Observagao 9.1. Sejam (G, *) e(G, x) grupos. Dado um homomorfismo f : G > G, vimos que AH = Kerf é um subgrupo normal de G e, pelo Teorema dos Homomorfismos, que a f esté associado um homomorfismo injetivo f : G/H — G, dado por f(g * Ker f) = f(g), Vg € G. Por outro lado, se H é um subgrupo normal de Ge @ : G/H — G é um homomorfismo injetivo entéo podemos associar a @ um homomorfismo a : G — G, colocando a(g) = @(g * H) para todo g € G(verifique que a é, de fato, um homomorfismo). E de facil verificagéo que o homomorfismo associado a f : G/Ker f — G, como descrito anteriormente, é o proprio homomorfismo f. Assim, temos um método sistematico para determinar todos os homomorfismos de um grupo (G, *) em um grupo (G, x ): I. Determinamos todos os subgrupos normais de G. II. Para cada H <G, determinamos todos os homomorfismos injetivos @ : G/H > G. III. Para cada homomorfismo injetivo @ : G/H — G obtido em II, associamos 0 homomorfismo a : G > G como descrito anteriormente. Exemplo 9.2. Para determinar todos os homomorfismos de (D4, 0) em (D3, 0), devemos, inicialmente, determinar todos os subgrupos normais H de (D4, ©) e depois, para cada H obtido, determinar todos os homomorfismos injetivos de D4/H em Ds: |H| =1=> H, =H = {id}. Observe que para a solugao do problema nao precisariamos considerar |H| = 1 pois; neste caso, D4/H tem 8 elementos e, consequentemente, nao existe homomorfismo injetivo de D4/H em D3. Também, por motivo andlogo, nao precisariamos considerar 0 caso |H| = 2 pois; agora, D4/H tem 4 elementos e, consequen- temente, nao existe homomorfismo injetivo de D4/H em D3 (D3 nao tem subgrupo de ordem 4). Mas, calcularemos os subgrupos normais H de D4 com |H| = 2 para futuras referéncias. 2 Az = { id, R, } Hz = {id, Rac } |JH|=2=>¢ H,={id, Rep} Hs = {id, Rpr} Ag = { id, Rags}. Comparando classes laterais & esquerda e a direita, vemos que o unico subgrupo normal com dois elementos é Hz = {id, R; }. A; = { id, Ry/2, Rr, R3x/2} |H|=4=> Hg = { id, Ry, Rac, Rep} Hg = { id, Rr, Rpr, Ras } . Como todo subgrupo H de um grupo G que satisfaz (G : H) = 2 é normal em G, concluimos que H7, Hg e Hy sao subgrupos normais de ( D4, ©). |H| = 8 = > Ay) = H = Dy. Homomorfismos injetivos de me = { H7, Di — H7} em Ds: fi (Az) = id, fy (Da — Hz) = 01; fo (Hr) = id, fy (Da — Hz) = 02; f3(H7) = id, f3 (Da — H7) = 93. Homomorfismos injetivos de mA = { Hg, Ds — Hg} em D3: fa (Hs) =id, fy (Da — Hs) = 01; fs (Hs) = id, fs (Da — Hs) = 02; f¢ (Hs) = id, fg (Da — Hs) = 93. Homomorfismos injetivos de mA = { Ho, Ds — Hy} em D3: f7 (Ho) = id, f;(Da— Hg) = 01; fs (Ho) = id, fg (Da — Hg) = 02; f9 (Ho) = td, fg (Da — Ho) = 93. O unico homomorfismo injetivo de >t = { D4} em D3 é 0 homomorfismo trivial. De acordo com o item III da Observacao 9.1, temos os possiveis homomorfismos de D4 em D3: id, xe Hy id, «€ Hy id, «x € Hy fiz) = f2(a) = f3(x) = o1, ©€D,— Hz; o2, © € Dy — Az; 03, © € Da — H7; id, «x € Hg id, «wx € He id, «x € Hg a(x) = fs(a) = fo(x) = a1, ©ED,— Ag; o2, © e Ds— Ag; 03, © € D4 — Ag; id, «€ Hg id, «x € Ho id, x € Ho f7(x) = fs(x) = f(z) = 01, « € D4 — Ao; 02, « € D4 — Ho; 03, « € D4 — Ho; fio(z) = id, Vax € Dy. 3 EXERC´ICIOS 9.1) Seja f : (Z, +) → (Z, +) um homomorfismo. Mostre que existe n ∈ Z tal que f(k) = kn para todo k ∈ Z. 9.2) Seja f : (Z, +) → (Zn, +) definido por f(k) = k para todo k ∈ Z. Calcule Ker f. 9.3) Sejam (G, ∗) um grupo finito e f : (G, ∗) → (Z, +) um homomorfismo. Mostre que f ´e identicamente nulo. 9.4) Sejam (G, ∗) um grupo abeliano e n ∈ Z um n´umero inteiro fixado. Considere a fun¸c˜ao fn : (G, ∗) → (G, ∗) definida por fn(x) = xn, ∀x ∈ G. Mostre os itens abaixo: (a) fn ´e um homomorfismo. (b) Ker f = { x ∈ G | o(x) divide n }. (c) Se G ´e finito e |G| = m, com mdc(m, n) = 1, ent˜ao fn ´e um isomorfismo. 9.5) Mostre que se (G, ∗) ´e um grupo n˜ao abeliano de ordem 6, ent˜ao G ´e isomorfo a (D3, ◦). 9.6) Sejam ( G , ∗ ) e ( G , × ) grupos, f : G → G um homomorfismo e H um subgrupo de G. Mostre que γ : H/(H ∩ Ker f) → f(H), definida por γ(h ∗ (H ∩ Ker f)) = f(h), ∀h ∈ H, ´e um isomorfismo. 9.7) Sejam ( G , ∗ ) e Aut(G) o conjunto dos automorfismos de G. Fa¸ca os seguintes itens: (a) Mostre que ( Aut(G) , ◦ ) ´e um grupo, onde “◦”representa a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. (b) Seja I(G) o conjunto dos automorfismos internos de G. Ou seja(veja Exerc´ıcio 8.1, item (c)), I(G) = { Ig | g ∈ G } . Mostre que I(G) ´e um subgrupo normal de Aut(G). (c) Considere a aplica¸c˜ao I : G → I(G), dada por I(g) = Ig para todo g ∈ G. Mostre que I ´e um homomorfismo, que Ker I = Z(G) e que I(G) ´e isomorfo a G/Z(G), onde Z(G) ´e o centro de G(veja Exerc´ıcio 5.9). 9.8) Determine todos os homomorfismos: (a) De ( D3 , ◦ ) em ( D4 , ◦ ). (b) De ( D4 , ◦ ) em ( Q8 , ◦ ). 4