Subgrupos Gerados e Subgrupos Cíclicos

Subgrupos Gerados e Subgrupos Ciclicos Prof. Sérgio Luiz Silva Subgrupo Gerado Sejam (G, «) um grupoe J um subconjunto nao vazio de G. Consideremos I’ = {y/ | y € I }(subconjunto de G constituido dos simétricos dos elementos de I). Definamos 0 subconjunto de G dado por (I) = {yr *yo*-+-*yn | nNEN-—{O} e YET ou YE l',i=1,2,...,n}. Afirmamos que (J) é subgrupo de G, chamado de 0 subgrupo gerado por I. De fato, SG1) e € (I) pois, para y € I, temos que e = yxy’ é um elemento de (I). Neste caso, tomamos n = 2, y=yelepwa=yerl. SG2) Para quaisquer a = yy * y2 *-++* Yn C B = 21 * 2Q K+ ++ * Zm em (I), temos av BY = (yy * Ya ++ Yn) * (21 22K Em)! = YL YD EK Yn By BK DHA. Como y; € I ou y; € I’, i = 1,2,...,n, e 2; € I ou z € I’, j = 1,2,...,m, e (I’)’ = Iver Exercicio 1.7), concluimos que 2 € I ou z/ € I'. Logo, a * 6’ € (I) e SG2) é satisfeita. Observe que, por definigao, IUI' C(I). Na verdade, (I) 6 0 “menor”subgrupo de G que contém o conjunto I(veja Exercicio 4.2). Na definigéo acima, quando J é um subconjunto finito, digamos J = { x, x2,...,2, } entao o subgrupo gerado por IJ é representado simplesmente por (21, 2,...,2,) € denominado de o subgrupo gerado pelos elementos £1, £2,..., 2. Subgrupo Ciclico Sejam (G,, *) um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H é um subgrupo ctclico de G quando existe x em G tal que H = (x), ou seja, H é ciclico quando H é gerado por algum elemento x em G. Observe que (x) = {2* | ke Z} e também que (x) = (2’). Caso a operacao em G seja uma operacao de adicado, temos (2) = {kx | k € Z}. Para as definicées de x* e ka, veja Exercicio 1.10. Exemplo 4.1. Sejam (G, *) um grupo e So subconjunto de G dado por S = {xrx«xyxa' xy’ | 2, yEG}. O subgrupo gerado por S é denominado de o subgrupo dos comutadores de G e sera representado por Comut(G). Observe que G é abeliano se, e somente se, Comut(G) = {e }. Exemplo 4.2. Em (D3, 0°), temos Ro ./3 = Ror/3 ° Ror/3 = Rar/3 Ronon -(4 8 ©)\.(4 2 O\_[4 8B S\_ 2/89 ~\B Cc A)°\A CB) \B Ac) % Re _R (A BC A BC\ (A BC\ | 2n/3 SOL R/S S AS \O A B)°\A CB) \C B A) ° Como ( Ron /3, 01) > { ia, Rox /3; 01; RS. /3) Ror /3 O01, Ro. /3 O01 \ = { id, Rox /3; 01; Rar /3; 03, a2 } = D3, concluimos que ( Rog /3) 71 ) = D3. Exemplo 4.3. Fixado n € N, 0 conjunto nZ = {kn |k € Z}(conjunto dos miltiplos inteiros de n) é 0 subgrupo de (Z, +) gerado por n. Ou seja, nZ = (n). Afirmamos que os subconjuntos de Z da forma n Z, 1 para algum numero natural n fixado, sao os unicos subgrupos de Z. Com efeito, seja B um subgrupo de Z. Queremos encontrar um numero natural m tal que B = mZ. Consideraremos dois casos: Caso I. B = {0} (subgrupo trivial constitufdo apenas pelo ntimero zero). Neste caso, vemos que B = mZ para m = 0. Caso II. B # {0}. Neste caso, B possui algum inteiro nao nulo. Seja entao x um inteiro nao nulo em B. Como B é subgrupo de Z, temos que —x também pertence a B. Sendo x ou —2x um inteiro positivo, podemos concluir que B possui algum inteiro positivo. Consideremos o subconjunto nao vazio J de B, constitufdo apenas pelos elementos de B que sao positivos. Pelo Principio da Boa Ordenacao, existe m o elemento minimo de J. Vamos mostrar que B = mZ. II.1) mZ Cc B. Temos quem € J Cc B. Como B é subgrupo de Z, vale —m € B. Consequentemente, mZ=(m)cB. I1.2) Bc mZ. Sey € B, dividindo y por m, obtemos inteiros q e r tais que y = qm+r onde0 <r<m. De y € B, qm € B(por II.1) e B < Z, por SG2, podemos concluir r = y— qm € B. Logo, r nao pode ser positivo pois r < mem foi escolhido como sendo o menor elemento positivo de B. Consequentemente, r=Oey=qmeEmdZ. Com isto provamos a inclusao B C mZ. Agora, de II.1 e II.2, concluimos B = mZ e a afirmacéo esta provada. A Ordem de um Grupo. Seja (G, *) um grupo. Quando G é um conjunto finito, definimos a ordem de G como sendo o ntimero de elementos de G. Quando G é um conjunto infinito, dizemos que a ordem de G é infinita e a indicaremos por co. A ordem de qualquer grupo G sera representada por |G|. Exemplo 4.4. Temos |S;,| = n!(Exemplo 2.1), |D3| = 6(Exemplo 2.2), |Da| = 8(Exercicio 2.2), |Z| = |R| = co. A Ordem de um Elemento. Sejam (G, *) um grupoeaéG. A ordem de a, denotada por o(a), é, por definicao, a ordem do subgrupo gerado por a; ou seja, o(a) = |({a)|. Observe que o(a) = 1 se, e somente se, a=e. Proposigao 4.1 Sejam (G, *) um grupo eae G. Se o(a) € um niimero finito entao, colocando r=min{meN-—{0} | a” =e}, temos o(a) =r. Além disso, vale (a)= fe, a, a,..., ath. / Acima, min {m € N — {0} | a = e} representa o menor elemento do conjunto {m € N— {0} | a” =e}. 12 3 4 Exemplo 4.5. Em $4, se 8 = (3 3 4 i): vale g(t 234) .(1 23 4) _(1 234 ~~ \2 3:1 4 23 14) \3 12 4 123 4 123 4 12 3 4 3 _ Q2 _ _ _. e=P 08 = (5 12 ie) 3 1 d=( 2 3 i) =i Logo, 0(8) =3e 12 3 4 123 4 12 3 4 _ fs. 21 _ (8) = (id, B, 8 I= 4 2 3 ); (; 3 1 i‘); (; 12 i) } ABC Exemplo 4.6. Em D3, para 01 = (< Cc! ) vale ea_(4 8 C)\ (4A 8 C\_(A BC) _,, 1~\A C B AC BJ) \A BC) 2 Logo, 0(a1) =2e ; ABC ABC (a1) =tid on} ={ (4 B ) (4 C ”) \ EXERCICIOS 4.1) Mostre que a intersecao de uma quantidade qualquer de subgrupos de um grupo (G, * ) 6 um subgrupo de G. O que podemos dizer da unido de subgrupos de G? 4.2) Sejam (G, *) um grupo e J um subconjunto nao vazio de G. Mostre que se H é um subgrupo de G tal que I C H entao (I) C H. Mostre também a igualdade (I)= ()#. ICH H<G Ou seja, (I) é a intersegdo de todos os subgrupos de G que contém J. Quando dizemos que (J) é o menor subgrupo de G que contém I é no sentido de que todo subgrupo de G que contém J deve também conter (I). 4.3) Em D,(veja Exercicio 2.2), calcule ( Ra/2; Rac ). 4.4) Determine todos os subgrupos ciclicos de D3 e de D4. 3