Introdução à Regressão Linear e Estimação de Parâmetros

REGRESS AO UAEstCCTUFCG UAEstCCTUFCG Regressao 112 Regressao Em muitos problemas duas ou mais variaveis estao inerentemente relacionadas sendo necessario explorar a natureza dessa relacao Vimos como explorar a presenca ou ausˆencia de relacao linear entre duas variaveis quantificando a forca dessa relacao atraves da correlacao Agora vamos explicitar a forma dessa relacao atraves da re gressao UAEstCCTUFCG Regressao 212 Regressao Quando lidamos com um modelo sob o ponto de vista da es tatıstica devemos ter em mente que as relacoes entre as variaveis quase nunca sao exatas determinısticas Em geral incluem flutuacoes aleatorias Sob o ponto de vista da estatıstica um modelo e constituıdo por duas componentes Modelo Componente sistematica Componente aleatoria UAEstCCTUFCG Regressao 312 Regressao Definicao Dada uma colecao de dados amostrais emparelhados a equacao de regressao yi β0 β1xi εi i 1 n descreve a relacao linear entre as duas variaveis O grafico da equacao de regressao e chamado reta de regressao A componente sistematica do modelo sera representada por µxi β0 β1xi A componente aleatoria εi e tambem conhecida como o erro que se comete ao modelar a relacao entre as variaveis x e y Iremos supor que εi N0 σ2 UAEstCCTUFCG Regressao 412 Regressao yi β0 β1xi εi i 1 n Esta definicao expressa uma relacao entre x chamada variavel independente e y chamada variavel resposta O parˆametro β0 e o intercepto com o eixo y O parˆametro β1 e o coeficiente angular da reta de regressao Nao podemos achar os valores exatos dos parˆametros populacio nais β0 e β1 Utilizaremos dados amostrais emparelhados para estimalos com ˆβ0 e ˆβ1 e consequentemente estimar a equacao de regressao UAEstCCTUFCG Regressao 512 Regressao Estimacao dos Parametros Da expressao Yi Pot Piaite t10 podemos escrever 0 erro como Yi Bo i xi t 1 sey Ne Obtemos entao a quantidade de informacao perdida pelo modelo ou soma dos quadrados dos erros ou desvios n n SQBo 81 doe Syi G0 Bia il i1 O objetivo é encontrar o minimo de uma fungao de duas variaveis 6 e 61 Valores onde essa expresséo assuma o menor valor possivel Regressao Estimacao dos Parametros Para isso derivamos n SQB0 61 do yi 80 Bray i1 em relaco a po e 3 e igualamos a zero Obtemos n n no Bd ai Sou i1 i1 n n n Bod sti t Bid la Soaiy i1 i1 i1 Regressao Estimacao dos Parametros Essas equag6es produzem as solugées a seguir n Slaiys ney 5 4 A i1 Bo9Az e By Siz nx il Substituindo estas expresses em j1x So 61x obtemos 0 esti mador para a média ju dado por jux Bo Bima que iremos indicar por Hi Bo Bizi Regressao Exemplo Voltemos ao exemplo da aula passada onde obtivemos 0 coeficiente de correlacgéo linear r O90 que indica uma correlacao linear significativa Vamos agora determinar a equacao da reta de regressao que relaciona x com y Para os dados contidos na tabela obtivemos n 14 S xy 6400000 3607 y 1542857 S27 21825 Assim substituindo estas quantidades nas expressées dos estimadores obtemos Slrivi nzy 3 6400000 1436 0715428 57 385 31 tg 21825 1436 07 oo Sox nz i1 Bo 9 Bik 15428 57 385 5536 07 29326 70 Regressao Exemplo Portanto podemos expressar a equacao estimada da reta de regressao como ˆyi 29326 7 385 31xi i 1 14 Com esse modelo podemos prever por exemplo o preco medio de um carro com 45000 km rodados Basta substituir este valor 45 na expressao acima Desta forma para um carro com 45000 km rodados obtemos um valor medio de 29326 7385 3145 11987 75 reais UAEstCCTUFCG Regressao 1012 Regressao Exemplo UAEstCCTUFCG Regressao 1112 Regressao Observacao As equacoes de regressao podem ser uteis quando usadas para predizer o valor de uma variavel dado um valor determinado da outra variavel Se a reta de regressao se ajusta bem aos dados entao tem sentido utili zar sua equacao para fazer predicoes desde que nao ultrapassemos os limites dos valores disponıveis Vale ressaltar que so devemos utilizar a equacao da reta de regressao se r indica a existˆencia de uma correlacao linear significativa Na ausˆencia de uma tal correlacao linear nao devemos utilizar a equacao de regressao para projetar ou predizer em vez disso nossa melhor esti mativa da segunda variavel e simplesmente a sua media UAEstCCTUFCG Regressao 1212