Distribuição Amostral da Proporção Exercícios Resolvidos e Teoria

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO UAEstCCTUFCG Distribuição Amostral da Proporção Considere uma população em que a proporção de elementos portadores de certa característica é p Definindo a variável aleatória X como X 1 se o indivíduo for portador da característica e X 0 se o indivíduo não possui a característica teremos que X Berp e portanto EX p e VarX p1 p Retirandose uma amostra aleatória X₁ X₂ Xₙ dessa população considere a variável aleatória Sₙ número de indivíduos com a característica na amostra Note que neste caso Sₙ X₁ X₂ Xₙ n Σ i1 Xᵢ Distribuição Amostral da Proporção Denotando por p a proporção amostral de indivíduos portadores da característica ou em outras palavras a proporção amostral de sucessos podemos escrever p Sₙ n Como Sₙ n Σ i1 Xᵢ temos que p é a média de uma amostra aleatória de tamanho n da variável X Berp Então utilizando os resultados do Teorema para a variável p temos que Ep EX p e Varp VarX n p1 p n Distribuição Amostral da Proporção Sendo assim para n suficientemente grande podemos utilizar os resultados do Teorema Central do Limite para a variável p de forma que p N p p 1pn Consequentemente temos que Z p pp1pn N 01 Distribuição Amostral da Proporção Como n 80 é suficientemente grande podemos usar o resultado do Teorema Central do Limite Daí temos que P020 p 050 P 020pp1pn p pp1pn 050pp1pn P 020 030030103080 Z 050 030030103080 P19518 Z 39036 P195 Z 390 Exemplo 1 Suponha que 30 dos estudantes de uma escola sejam usuários de determinado aplicativo de celular Colhese uma amostra aleatória de 80 estudantes e calculase a proporção amostral de estudantes que usam este aplicativo Qual a probabilidade de que a proporção de estudantes que usam este aplicativo na amostra esteja entre 20 e 50 Solução Foram informados no problema p 030 proporção populacional de estudantes que usam o aplicativo n 80 tamanho da amostra aleatória Pedese P020 p 050 sendo p a proporção amostral de estudantes que usam o aplicativo Distribuição Amostral da Proporção Utilizando a tabela da distribuição normal padrão temos P020 p 050 P195 Z 390 P195 Z 0 P0 Z 390 047441 049995 097436 Este é o valor aproximado da probabilidade solicitada a partir do uso dos resultados do Teorema Central do Limite Distribuição Amostral da Proporção Observação Existe uma maneira alternativa para o cálculo desta probabilidade caso o TCL não fosse utilizado Vejamos Seja Sn o número de estudantes dentre os n 80 selecionados na amostra que usam o aplicativo Desta forma queremos saber P020 p 050 P020 80 p 80 050 80 P16 Snn 80 40 P16 Sn 40 Observe que Sn B80030 já que n 80 e p 030 Portanto esta probabilidade pode ser calculada a partir da função de probabilidade do modelo binomial Distribuição Amostral da Proporção Recorde que se Y Bnp então PY k n k pk 1pnk k RY 0 1 2 3 n Daí P020 p 050 P16 Sn 40 PSn 16 PSn 17 PSn 40 80 16 03016 07064 80 40 03040 07040 09839 Este é o valor exato da probabilidade solicitada Observe que foi necessária a realização da soma de 25 parcelas de cálculo de probabilidades a partir do uso da função de probabilidade do modelo binomial O uso dos resultados do TCL traz uma boa aproximação para o cálculo solicitado reduzindo sobremaneira o trabalho do pesquisador Distribuição Amostral da Proporção Exemplo 2 Problema 27 do Capítulo 10 BUSSAB Um distribuidor de sementes determina através de testes que 5 das sementes não germinam Ele vende pacotes de 200 sementes com garantia de 90 de germinação Qual a probabilidade de que um pacote não satisfaça a garantia Solução Seja Sn o número de sementes que germinam dentre as 200 do pacote Temos que Sn Bnp em que n 200 e p é a proporção de sementes que germinam na população p 095 Sn B200 095 Distribuição Amostral da Proporção Como n 200 é suficientemente grande e as sementes do pacote formam uma amostra aleatória podemos utilizar os resultados do TCL Pp 090 Pp p sqrtp1pn 090 095 sqrt0951095200 PZ 32444 PZ 324 05 049940 6 104 Distribuição Amostral da Proporção Outra maneira de resolver este exemplo Seja Y o número de sementes que não germinam dentre as 200 do pacote Temos que Y Bnp em que n 200 e p é a proporção de sementes que não germinam na população p 005 Y B200 005 Daí temos que Pp 010 Pp p sqrtp1pn 010 005 sqrt0051005200 PZ 32444 PZ 324 6 104