Decomposição da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA

DECOMPOSIC AO DA SOMA DE QUADRADOS E TABELA DE ANOVA UAEstCCTUFCG UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 114 Decomposicao da Soma de Quadrados Introduzimos o conceito de correlacao linear e aplicamos o coefi ciente de correlacao linear r para determinar se havia correlacao linear significativa entre duas variaveis O valor de r tambem pode darnos informacoes adicionais sobre a variacao dos pontos amostrais em torno da reta de regressao UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 214 Decomposicao da Soma de Quadrados Considere as expresses abaixo Yi YUUKY ou YYHaAthHY em que y YJ S40 os residuos Elevando ambos os membros ao quadrado yi 9 i GH HI yi 9 26H HH9 e somando obtemos n n n n Soi 9 OB DG 9 230 4G 9 il il i1 il Decomposicao da Soma de Quadrados n n n n Soi 9 LF VG 9 230 4G 9 il il il i1 Desenvolvendo a tltima soma da equacao acima observamos que esta se anula logo n n n Soi 9 S54 306 9 il il i1 SQT SQRes SQReg Decomposicao da Soma de Quadrados n n n 2 22 a Yow 9 04 0G 9 i1 i1 i1 een OP OES OO eee SQT SQRes SQReg Essa relagéo mostra que a variacao dos valores de y em torno de sua média pode ser dividida em duas partes n M uma que é explicada pela regressao Soi il n a outra é a parte nao explicada pela regressao S é2 devido ao i1 fato de que nem todos os pontos esto sob a reta de regressao Coeficiente de determinacao Uma relacao importante entre estas somas de quadrados e a seguinte Definicao O coeficiente de determinacao e o valor da variacao de y que e explicado pela reta de regressao E dado por r2 SQReg SQT Outra maneira de calcular r2 e elevando ao quadrado o coeficiente de correlacao linear r Interpretacao de r2 atraves de um exemplo considere um caso em que r 0 8 e consequentemente o coeficiente de determinacao e r2 0 64 Isto significa que 64 da variacao total de y podem ser explicados pela reta de regressao Decorre que 36 da variacao total de y permanecem nao explicados UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 614 Tabela de Analise de Variˆancia A cada soma de quadrados esta associado um valor denominado graus de liberdade Esse numero representa quantas funcoes in dependentes sao necessarias para se obter a soma de quadrados SQT tem n 1 graus de liberdade SQReg tem apenas um grau de liberdade SQRes tem n2 graus de liberdade que obtemos por subtracao Por definicao os quadrados medios sao obtidos dividindo as so mas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade Para o caso de uma regressao linear simples temos QMReg SQReg e QMRes SQRes n 2 UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 714 Tabela de Analise de Variˆancia Podemos resumir todas estas informacoes numa unica tabela chamada ANOVA ilustrada na Tabela a seguir Tabela Tabela de Analise de Variˆancia ANOVA Fonte de Graus de Soma de Quadrados Variacao Liberdade Quadrados Medios Regressao 1 SQReg QMReg SQReg 1 F QMReg QMRes Resıduos n 2 SQRes QMRes SQRes n 2 Total n 1 SQT SQT n 1 S2 A estatıstica F QMReg QMRes tem distribuicao F de Snedecor com 1 grau de liberdade no numerador e n 2 graus de liberdade no denominador UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 814 Tabela F Snedecor Esta distribuicao se encontra tabelada para alguns valores de n e α onde α PF1n2 fc UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 914 Tabela F Snedecor Esta distribuicao se encontra tabelada para alguns valores de n e α onde α PF1n2 fc UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 1014 Teste de Hipoteses para β1 Este resultado pode ser utilizado para testar a adequacao do modelo para um certo nıvel de significˆancia α Na verdade estamos testando a hipotese H0 β1 0 Caso o Fobs Ftab rejeitamos H0 caso contrario nao rejeitamos Nao rejeitar H0 significa dizer que o modelo adotado y β0β1x ε pode ser substituıdo por um modelo mais simples y µ ε Rejeitar H0 quer dizer que o modelo adotado se ajusta bem aos dados UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 1114 Exemplo Vamos construir a Tabela ANOVA para os dados do Exemplo dos car ros Para estes dados temos que SQT So vi 7 663428586 9 Como r 090 utilizando a expressio r oF podemos obter SQRegr SQT 081 663428586 9 537377155 4 Enfim por subtragao obtemos SQRes SQTSQReg 663428586 9537377155 4 12605143 5 Exemplo Assim a Tabela ANOVA para este modelo e dada por Tabela Tabela de Analise de Variˆancia ANOVA para o modelo ˆyi 29335 97 385 55xi Fonte de Graus de Soma de Quadrados Variacao Liberdade Quadrados Medios Regressao 1 537377143 537377143 F 51 16 Resıduos 12 126051429 10504286 Total 13 663428571 51032967 Comparando o valor F 51 16 com o valor tabelado para um nıvel α 5 temos que PF112 4 75 5 o que implica em dizer que rejeitamos fortemente a hipotese H0 β1 0 ou seja o modelo se ajusta bem aos dados ao nıvel de 5 UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 1314 Bibliografia Estatıstica Basica 7a edicao Wilton O Bussab e Pedro A Morettin 2011 Editora Saraiva UAEstCCTUFCG Decomposicao da Soma de Quadrados e Tabela de ANOVA 1414