1 Lista de Exercícios de Introdução a Álgebra Linear com as Questões do Livro do Boldrini Seção 4 8

1ª lista de Exercícios\nI Dado o conjunto de objetos com as operações de adição e multiplicação por escalar. Determine quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para que os não sejam listadas as condições que falham.\n1) O (R3) com as operações (x,y,z) + (x',y',z') = (x+x',y+y',z+z') e K (x,y,z) = (Kx,Ky,Kz)\nFazendo u = (x,y,z), u' = (x',y',z') , v = (x2,y2,z2) \n1ª propriedade\n(u+u') + w = [(x,y,z)+(x',y',z')] + [(x2,y2,z2)] = (x+x',y+y',z+z') + (x2,y2,z2) \n= (x+x'+x2,y+y'+y2,z+z'+z2)\n= (x,y,z) + (x',y',z') + (x2,y2,z2)\n= u + (u' + w)\nAssim, temos\n(u+u') + w = u + (u+w), \u,u',w \\in R3\n2ª propriedade\nu + v = (x,y,z) + (x',y',z') = (x+x',y+y',z+z')\nv = u+(x,y,z) + (x',y',z') = (x'+x,y'+y',z'+z')\nDessa forma temos que u+v = v+u, \forall u,u' \\in R3 3ª propriedade\nu + 0 = (x,y,z) + (0,0,0) = (x,y,z)\nDessa forma existe 0 e R3 tal que u + 0 = u, \forall u \\in R3\n4ª propriedade\nDeixa u = (-x,-y,-z)\nu + (-u) = (x,y,z) + (-x,-y,-z) = (0,0,0)\nDessa forma, existe u \\in R3 tal que u + (-u) = 0, \forall u \\in R3\n5ª propriedade\nusando os escalares \\alpha e \\beta\n6ª propriedade\n(\\alpha + \\beta)u = (\\alpha + \\beta)(x,y,z) = (\\alpha + \\beta)(x,y,z)- (\\alpha + \\beta)(x,y,z)\nv = (\\alpha)x + (\\beta)y + (\\alpha)x + (\\beta)y = (\\alpha) x + (\\beta) y + (\\alpha) x + (\\beta) z\nDessa forma \\alpha + \\beta)u \\neq(\\alpha+\\beta) u, intreo verificamos que K(x,y,z) = (Kx,Ky,Kz) não é espaço vetorial\n7ª propriedade u + v = 1, (x,y,z) = (0,0,0)\n5ª propriedade.\n 3) ℝ³ com as operações (x,y) + (x',y') = (x + x',y + y') e K(x,y) = (2Kx, 2Ky)\nFazendo u₁ = (x,y), v₁ = (x',y') e W₁ = (x₂,y₂)\n1ª propriedade\n(u + v) + w = [(x,y) + (x',y')] + (x₂,y₂)\n= (x + x') + x₂, (y + y') + y₂)\n= [(x + x₂), (y + y') + y₂]\n= [(x,y) + (x',y')] + (x₂,y₂) = u + (u + w).\n-> propriedade vetorial.\n2ª propriedade\nu + v = (x,y) + (x',y') = (x + x', y + y')\n= (x',y') + (x,y) = (x' + x', y' + y)\n-> propriedade vetorial.\n3ª propriedade\nu + 0 = (y,x) + (0,0) = (x,y).\n-> propriedade vetorial, existe 0 ∈ R² tal que u + 0 = u.\n4ª propriedade\nFazendo u + (-u) = 0\nu + (-u) = (x,y) + (-x,y) = (0,0)\n-> propriedade vetorial, existe (-u) ∈ R² tal que u + (-u) = 0 ∈ R².\n5ª propriedade\n(α + β) u = (αβ) (x,y) = (2 αβ x, 2 αβ y)\nα(βu) = α[β(x,y)] = α[(2 αβ x, 2 αβ y)]\n-> propriedade vetorial. 4) ℝ com as operações usuais.\nO conjunto ℝ com as operações usuais é também um espaço vetorial, mas não sob os valores para certos reais. 5) ℝ² em as operações (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') e K(x,y) = (2Kx, 2Ky)\nFazendo u₁ = (x,y), u₂ = (x',y') e W₂ = (x₂,y₂)\n1ª propriedade\n(u + u₂) + (x',y') + (x₂,y₂) = (x+x', y+y') + (x₂,y₂)\n= [(x + x') + x₂, (y + y') + y₂]\n= [(x,y) + (x',y')] + (x₂,y₂) = u + (u + w).\n-> propriedade vetorial.\n2ª propriedade\nu + v = (x,y) + (x',y') = (x + x', y + y')\n= [(x + x') + (y + y')] \n= (x',y') + (x,y) = (x' + y', y' + y)\n-> propriedade vetorial.\n3ª propriedade\nu + 0 = (x,y) + (0,0) = (x + 1,y + 1) ≠ (x,y)\n-> Dada forma a operações (x,y) + (x',y') = (x+x',y+y') mas é espaço vetorial, pois não satisfaçam a 3ª propriedades, ou seja, (x+, y+) ≠ (x,y).\n$\n5ª propriedade\n(α + β)u = (αβ) (x,y) = (2 αβ x, 2 αβ y)\nα(βu) = α[β(x,y)] = α[(2 αβ x, 2 αβ y)]\n-> propriedade vetorial. 6ª propriedade\n(\\alpha + \\beta) u = (\\alpha + \\beta) (x,y) = (\\alpha + \\beta) (\\alpha,\\beta) \\)\n= (\\alpha x, \\alpha y) + (\\beta x, \\beta y) = (\\alpha x + \\beta x, \\alpha y + \\beta y) = \\alpha u + \\beta u\n\\rightarrow - propriedade satisfeita\n7ª propriedade\n\\alpha (u + v) = \\alpha (x,y) + (x',y') \\rightarrow \\alpha (x + x', y + y') = \\alpha x + \\alpha x' \\rightarrow \\alpha (x,y) + \\alpha (x',y') = \\alpha + \\alpha y' \\rightarrow \\alpha u + \\alpha 2\n\\rightarrow - propriedades satisfeitas\n8ª propriedade \n1 \\cdot u = 1 \\cdot (x,y) = (x,y) = u \\rightarrow - propriedade satisfeita b) O conjunto de todas as matrizes 2 x 2 da forma \\( \\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 1 \\end{pmatrix} \\) com as operações usuais de matrizes.\nFazendo \\( u = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_1 \\end{pmatrix}, v = \\begin{pmatrix} a_2 & 1 \\ 1 & b_2 \\end{pmatrix}, w = \\begin{pmatrix} a_3 & 1 \\ 1 & b_3 \\end{pmatrix} \\)\n1ª propriedade\n\\( (u+v)+w = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_2 & 1 \\ 1 & b_2 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_3 & 1 \\ 1 & b_3 \\end{pmatrix} \\)\n= \\( \\begin{pmatrix} a_1 + a_2 & 1 \\ 1 & b_1 + b_2 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_3 & 1 \\ 1 & b_3 \\end{pmatrix} \\)\n= \\( \\begin{pmatrix} a_1 + a_2 + a_3 & 1 \\ 1 & b_1 + b_2 + b_3 \\end{pmatrix} \\)\n\\( u + (v + w) \\)\n= \\( \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_2 + a_3 & 1 \\ 1 & b_2 + b_3 \\end{pmatrix} \\)\n= \\( \\begin{pmatrix} a_1 + (a_2 + a_3) & 1 \\ 1 & b_1 + (b_2 + b_3) \\end{pmatrix} \\)\n\\( \\rightarrow \\) propriedade satisfeita\n2ª propriedade\n\\( u + v = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_2 & 1 \\ 1 & b_2 \\end{pmatrix} \\)\n= \\( \\begin{pmatrix} a_1 + a_2 & 1 \\ 1 & b_1 + b_2 \\end{pmatrix} \\)\n\\( \\rightarrow \\) propriedades satisfeitas\n3ª propriedade\n\\( u + 0 = \\begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 & b_1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n4ª propriedade\n\\( u + (-u) = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ -a_1 & -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n5ª propriedade\n\\( (\\alpha \\beta) u = \\alpha \\beta \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} = \\alpha \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n6ª propriedade\n\\( (\\alpha + \\beta) u = (\\alpha + \\beta) \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} = (\\alpha + \\beta) \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n7ª propriedade\n\\( \\alpha (u + v) = \\alpha \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} a_2 & 1 \\end{pmatrix} = \\alpha \\begin{pmatrix} a_1 + a_2 & 1 \\\\end{pmatrix} = \\alpha \\begin{pmatrix} x_1 \\end{pmatrix} + \\alpha \\begin{pmatrix} x_2 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n8ª propriedade\n\\( 1 \\cdot u = 1 \\begin{pmatrix} (x, y) \\end{pmatrix} = (x, y) = u \\) -> propriedade satisfeita 3ª propriedade\n\\( u + 0 = \\begin{pmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n4ª propriedade\n\\( u + (-u) = \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\ 1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} -a_1 & -1 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n5ª propriedade\n\\( (\\alpha \\beta) u = \\alpha \\beta \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} = \\alpha \\begin{pmatrix} \\begin{pmatrix} a_1 \\end{pmatrix} \\cdots \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n6ª propriedade\n\\( (\\alpha + \\beta) u = (\\alpha + \\beta) \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} = (\\alpha + \\beta) \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n7ª propriedade\n\\( \\alpha (u + v) = \\alpha \\begin{pmatrix} a_1 & 1 \\end{pmatrix} + \\alpha \\begin{pmatrix} a_2 & 1 \\end{pmatrix} \\) -> propriedade satisfeita\n8ª propriedade\n\\( 1 \\cdot u = 1 \\cdot (x, y) = (x, y) = u \\) -> propriedade satisfeita 8ª propriedade\n1. u = 1\n [a_1 | b_1]\n [ | ]\n [a_1 | b_2]\n -> propriedade Satisfita\n\n-> Dessa forma o conjunto de todas as matrizes 2X2 da forma [a_1 | b_1] e espaço vetorial.\n\n7) U conjunto F={f: ℝ→ℝ; f(0)=1} com as operações\n(f + g)(x) = f(x) + g(x) ± (K f(x)) = K f(x)\n\nObservando a operação de soma\n(f + g)(x) = f(x) + g(x) e podemos verificar que não é espaço vetorial, pois não satisfaz a propriedade da soma. Ou seja,\n\n(f + g)(x) = f(x) + g(x) ≠ f(x) + f(y)\n\nRestam algumas linhas da conclusão.