Distribuições Amostrais - Conceitos e Exemplos Estatísticos

Distribuições Amostrais UAEstCCTUFCG Distribuição Amostral Figura 01 a Esquema de inferências sobre θ b Distribuição amostral da estatística T Amostra Aleatória Simples de uma Variável Aleatória Amostra Aleatória Simples As variáveis aleatórias X₁ X₂ Xₙ constituem uma amostra aleatória simples de tamanho n ou simplesmente amostra aleatória aa de uma variável aleatória va X quando satisfazem as seguintes condições As variáveis aleatórias X₁ X₂ Xₙ são independentes e Cada uma das variáveis aleatórias Xᵢ i 1 2 n tem a mesma distribuição de probabilidade da variável X Estatística Dada uma amostra aleatória X1 X2 Xn de uma população X definiremos uma estatística T como qualquer função de X1 X2 Xn ou seja T fX1 X2 Xn Assim dada uma amostra aleatória X1 X2 Xn podemos citar como exemplos de estatísticas dentre outros A média amostral X 1n X1 X2 Xn A variância amostral S² 1n 1 i1n Xi X² Distribuição Amostral Sendo X1 X2 Xn uma amostra aleatória da variável X uma pergunta natural seria o que acontece com a estatística T quando retiramos todas as amostras de uma população conhecida segundo um plano amostral adotado Ou seja qual a distribuição de T quando X1 X2 Xn assume todos os valores possíveis Essa distribuição será chamada de distribuição amostral da estatística T Distribuição Amostral Figura 01 a Esquema de inferências sobre θ b Distribuição amostral da estatística T Distribuição Amostral Exemplo 1 Considere uma população formada pelos elementos 1 3 5 5 7 Considere a variável X valor assumido pelo elemento na população Assim a distribuição de probabilidade de X é dada por X x 1 3 5 7 PX x Distribuição Amostral Exemplo 1 Considere uma população formada pelos elementos 1 3 5 5 7 Considere a variável X valor assumido pelo elemento na população Assim a distribuição de probabilidade de X é dada por X x 1 3 5 7 PX x 15 15 25 15 Recorde que como X é uma variável aleatória discreta então μ EX Σ i1 to xi pxi e σ² VarX EX² μ² onde EX² Σ i1 to xi² pxi Daí temos que X x 1 3 5 7 PX x 15 15 25 15 μ EX 1 15 3 15 5 25 7 15 42 e EX2 12 15 32 15 52 25 72 15 218 de onde temos que σ2 VarX EX2 μ2 218 422 416 Distribuição Amostral Considere todas as amostras possíveis de tamanho 2 com reposição da população cuja distribuição é dada no exemplo anterior Além disso considere X1 o número selecionado na primeira extração e X2 o número selecionado na segunda extração Inicialmente identifiquemos todas as amostras possíveis de tamanho n 2 11 13 15 15 17 31 33 35 35 37 51 53 55 55 57 51 53 55 55 57 71 73 75 75 77 Sendo assim a Distribuição Conjunta de X1 X2 é dada por X1 X2 Probabilidade 11 15 15 125 13 125 15 15 25 225 17 125 31 125 33 125 35 225 37 125 51 225 53 225 55 25 25 425 57 225 71 125 73 125 75 225 77 125 Total 1 Identifique a distribuição amostral para as estatísticas i X 1n X1 X2 Xn ii S2 1n1 Σi1n Xi X2 A partir das distribuições amostrais de X e S2 calcule EX VarX e ES2 X1 X2 Probabilidade i X 11 125 1121 13 125 1322 15 225 3 17 125 4 31 125 2 33 125 3 35 225 4 37 125 5 51 225 3 53 225 4 55 425 5 57 225 6 71 125 4 73 125 5 75 225 6 77 125 7 Total 1 Distribuição Amostral da Média Daí a distribuição de probabilidades de X é dada por X x 1 2 3 4 5 6 7 PX x 125 225 525 625 625 425 125 Sendo assim EX 1 125 2 225 7 125 42 EX μ e EX2 12 125 22 225 72 125 1972 de onde temos que VarX EX2 EX2 1972 422 208 VarX2 σ22 X1 X2 Probabilidade i X ii S² 11 125 1 1 1² 1 1² 0 13 125 2 1 2² 3 2² 2 15 225 3 1 3² 5 3² 8 17 125 4 18 31 125 2 2 33 125 3 0 35 225 4 2 37 125 5 8 51 225 3 8 53 225 4 2 55 425 5 0 57 225 6 2 71 125 4 18 73 125 5 8 75 225 6 2 77 125 7 0 Total 1 Distribuição Amostral da Variância Sendo assim a distribuição de probabilidades de S² é dada por S² s² 0 2 8 18 PS² s² 725 1025 625 225 De onde temos que ES² 0 725 2 1025 8 625 18 225 416 σ² Distribuições Amostrais Em resumo identificamos que 1 EX 42 EX μ 2 VarX 208 4162 VarX2 VarXn σ²n 3 ES² 416 VarX σ² Pergunta Será que estes resultados são meras coincidências Resposta Não Justificaremos a seguir Distribuição Amostral Convém observar que X1 e X2 têm distribuições iguais à distribuição de X Distribuição de probabilidade de X1 X1 x1 1 3 5 7 PX1 x1 15 15 25 15 Distribuição de probabilidade de X2 X2 x2 1 3 5 7 PX2 x2 15 15 25 15 Distribuição Amostral Além de terem distribuições iguais à distribuição de X temse que X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes Observe a distribuição de probabilidades conjunta de X1 X2 X2 X1 1 3 5 7 Total 1 125 125 225 125 3 125 125 225 125 5 225 225 425 225 7 125 125 225 125 Total Distribuição Amostral Além de terem distribuições iguais à distribuição de X temse que X1 e X2 são variáveis aleatórias independentes Observe a distribuição de probabilidades conjunta de X1 X2 X2 X1 1 3 5 7 Total 1 125 125 225 125 15 3 125 125 225 125 15 5 225 225 425 225 25 7 125 125 225 125 15 Total 15 15 25 15 1 Claramente temos que PX1 x1i X2 x2j PX1 x1i PX2 x2j i j Distribuição Amostral da Média Teorema Seja X uma variável aleatória com média μ e variância σ² e seja X₁ X₂ Xn uma amostra aleatória de X Então a distribuição da média amostral X terá média e variância dadas respectivamente por EX μ e VarX σ²n Observação No Exemplo anterior temos que EX μ 42 VarX σ² 416 e n 2 Aqui temos que n 2 e portanto EX EX 42 e VarX VarXn σ²2 4162 208 Exemplo 2 Identifique EX e VarX sendo a X₁ X₂ X₃ uma amostra aleatória da variável aleatória X descrita no Exemplo 1 Solução Já temos do Exemplo 1 que EX μ 42 e VarX σ² 416 Agora estamos considerando n 3 e portanto EX EX 42 e VarX VarXn σ²3 4163 139 Bibliografia Estatística Básica 7ª edição Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva livro texto